Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда-1

[latexpage]

В этой статье продолжаем решать задачи  из экзамена в СУНЦ МГУ на тему «Сила Архимеда».  Начало здесь.

Задача 1. Один конец нити закреплен на дне водоема, а второй прикреплен к поплавку массой  1 кг, при этом 90% объема поплавка погружено в воду. Найдите силу натяжения нити, если плотность материала поплавка в 4 раза меньше плотности воды.

Так как погружено $0,9V$ поплавка, то силу Архимеда запишем как

$$F_A=0,9V\rho g$$

Сила тяжести поплавка $F_t=mg$. Тогда, так как нить удерживает поплавок от всплытия, то, следовательно, сила Архимеда превышает силу тяжести, и мы можем записать

$$T=F_A-F_t=0,9V\rho g- mg $$

По условию, плотность поплавка в 4 раза меньше плотности воды, поэтому

$$ T=0,9V4\rho_p g-mg = 3,6\rho_p g V-mg=(3,6-1)mg =2,6\cdot10\cdot1=26$$

Ответ: 26 Н.

Задача 2. Шарик массы $m$ всплывает в вязкой жидкости с постоянной скоростью. Плотность материала шарика в $n$ раз меньше плотности жидкости. Чему равна сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости?

Запишем для силы сопротивления жидкости:

$$F_c=F_A-mg$$

$$ F_c=\rho g V –mg=\rho g V -\rho_{sh} g V= g V(\rho-\rho_{sh}) $$

Где $\rho_{sh}$ – плотность шарика, $\rho$ – плотность жидкости. Тогда

$$\rho_{sh}=\frac{\rho}{n}$$

А плотность жидкости

$$\rho=\rho_{sh} n$$

$$ F_c= g V(n \rho_{sh}-\rho_{sh})= g V\rho_{sh} (n -1)=mg(n-1)$$

Ответ: $ F_c= mg(n-1)$.

Задача 3. В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом $R$ налита вода. На какую величину повысится ее уровень, если в сосуд поместить деревянный брусок массой $M$?

Условие плавания

$$F_A=F_t$$

$$ \rho g V_p =mg$$

$$ \rho g V_p =\rho_d Vg$$

Где $ \rho$ – плотность жидкости, $ \rho_d$ – плотность бруска, $V_p$ – погруженный объем бруска, $V$ – полный объем.

«Вытащим» погруженный объем – именно столько воды вытеснит брусок.

$$V_p=\frac{\rho_d V}{\rho}$$

Откуда  $h$

$$h=\frac{V_p}{S}=\frac{\rho_d V}{\pi R^2\rho}=\frac{M}{\pi R^2\rho}$$

Ответ: $h=\frac{M}{\pi R^2\rho}$.

Задача 4. Однородное тело подвешено к динамометру. Определите плотность вещества, из которого сделано тело, если при его полном погружении в воду показания динамометра уменьшились в $n$ раз.

В первый раз на пружину динамометра действует полная сила тяжести, а во второй – сила тяжести, уменьшенная на величину силы Архимеда.

$$F_1=mg$$

$$F_2=mg-F_A=\frac{F_1}{n}$$

Тогда

$$F_1-F_A=\frac{F_1}{n}$$

$$F_A=F_1-\frac{F_1}{n}=F_1(1-\frac{1}{n})= mg(1-\frac{1}{n})$$

Сила Архимеда, в свою очередь, равна

$$F_A=\rho_0 g V$$

Тогда

$$\rho_0 g V= mg(1-\frac{1}{n})$$

$$\rho_0 V= m(1-\frac{1}{n})$$

$$\rho_0 V= \rho V\frac{n-1}{n}$$

Откуда плотность тела равна

$$\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$.

Задача 5. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом $V=10$ см$^3$ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду, а масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего.

Для первого шарика справедливо уравнение:

$$F_{A1}=mg+T$$

А для второго

$$F_{A2}+T=3mg$$

$$ F_{A1}=\rho g \frac{V}{2}$$

$$ F_{A2}=\rho g V$$

Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ F_{A1}=mg+T }\\{ F_{A2} =3mg -T}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ \rho g \frac{V}{2}=mg+T }\\{ \rho g V =3mg -T}\end{matrix}$$

Сложим уравнения:

$$ \rho g \frac{3V}{2}=4mg$$

$$ \rho  \frac{3V}{2}=4m$$

$$m=\frac{3\rho V}{8}$$

Теперь можно посчитать силу натяжения нити

$$T= \rho g \frac{V}{2}-mg=\frac{\rho g V}{2}-\frac{3\rho g V}{8}=\frac{\rho g V}{8}=\frac{10^4\cdot 10^{-5}}{8}=0,0125$$

Ответ: 0,0125 Н.

Задача 6. Однородный алюминиевый цилиндр подвешен к динамометру, при этом пружина динамометра растянута на $x_1=32$ мм. После того, как цилиндр полностью опустили в воду, растяжение пружины динамометра уменьшилось до значения $x_2=20$ мм. По этим данным найдите плотность алюминия.

Запишем уравнение для первого опыта:

$$mg=k\Delta x_1$$

Для второго опыта

$$mg-F_A=k\Delta x_2$$

Разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{ mg-F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$

$$1-\frac{ F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$

$$1-\frac{ \rho g V }{\rho_a V g}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$

$$\frac{ \rho}{\rho_a}=1-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$

$$\rho_a=\frac{\rho \Delta x_1}{\Delta x_1-\Delta x_2}$$

$$\rho_a=\frac{10^3\cdot32\cdot10^{-3}}{32\cdot10^{-3}-20\cdot10^{-3}}=2670$$

Ответ: $\rho_a=2670$ кг/м$^3$.

Задача 7. Однородное тело, полностью находящееся внутри жидкости, удерживается от всплытия с помощью нити, прикрепленной ко дну сосуда. Сила натяжения нити составляет одну треть от силы тяжести тела.  Какая часть объема тела $\frac{V_1}{V}$ окажется на поверхности, если нить перерезать?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

$$F_A=mg+T$$

По условию $T=\frac{mg}{3}$, тогда  $F_A=\frac{4mg}{3}$.

Сила Архимеда равна (тело полностью погружено):

$$F_A=\rho g V$$

То есть

$$\rho g V=\frac{4mg}{3}$$

$$\rho  V=\frac{4m}{3}$$

$$V=\frac{4m}{3\rho}$$

Теперь нить обрезают и тело всплывает:

$$F_{A1}=mg$$

$$\rho g V_1 =mg$$

$$V_1 =\frac{m}{\rho }$$

Определяем отношение объемов:

$$\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$$

Ответ: $\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$