[latexpage]
В этой статье продолжаем решать задачи из экзамена в СУНЦ МГУ на тему «Сила Архимеда». Начало здесь.
Задача 1. Один конец нити закреплен на дне водоема, а второй прикреплен к поплавку массой 1 кг, при этом 90% объема поплавка погружено в воду. Найдите силу натяжения нити, если плотность материала поплавка в 4 раза меньше плотности воды.
Так как погружено $0,9V$ поплавка, то силу Архимеда запишем как
$$F_A=0,9V\rho g$$
Сила тяжести поплавка $F_t=mg$. Тогда, так как нить удерживает поплавок от всплытия, то, следовательно, сила Архимеда превышает силу тяжести, и мы можем записать
$$T=F_A-F_t=0,9V\rho g- mg $$
По условию, плотность поплавка в 4 раза меньше плотности воды, поэтому
$$ T=0,9V4\rho_p g-mg = 3,6\rho_p g V-mg=(3,6-1)mg =2,6\cdot10\cdot1=26$$
Ответ: 26 Н.
Задача 2. Шарик массы $m$ всплывает в вязкой жидкости с постоянной скоростью. Плотность материала шарика в $n$ раз меньше плотности жидкости. Чему равна сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости?
Запишем для силы сопротивления жидкости:
$$F_c=F_A-mg$$
$$ F_c=\rho g V –mg=\rho g V -\rho_{sh} g V= g V(\rho-\rho_{sh}) $$
Где $\rho_{sh}$ – плотность шарика, $\rho$ – плотность жидкости. Тогда
$$\rho_{sh}=\frac{\rho}{n}$$
А плотность жидкости
$$\rho=\rho_{sh} n$$
$$ F_c= g V(n \rho_{sh}-\rho_{sh})= g V\rho_{sh} (n -1)=mg(n-1)$$
Ответ: $ F_c= mg(n-1)$.
Задача 3. В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом $R$ налита вода. На какую величину повысится ее уровень, если в сосуд поместить деревянный брусок массой $M$?
Условие плавания
$$F_A=F_t$$
$$ \rho g V_p =mg$$
$$ \rho g V_p =\rho_d Vg$$
Где $ \rho$ – плотность жидкости, $ \rho_d$ – плотность бруска, $V_p$ – погруженный объем бруска, $V$ – полный объем.
«Вытащим» погруженный объем – именно столько воды вытеснит брусок.
$$V_p=\frac{\rho_d V}{\rho}$$
Откуда $h$
$$h=\frac{V_p}{S}=\frac{\rho_d V}{\pi R^2\rho}=\frac{M}{\pi R^2\rho}$$
Ответ: $h=\frac{M}{\pi R^2\rho}$.
Задача 4. Однородное тело подвешено к динамометру. Определите плотность вещества, из которого сделано тело, если при его полном погружении в воду показания динамометра уменьшились в $n$ раз.
В первый раз на пружину динамометра действует полная сила тяжести, а во второй – сила тяжести, уменьшенная на величину силы Архимеда.
$$F_1=mg$$
$$F_2=mg-F_A=\frac{F_1}{n}$$
Тогда
$$F_1-F_A=\frac{F_1}{n}$$
$$F_A=F_1-\frac{F_1}{n}=F_1(1-\frac{1}{n})= mg(1-\frac{1}{n})$$
Сила Архимеда, в свою очередь, равна
$$F_A=\rho_0 g V$$
Тогда
$$\rho_0 g V= mg(1-\frac{1}{n})$$
$$\rho_0 V= m(1-\frac{1}{n})$$
$$\rho_0 V= \rho V\frac{n-1}{n}$$
Откуда плотность тела равна
$$\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$$
Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$.
Задача 5. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом $V=10$ см$^3$ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду, а масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего.
Для первого шарика справедливо уравнение:
$$F_{A1}=mg+T$$
А для второго
$$F_{A2}+T=3mg$$
$$ F_{A1}=\rho g \frac{V}{2}$$
$$ F_{A2}=\rho g V$$
Имеем систему:
$$\begin{Bmatrix}{ F_{A1}=mg+T }\\{ F_{A2} =3mg -T}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ \rho g \frac{V}{2}=mg+T }\\{ \rho g V =3mg -T}\end{matrix}$$
Сложим уравнения:
$$ \rho g \frac{3V}{2}=4mg$$
$$ \rho \frac{3V}{2}=4m$$
$$m=\frac{3\rho V}{8}$$
Теперь можно посчитать силу натяжения нити
$$T= \rho g \frac{V}{2}-mg=\frac{\rho g V}{2}-\frac{3\rho g V}{8}=\frac{\rho g V}{8}=\frac{10^4\cdot 10^{-5}}{8}=0,0125$$
Ответ: 0,0125 Н.
Задача 6. Однородный алюминиевый цилиндр подвешен к динамометру, при этом пружина динамометра растянута на $x_1=32$ мм. После того, как цилиндр полностью опустили в воду, растяжение пружины динамометра уменьшилось до значения $x_2=20$ мм. По этим данным найдите плотность алюминия.
Запишем уравнение для первого опыта:
$$mg=k\Delta x_1$$
Для второго опыта
$$mg-F_A=k\Delta x_2$$
Разделим уравнения друг на друга:
$$\frac{ mg-F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$
$$1-\frac{ F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$
$$1-\frac{ \rho g V }{\rho_a V g}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$
$$\frac{ \rho}{\rho_a}=1-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$$
$$\rho_a=\frac{\rho \Delta x_1}{\Delta x_1-\Delta x_2}$$
$$\rho_a=\frac{10^3\cdot32\cdot10^{-3}}{32\cdot10^{-3}-20\cdot10^{-3}}=2670$$
Ответ: $\rho_a=2670$ кг/м$^3$.
Задача 7. Однородное тело, полностью находящееся внутри жидкости, удерживается от всплытия с помощью нити, прикрепленной ко дну сосуда. Сила натяжения нити составляет одну треть от силы тяжести тела. Какая часть объема тела $\frac{V_1}{V}$ окажется на поверхности, если нить перерезать?
Запишем уравнение по второму закону Ньютона:
$$F_A=mg+T$$
По условию $T=\frac{mg}{3}$, тогда $F_A=\frac{4mg}{3}$.
Сила Архимеда равна (тело полностью погружено):
$$F_A=\rho g V$$
То есть
$$\rho g V=\frac{4mg}{3}$$
$$\rho V=\frac{4m}{3}$$
$$V=\frac{4m}{3\rho}$$
Теперь нить обрезают и тело всплывает:
$$F_{A1}=mg$$
$$\rho g V_1 =mg$$
$$V_1 =\frac{m}{\rho }$$
Определяем отношение объемов:
$$\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$$
Ответ: $\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}$
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...