Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда-1

В этой статье продолжаем решать задачи из экзамена в СУНЦ МГУ на тему «Сила Архимеда». Начало здесь.

Задача 1. Один конец нити закреплен на дне водоема, а второй прикреплен к поплавку массой 1 кг, при этом 90% объема поплавка погружено в воду. Найдите силу натяжения нити, если плотность материала поплавка в 4 раза меньше плотности воды.

Так как погружено $0,9V$ поплавка, то силу Архимеда запишем как

$F_A=0,9V\rho g$

Сила тяжести поплавка $F_t=mg$ . Тогда, так как нить удерживает поплавок от всплытия, то, следовательно, сила Архимеда превышает силу тяжести, и мы можем записать

$T=F_A-F_t=0,9V\rho g- mg$

По условию, плотность поплавка в 4 раза меньше плотности воды, поэтому

$T=0,9V4\rho_p g-mg = 3,6\rho_p g V-mg=(3,6-1)mg =2,6\cdot10\cdot1=26$

Ответ: 26 Н.

Задача 2. Шарик массы $m$ всплывает в вязкой жидкости с постоянной скоростью. Плотность материала шарика в $n$ раз меньше плотности жидкости. Чему равна сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости?

Запишем для силы сопротивления жидкости:

$F_c=F_A-mg$

$F_c=\rho g V -mg=\rho g V -\rho_{sh} g V= g V(\rho-\rho_{sh})$

Где $\rho_{sh}$ – плотность шарика, $\rho$ – плотность жидкости. Тогда

$\rho_{sh}=\frac{\rho}{n}$

А плотность жидкости

$\rho=\rho_{sh} n$

$F_c= g V(n \rho_{sh}-\rho_{sh})= g V\rho_{sh} (n -1)=mg(n-1)$

Ответ: $F_c= mg(n-1)$ .

Задача 3. В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом $R$ налита вода. На какую величину повысится ее уровень, если в сосуд поместить деревянный брусок массой $M$ ?

Условие плавания

$F_A=F_t$

$\rho g V_p =mg$

$\rho g V_p =\rho_d Vg$

Где $\rho$ – плотность жидкости, $\rho_d$ – плотность бруска, $V_p$ – погруженный объем бруска, $V$ – полный объем.

«Вытащим» погруженный объем – именно столько воды вытеснит брусок.

$V_p=\frac{\rho_d V}{\rho}$

Откуда $h$

$h=\frac{V_p}{S}=\frac{\rho_d V}{\pi R^2\rho}=\frac{M}{\pi R^2\rho}$

Ответ: $h=\frac{M}{\pi R^2\rho}$ .

Задача 4. Однородное тело подвешено к динамометру. Определите плотность вещества, из которого сделано тело, если при его полном погружении в воду показания динамометра уменьшились в $n$ раз.

В первый раз на пружину динамометра действует полная сила тяжести, а во второй – сила тяжести, уменьшенная на величину силы Архимеда.

$F_1=mg$

$F_2=mg-F_A=\frac{F_1}{n}$

Тогда

$F_1-F_A=\frac{F_1}{n}$

$F_A=F_1-\frac{F_1}{n}=F_1(1-\frac{1}{n})= mg(1-\frac{1}{n})$

Сила Архимеда, в свою очередь, равна

$F_A=\rho_0 g V$

Тогда

$\rho_0 g V= mg(1-\frac{1}{n})$

$\rho_0 V= m(1-\frac{1}{n})$

$\rho_0 V= \rho V\frac{n-1}{n}$

Откуда плотность тела равна

$\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}$ .

Задача 5. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом $V=10$ см $^3$ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду, а масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего.

Для первого шарика справедливо уравнение:

$F_{A1}=mg+T$

А для второго

$F_{A2}+T=3mg$

$F_{A1}=\rho g \frac{V}{2}$

$F_{A2}=\rho g V$

Имеем систему:

$\begin{Bmatrix}{ F_{A1}=mg+T }\\{ F_{A2} =3mg -T}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ \rho g \frac{V}{2}=mg+T }\\{ \rho g V =3mg -T}\end{matrix}$

Сложим уравнения:

$\rho g \frac{3V}{2}=4mg$

$\rho \frac{3V}{2}=4m$

$m=\frac{3\rho V}{8}$

Теперь можно посчитать силу натяжения нити

$T= \rho g \frac{V}{2}-mg=\frac{\rho g V}{2}-\frac{3\rho g V}{8}=\frac{\rho g V}{8}=\frac{10^4\cdot 10^{-5}}{8}=0,0125$

Ответ: 0,0125 Н.

Задача 6. Однородный алюминиевый цилиндр подвешен к динамометру, при этом пружина динамометра растянута на $x_1=32$ мм. После того, как цилиндр полностью опустили в воду, растяжение пружины динамометра уменьшилось до значения $x_2=20$ мм. По этим данным найдите плотность алюминия.

Запишем уравнение для первого опыта:

$mg=k\Delta x_1$

Для второго опыта

$mg-F_A=k\Delta x_2$

Разделим уравнения друг на друга:

$\frac{ mg-F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

$1-\frac{ F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

$1-\frac{ \rho g V }{\rho_a V g}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

$\frac{ \rho}{\rho_a}=1-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$

$\rho_a=\frac{\rho \Delta x_1}{\Delta x_1-\Delta x_2}$

$\rho_a=\frac{10^3\cdot32\cdot10^{-3}}{32\cdot10^{-3}-20\cdot10^{-3}}=2670$

Ответ: $\rho_a=2670$ кг/м $^3$ .

Задача 7. Однородное тело, полностью находящееся внутри жидкости, удерживается от всплытия с помощью нити, прикрепленной ко дну сосуда. Сила натяжения нити составляет одну треть от силы тяжести тела. Какая часть объема тела $\frac{V_1}{V}$ окажется на поверхности, если нить перерезать?