Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Архимеда

Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда-1

В этой статье продолжаем решать задачи  из экзамена в СУНЦ МГУ на тему «Сила Архимеда».  Начало здесь.

Задача 1. Один конец нити закреплен на дне водоема, а второй прикреплен к поплавку массой  1 кг, при этом 90% объема поплавка погружено в воду. Найдите силу натяжения нити, если плотность материала поплавка в 4 раза меньше плотности воды.

Так как погружено 0,9V поплавка, то силу Архимеда запишем как

    \[F_A=0,9V\rho g\]

Сила тяжести поплавка F_t=mg. Тогда, так как нить удерживает поплавок от всплытия, то, следовательно, сила Архимеда превышает силу тяжести, и мы можем записать

    \[T=F_A-F_t=0,9V\rho g- mg\]

По условию, плотность поплавка в 4 раза меньше плотности воды, поэтому

    \[T=0,9V4\rho_p g-mg = 3,6\rho_p g V-mg=(3,6-1)mg =2,6\cdot10\cdot1=26\]

Ответ: 26 Н.

Задача 2. Шарик массы m всплывает в вязкой жидкости с постоянной скоростью. Плотность материала шарика в n раз меньше плотности жидкости. Чему равна сила сопротивления, действующая на шарик со стороны жидкости?

Запишем для силы сопротивления жидкости:

    \[F_c=F_A-mg\]

    \[F_c=\rho g V -mg=\rho g V -\rho_{sh} g V= g V(\rho-\rho_{sh})\]

Где \rho_{sh} – плотность шарика, \rho – плотность жидкости. Тогда

    \[\rho_{sh}=\frac{\rho}{n}\]

А плотность жидкости

    \[\rho=\rho_{sh} n\]

    \[F_c= g V(n \rho_{sh}-\rho_{sh})= g V\rho_{sh} (n -1)=mg(n-1)\]

Ответ: F_c= mg(n-1).

Задача 3. В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом R налита вода. На какую величину повысится ее уровень, если в сосуд поместить деревянный брусок массой M?

Условие плавания

    \[F_A=F_t\]

    \[\rho g V_p =mg\]

    \[\rho g V_p =\rho_d Vg\]

Где \rho – плотность жидкости, \rho_d – плотность бруска, V_p – погруженный объем бруска, V – полный объем.

«Вытащим» погруженный объем – именно столько воды вытеснит брусок.

    \[V_p=\frac{\rho_d V}{\rho}\]

Откуда  h

    \[h=\frac{V_p}{S}=\frac{\rho_d V}{\pi R^2\rho}=\frac{M}{\pi R^2\rho}\]

Ответ: h=\frac{M}{\pi R^2\rho}.

Задача 4. Однородное тело подвешено к динамометру. Определите плотность вещества, из которого сделано тело, если при его полном погружении в воду показания динамометра уменьшились в n раз.

В первый раз на пружину динамометра действует полная сила тяжести, а во второй – сила тяжести, уменьшенная на величину силы Архимеда.

    \[F_1=mg\]

    \[F_2=mg-F_A=\frac{F_1}{n}\]

Тогда

    \[F_1-F_A=\frac{F_1}{n}\]

    \[F_A=F_1-\frac{F_1}{n}=F_1(1-\frac{1}{n})= mg(1-\frac{1}{n})\]

Сила Архимеда, в свою очередь, равна

    \[F_A=\rho_0 g V\]

Тогда

    \[\rho_0 g V= mg(1-\frac{1}{n})\]

    \[\rho_0 V= m(1-\frac{1}{n})\]

    \[\rho_0 V= \rho V\frac{n-1}{n}\]

Откуда плотность тела равна

    \[\rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}\]

Ответ: \rho=\frac{\rho_0 n}{n-1}.

Задача 5. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом V=10 см^3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду, а масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего.

Для первого шарика справедливо уравнение:

    \[F_{A1}=mg+T\]

А для второго

    \[F_{A2}+T=3mg\]

    \[F_{A1}=\rho g \frac{V}{2}\]

    \[F_{A2}=\rho g V\]

Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ F_{A1}=mg+T }\\{ F_{A2} =3mg -T}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ \rho g \frac{V}{2}=mg+T }\\{ \rho g V =3mg -T}\end{matrix}\]

Сложим уравнения:

    \[\rho g \frac{3V}{2}=4mg\]

    \[\rho  \frac{3V}{2}=4m\]

    \[m=\frac{3\rho V}{8}\]

Теперь можно посчитать силу натяжения нити

    \[T= \rho g \frac{V}{2}-mg=\frac{\rho g V}{2}-\frac{3\rho g V}{8}=\frac{\rho g V}{8}=\frac{10^4\cdot 10^{-5}}{8}=0,0125\]

Ответ: 0,0125 Н.

Задача 6. Однородный алюминиевый цилиндр подвешен к динамометру, при этом пружина динамометра растянута на x_1=32 мм. После того, как цилиндр полностью опустили в воду, растяжение пружины динамометра уменьшилось до значения x_2=20 мм. По этим данным найдите плотность алюминия.

Запишем уравнение для первого опыта:

    \[mg=k\Delta x_1\]

Для второго опыта

    \[mg-F_A=k\Delta x_2\]

Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{ mg-F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}\]

    \[1-\frac{ F_A }{mg}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}\]

    \[1-\frac{ \rho g V }{\rho_a V g}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}\]

    \[\frac{ \rho}{\rho_a}=1-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}\]

    \[\rho_a=\frac{\rho \Delta x_1}{\Delta x_1-\Delta x_2}\]

    \[\rho_a=\frac{10^3\cdot32\cdot10^{-3}}{32\cdot10^{-3}-20\cdot10^{-3}}=2670\]

Ответ: \rho_a=2670 кг/м^3.

Задача 7. Однородное тело, полностью находящееся внутри жидкости, удерживается от всплытия с помощью нити, прикрепленной ко дну сосуда. Сила натяжения нити составляет одну треть от силы тяжести тела.  Какая часть объема тела \frac{V_1}{V} окажется на поверхности, если нить перерезать?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

    \[F_A=mg+T\]

По условию T=\frac{mg}{3}, тогда  F_A=\frac{4mg}{3}.

Сила Архимеда равна (тело полностью погружено):

    \[F_A=\rho g V\]

То есть

    \[\rho g V=\frac{4mg}{3}\]

    \[\rho  V=\frac{4m}{3}\]

    \[V=\frac{4m}{3\rho}\]

Теперь нить обрезают и тело всплывает:

    \[F_{A1}=mg\]

    \[\rho g V_1 =mg\]

    \[V_1 =\frac{m}{\rho }\]

Определяем отношение объемов:

    \[\frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}\]

Ответ: \frac{V_1}{V}=\frac{3}{4}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *