Подготовка в СУНЦ МГУ: шарики на нитках, экзамен в 10 класс

Задачи этой статьи были предложены поступающим в СУНЦ МГУ в 10 класс на экзаменах прошлых лет. Как репетитор я готовлю к экзамену по физике СУНЦ МГУ. Под задачами указано, в каком году их предлагали на экзаменах.

Задача 1. Шарик массой $m=250$ г прикреплен к концу тонкого легкого стержня длиной $L=40$ см, который равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он может выдержать максимальную нагрузку на разрыв $T_m=162,5$ Н? (2014 г., вариант 3, №4)

К задаче 1

$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=\omega^2 L$

$a_n=4\pi^2 \nu^2 L$

Для нижней точки запишем второй закон Ньютона:

$T=m(g+a_n)=m(g+\omega^2 L)$

Откуда

$\omega=\sqrt{\frac{T-mg}{mL}}$

$\omega=\sqrt{\frac{162,5-0,2\cdot10}{0,2\cdot0,4}}=44,8$

Ответ: $\omega=44,8$ рад/с.

Задача 2. Шарик на нити длиной $L$ отклонили на угол $90^{\circ}$ от вертикали и отпустили без начальной скорости. Какой угол с вертикалью будет составлять нить маятника в момент, когда его полное ускорение направлено горизонтально? (2014 г., вариант 4, №4)

В верхней точке траектории у шарика есть только тангенциальная составляющая ускорения: нормальное ускорение равно нулю, так как равна нулю скорость. В нижнем положении у шарика есть только нормальная составляющая ускорения: все силы в этой точке направлены по вертикальной оси. Таким образом, где-то между этими точками он будет иметь обе составляющие, причем нормальное будет все время расти, а тангенциальное все время уменьшаться. Cкорость шарика тоже можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная все время растет и в нижней точке максимальна, вертикальная сначала растет, затем, достигнув максимума, начинает уменьшаться и в нижней точке снова равна 0, как и в крайней. Нас интересует именно та точка, где вертикальная составляющая скорости максимальна. Так как ускорение – производная скорости, то в этой точке будет направлено горизонтально – перпендикулярно скорости. То есть не будет вертикальной составляющей ускорения, которая присутствовала бы в уравнении (1) и спутала бы нам все карты.

Тогда в проекциях на вертикальную ось:

$T\cos{\alpha}=mg~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

В проекциях на радиальное направление:

$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$ , перешла в кинетическую):

$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl\cos{\alpha}$

Откуда

$\upsilon^2=2 gl\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$

Тогда, подставив (3) в (2), получим

$\frac{m}{l}2 gl\cos{\alpha}=T-mg\cos{\alpha}$

$T= 3mg\cos{\alpha}$

$\cos{\alpha}=\frac{T}{3mg}$

Теперь подставим сюда $mg= T\cos{\alpha}$ и получаем

$\cos{\alpha}=\frac{1}{3\cos{\alpha}}$

$\cos{\alpha}^2=\frac{1}{3}$

$\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Можно определить угол отсюда как $\alpha=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$ , а можно через основное тригонометрическое тождество определить синус, и найти тангенс искомого угла:

$\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}$

Угол тогда $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$

Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой $m_1=110$ кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой $m_2=690$ кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза $m$ , который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью? (2013 г., вариант 5, №2)

К задаче 3

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

$m_1a=T-m_1g$

При спуске:

$m_2a=m_2g-T$

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

$a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}$

Или

$a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

$\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$

$( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1$

$T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2$

$T = \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}$

Если бы груз массой $M$ просто висел на такой веревке, то мы бы записали

$T=Mg$

Следовательно,

$T = \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg$

$M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75$

Ответ: 190 кг

Задача 4. Шар массой $m=200$ г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом $R=1,5$ м при частоте вращения $\nu=5$ об/с. Определите силу натяжения нити, считая ее нерастяжимой. (2013 г., вариант 9, №3)

К задаче 4

На шар действуют три силы: центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как

$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2R$

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

$T\cos{\alpha}=mg$

$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R$

Тогда можно записать, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, что

$T^2\cos^2{\alpha}=(mg)^2$

$T^2\sin^2{\alpha}=ma_n=m^2\omega^4R ^2$

$T^2\cos^2{\alpha}+ T^2\sin^2{\alpha}=(mg)^2+ m^2\omega^4R ^2$

$T^2(\cos^2{\alpha}+ \sin^2{\alpha})=m^2(g^2+\omega^4R ^2)$

$T=m\sqrt{ g^2+\omega^4R ^2}$

$T=m\sqrt{ g^2+16\pi^4\nu^4R ^2}$

Подставим числа:

$T=0,2\sqrt{ 10^2+16\cdot3,14^4\cdot 5^4\cdot1,5 ^2}=296$

Ответ: $T=296$ Н.

Задача 5. К диску проигрывателя прикреплен высокий вертикальный стержень, а к вершине стержня подвешен шарик на нити длиной $L=37$ см. Расстояние стержня от оси вращения диска $a=10$ см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha=45^{\circ}$ . Определите частоту вращения диска.(2013 г., вариант 1, №3)

К задаче 5

На шар действуют три силы: центростремительная сила , сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как

$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

$T\cos{\alpha}=mg$

$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R$

Разделив одно уравнение на другое, имеем:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}$

Определим $R$ :

$R=a+L\sin{\alpha}$

Тогда скорость шарика равна

$\upsilon^2=\operatorname{tg}{\alpha}gR$

$\upsilon=\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}$

С другой стороны,

$\upsilon=2\pi \nu R$

Поэтому

$\nu=\frac{\upsilon }{2\pi R}=\frac{\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}}{2\pi (a+L\sin{\alpha}) }$

$\nu=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\operatorname{tg}{\alpha}g }{ a+L\sin{\alpha}}}$

Подставим числа:

$\nu=\frac{1}{2\cdot3,14 }\sqrt{\frac{10}{ 0,1+0,37\frac{\sqrt{2}}{2}}}=0,836$

Ответ: $\nu=0,836$ Гц

Задача 6. Фонарь массой $M=100$ кг подвешен на металлической цепи длиной $L=5$ м. Найдите, на какую предельную высоту можно отклонить фонарь, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Цепь разрывается при силе натяжения $T=2$ кН. (2013 г., вариант 3, №4)

К задаче 6

Нормальное ускорение запишем как

$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}$

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$ , перешла в кинетическую):

$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$

Откуда

$\upsilon^2=2 gh$

Тогда сила натяжения

$T=\left(\frac{2gh}{L}+g\right)m$

Теперь осталось «вытащить» $h$ :

$\frac{T}{m}=\frac{2gh}{L}+g$

$\frac{2gh}{L}=\frac{T}{m}-g$

$h=\left(\frac{T}{2mg}-\frac{1}{2}\right)L$

Считаем:

$h=\left(\frac{2000}{2\cdot100\cdot10}-\frac{1}{2}\right)\cdot5=2,5$

Ответ: $h=2,5$ м.

Задача 7. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, совершает колебания в вертикальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на максимальный угол $60^{\circ}$ . Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 9, №4)

К задаче 7

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$

$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$

Откуда

$\upsilon^2=2 gh=2g(L-L\cos{\alpha})$

$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})$

То есть максимальная сила натяжения равна

$T_{max}=m(g+2g(1-1\cos{\alpha}))=m(3g-2g\cos{\alpha})$

Минимальной сила натяжения будет в верхней точке, дле нее запишем в проекциях на радиальную ось:

$T_{min}=T=mg \cos{\alpha}$

Отношение этих двух сил равно:

$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha})}{ \cos{\alpha}}$

Считаем:

$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}=4$

Ответ: в 4 раза.

Задача 8. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной $L=50$ см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее положение шарика на $h=20$ см выше нижнего. Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 10, №4)

Воспользовавшись предыдущей задачей, определим отношение сил. Нужно только вычислить тригонометрические функции угла отклонения нити, а именно, косинуса, и подставить в формулу, которую мы получили выше:

$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha}}{ \cos{\alpha}}$

Из рисунка можно легко определить косинус угла отклонения, так как треугольник египетский, и, следовательно, если гипотенуза $L=50$ , а вертикальный катет $L-h=30$ , то горизонтальный – 40:

$\cos{\alpha}=\frac{a}{L}=\frac{4}{5}$

Считаем:

$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{4}{5}}{ \frac{4}{5}}=\frac{1,4}{0,8}=1,75$

Ответ: в 1,75 раза.

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Подготовка в СУНЦ МГУ: шарики на нитках, экзамен в 10 класс

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь