Подготовка в СУНЦ МГУ: шарики на нитках, экзамен в 10 класс

[latexpage]

Задачи этой статьи были предложены поступающим в СУНЦ МГУ в 10 класс на экзаменах прошлых лет. Как репетитор я готовлю к экзамену по физике   СУНЦ МГУ. Под задачами указано, в каком году их предлагали на экзаменах.

Задача 1.  Шарик массой $m=250$ г прикреплен к концу тонкого легкого стержня длиной $L=40$ см, который равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он может выдержать максимальную нагрузку на разрыв $T_m=162,5$ Н? (2014 г., вариант 3, №4)

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=\omega^2 L$$

$$a_n=4\pi^2 \nu^2 L$$

Для нижней точки запишем второй закон Ньютона:

$$T=m(g+a_n)=m(g+\omega^2 L)$$

Откуда

$$\omega=\sqrt{\frac{T-mg}{mL}}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{162,5-0,2\cdot10}{0,2\cdot0,4}}=44,8$$

Ответ: $\omega=44,8$ рад/с.

 

Задача 2. Шарик на нити длиной $L$ отклонили на угол $90^{\circ}$ от вертикали и отпустили без начальной скорости. Какой угол с вертикалью будет составлять нить маятника в момент, когда его полное ускорение направлено горизонтально? (2014 г., вариант 4, №4)

В верхней точке траектории у шарика есть только тангенциальная составляющая ускорения: нормальное ускорение равно нулю, так как равна нулю скорость. В нижнем положении у шарика есть только нормальная составляющая ускорения: все силы в этой точке направлены по вертикальной оси. Таким образом, где-то между этими точками он будет иметь обе составляющие, причем нормальное будет все время расти, а тангенциальное все время уменьшаться. Cкорость шарика тоже можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная все время растет и в нижней точке максимальна, вертикальная сначала растет, затем, достигнув максимума, начинает уменьшаться и в нижней точке снова равна 0, как и в крайней. Нас интересует именно та точка, где вертикальная составляющая скорости максимальна. Так как ускорение – производная скорости, то в этой точке будет направлено горизонтально – перпендикулярно скорости. То есть не будет вертикальной составляющей ускорения, которая присутствовала бы в уравнении (1) и спутала бы нам все карты.

Тогда в проекциях на вертикальную ось:

$$T\cos{\alpha}=mg~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

В проекциях на радиальное направление:

$$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$,  перешла в кинетическую):

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl\cos{\alpha}$$

Откуда

$$\upsilon^2=2 gl\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Тогда, подставив  (3) в (2), получим

$$\frac{m}{l}2 gl\cos{\alpha}=T-mg\cos{\alpha}$$

$$T= 3mg\cos{\alpha}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{T}{3mg}$$

Теперь подставим сюда $mg= T\cos{\alpha}$ и получаем

$$\cos{\alpha}=\frac{1}{3\cos{\alpha}}$$

$$\cos{\alpha}^2=\frac{1}{3}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Можно определить угол отсюда как $\alpha=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$, а можно через основное тригонометрическое тождество определить синус, и найти тангенс искомого угла:

$$\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}$$

Угол тогда $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$

Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$

 

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой $m_1=110$ кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой $m_2=690$ кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза $m$, который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью? (2013 г., вариант 5, №2)

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

$$m_1a=T-m_1g$$

При спуске:

$$m_2a=m_2g-T$$

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

$$a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}$$

Или

$$a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

$$\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$

$$( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1$$

$$ T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2$$

$$ T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}$$

Если бы груз массой $M$ просто висел на такой веревке, то мы бы записали

$$T=Mg$$

Следовательно,

$$ T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg $$

$$M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75$$

Ответ: 190 кг

Задача 4. Шар массой $m=200$ г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом $R=1,5$ м при частоте вращения $\nu=5$ об/с. Определите силу натяжения нити, считая ее нерастяжимой. (2013 г., вариант 9, №3)

На шар действуют три силы:  центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2R$$

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

$$T\cos{\alpha}=mg$$

$$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R $$

Тогда можно записать, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, что

$$T^2\cos^2{\alpha}=(mg)^2$$

$$T^2\sin^2{\alpha}=ma_n=m^2\omega^4R ^2$$

$$ T^2\cos^2{\alpha}+ T^2\sin^2{\alpha}=(mg)^2+ m^2\omega^4R ^2$$

$$ T^2(\cos^2{\alpha}+ \sin^2{\alpha})=m^2(g^2+\omega^4R ^2)$$

$$T=m\sqrt{ g^2+\omega^4R ^2}$$

$$T=m\sqrt{ g^2+16\pi^4\nu^4R ^2}$$

Подставим числа:

$$T=0,2\sqrt{ 10^2+16\cdot3,14^4\cdot 5^4\cdot1,5 ^2}=296$$

Ответ: $T=296$ Н.

Задача 5. К диску проигрывателя прикреплен высокий вертикальный стержень, а к вершине стержня подвешен шарик на нити длиной $L=37$ см. Расстояние стержня от оси вращения диска $a=10$ см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha=45^{\circ}$. Определите частоту вращения диска.(2013 г., вариант 1, №3)

 

На шар действуют три силы: центростремительная сила , сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее  центростремительную силу, запишем как

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$$

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

$$T\cos{\alpha}=mg$$

$$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R $$

Разделив одно уравнение на другое, имеем:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}$$

Определим $R$:

$$R=a+L\sin{\alpha}$$

Тогда скорость шарика равна

$$\upsilon^2=\operatorname{tg}{\alpha}gR$$

$$\upsilon=\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}$$

С другой стороны,

$$\upsilon=2\pi \nu R $$

Поэтому

$$\nu=\frac{\upsilon }{2\pi  R}=\frac{\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}}{2\pi (a+L\sin{\alpha}) }$$

$$\nu=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\operatorname{tg}{\alpha}g }{ a+L\sin{\alpha}}}$$

Подставим числа:

$$\nu=\frac{1}{2\cdot3,14 }\sqrt{\frac{10}{ 0,1+0,37\frac{\sqrt{2}}{2}}}=0,836$$

Ответ: $\nu=0,836$ Гц

 

Задача 6. Фонарь массой $M=100$ кг подвешен на металлической цепи длиной $L=5$ м. Найдите, на какую предельную высоту можно отклонить фонарь, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Цепь разрывается при силе натяжения $T=2$ кН. (2013 г., вариант 3, №4)

Нормальное ускорение запишем как

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}$$

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

$$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$$

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$,  перешла в кинетическую):

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$

Откуда

$$\upsilon^2=2 gh$$

Тогда сила натяжения

$$T=\left(\frac{2gh}{L}+g\right)m$$

Теперь осталось «вытащить» $h$:

$$\frac{T}{m}=\frac{2gh}{L}+g$$

$$\frac{2gh}{L}=\frac{T}{m}-g$$

$$h=\left(\frac{T}{2mg}-\frac{1}{2}\right)L$$

Считаем:

$$h=\left(\frac{2000}{2\cdot100\cdot10}-\frac{1}{2}\right)\cdot5=2,5$$

Ответ: $h=2,5$ м.

 

Задача 7. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, совершает колебания в вертикальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на максимальный угол $60^{\circ}$. Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная?  (2015 г., вариант 9, №4)

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

$$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$$

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$,  перешла в кинетическую):

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$

Откуда

$$\upsilon^2=2 gh=2g(L-L\cos{\alpha})$$

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})$$

То есть максимальная сила натяжения равна

$$T_{max}=m(g+2g(1-1\cos{\alpha}))=m(3g-2g\cos{\alpha})$$

Минимальной сила натяжения будет в верхней точке, дле нее запишем в проекциях на радиальную ось:

$$T_{min}=T=mg \cos{\alpha}$$

Отношение этих двух сил равно:

$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha})}{ \cos{\alpha}}$$

Считаем:

$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}=4$$

Ответ: в 4 раза.

 

Задача 8. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной $L=50$см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее положение шарика на $h=20$ см выше нижнего.  Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 10, №4)

Воспользовавшись предыдущей задачей, определим отношение сил. Нужно только вычислить тригонометрические функции угла отклонения нити, а именно, косинуса, и подставить в формулу, которую мы получили выше:

$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha}}{ \cos{\alpha}}$$

Из рисунка можно легко определить косинус угла отклонения, так как треугольник египетский, и, следовательно, если гипотенуза  $L=50$, а вертикальный катет $L-h=30$, то горизонтальный – 40:

$$\cos{\alpha}=\frac{a}{L}=\frac{4}{5}$$

Считаем:

$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{4}{5}}{ \frac{4}{5}}=\frac{1,4}{0,8}=1,75$$

Ответ: в 1,75 раза.