Подготовка в СУНЦ МГУ: шарики на нитках, экзамен в 10 класс

Задачи этой статьи были предложены поступающим в СУНЦ МГУ в 10 класс на экзаменах прошлых лет. Как репетитор я готовлю к экзамену по физике   СУНЦ МГУ. Под задачами указано, в каком году их предлагали на экзаменах.

Задача 1.  Шарик массой г прикреплен к концу тонкого легкого стержня длиной см, который равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он может выдержать максимальную нагрузку на разрыв Н? (2014 г., вариант 3, №4)

   

   

Для нижней точки запишем второй закон Ньютона:

   

Откуда

   

   

Ответ: рад/с.

 

Задача 2. Шарик на нити длиной отклонили на угол от вертикали и отпустили без начальной скорости. Какой угол с вертикалью будет составлять нить маятника в момент, когда его полное ускорение направлено горизонтально? (2014 г., вариант 4, №4)

В верхней точке траектории у шарика есть только тангенциальная составляющая ускорения: нормальное ускорение равно нулю, так как равна нулю скорость. В нижнем положении у шарика есть только нормальная составляющая ускорения: все силы в этой точке направлены по вертикальной оси. Таким образом, где-то между этими точками он будет иметь обе составляющие, причем нормальное будет все время расти, а тангенциальное все время уменьшаться. Cкорость шарика тоже можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная все время растет и в нижней точке максимальна, вертикальная сначала растет, затем, достигнув максимума, начинает уменьшаться и в нижней точке снова равна 0, как и в крайней. Нас интересует именно та точка, где вертикальная составляющая скорости максимальна. Так как ускорение – производная скорости, то в этой точке будет направлено горизонтально – перпендикулярно скорости. То есть не будет вертикальной составляющей ускорения, которая присутствовала бы в уравнении (1) и спутала бы нам все карты.

Тогда в проекциях на вертикальную ось:

   

В проекциях на радиальное направление:

   

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот ,  перешла в кинетическую):

   

Откуда

   

Тогда, подставив  (3) в (2), получим

   

   

   

Теперь подставим сюда и получаем

   

   

   

Можно определить угол отсюда как , а можно через основное тригонометрическое тождество определить синус, и найти тангенс искомого угла:

   

   

Угол тогда

Ответ:

 

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза , который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью? (2013 г., вариант 5, №2)

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

   

При спуске:

   

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

   

Или

   

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

   

   

   

   

Если бы груз массой просто висел на такой веревке, то мы бы записали

   

Следовательно,

   

   

Ответ: 190 кг

Задача 4. Шар массой г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом м при частоте вращения об/с. Определите силу натяжения нити, считая ее нерастяжимой. (2013 г., вариант 9, №3)

На шар действуют три силы:  центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как

   

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

   

   

Тогда можно записать, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, что

   

   

   

   

   

   

Подставим числа:

   

Ответ:  Н.

Задача 5. К диску проигрывателя прикреплен высокий вертикальный стержень, а к вершине стержня подвешен шарик на нити длиной см. Расстояние стержня от оси вращения диска см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол . Определите частоту вращения диска.(2013 г., вариант 1, №3)

 

На шар действуют три силы: центростремительная сила , сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее  центростремительную силу, запишем как

   

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

   

   

Разделив одно уравнение на другое, имеем:

   

Определим :

   

Тогда скорость шарика равна

   

   

С другой стороны,

   

Поэтому

   

   

Подставим числа:

   

Ответ: Гц

 

Задача 6. Фонарь массой кг подвешен на металлической цепи длиной м. Найдите, на какую предельную высоту можно отклонить фонарь, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Цепь разрывается при силе натяжения кН. (2013 г., вариант 3, №4)

Нормальное ускорение запишем как

   

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

   

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот ,  перешла в кинетическую):

   

Откуда

   

Тогда сила натяжения

   

Теперь осталось «вытащить» :

   

   

   

Считаем:

   

Ответ: м.

 

Задача 7. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, совершает колебания в вертикальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на максимальный угол . Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная?  (2015 г., вариант 9, №4)

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

   

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот ,  перешла в кинетическую):

   

Откуда

   

   

То есть максимальная сила натяжения равна

   

Минимальной сила натяжения будет в верхней точке, дле нее запишем в проекциях на радиальную ось:

   

Отношение этих двух сил равно:

   

Считаем:

   

Ответ: в 4 раза.

 

Задача 8. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее положение шарика на см выше нижнего.  Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 10, №4)

Воспользовавшись предыдущей задачей, определим отношение сил. Нужно только вычислить тригонометрические функции угла отклонения нити, а именно, косинуса, и подставить в формулу, которую мы получили выше:

   

Из рисунка можно легко определить косинус угла отклонения, так как треугольник египетский, и, следовательно, если гипотенуза  , а вертикальный катет , то горизонтальный – 40:

   

Считаем:

   

Ответ: в 1,75 раза.