[latexpage]
Задачи этой статьи были предложены поступающим в СУНЦ МГУ в 10 класс на экзаменах прошлых лет. Как репетитор я готовлю к экзамену по физике СУНЦ МГУ. Под задачами указано, в каком году их предлагали на экзаменах.
Задача 1. Шарик массой $m=250$ г прикреплен к концу тонкого легкого стержня длиной $L=40$ см, который равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он может выдержать максимальную нагрузку на разрыв $T_m=162,5$ Н? (2014 г., вариант 3, №4)

К задаче 1
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=\omega^2 L$$
$$a_n=4\pi^2 \nu^2 L$$
Для нижней точки запишем второй закон Ньютона:
$$T=m(g+a_n)=m(g+\omega^2 L)$$
Откуда
$$\omega=\sqrt{\frac{T-mg}{mL}}$$
$$\omega=\sqrt{\frac{162,5-0,2\cdot10}{0,2\cdot0,4}}=44,8$$
Ответ: $\omega=44,8$ рад/с.
Задача 2. Шарик на нити длиной $L$ отклонили на угол $90^{\circ}$ от вертикали и отпустили без начальной скорости. Какой угол с вертикалью будет составлять нить маятника в момент, когда его полное ускорение направлено горизонтально? (2014 г., вариант 4, №4)
В верхней точке траектории у шарика есть только тангенциальная составляющая ускорения: нормальное ускорение равно нулю, так как равна нулю скорость. В нижнем положении у шарика есть только нормальная составляющая ускорения: все силы в этой точке направлены по вертикальной оси. Таким образом, где-то между этими точками он будет иметь обе составляющие, причем нормальное будет все время расти, а тангенциальное все время уменьшаться. Cкорость шарика тоже можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная все время растет и в нижней точке максимальна, вертикальная сначала растет, затем, достигнув максимума, начинает уменьшаться и в нижней точке снова равна 0, как и в крайней. Нас интересует именно та точка, где вертикальная составляющая скорости максимальна. Так как ускорение – производная скорости, то в этой точке будет направлено горизонтально – перпендикулярно скорости. То есть не будет вертикальной составляющей ускорения, которая присутствовала бы в уравнении (1) и спутала бы нам все карты.
Тогда в проекциях на вертикальную ось:
$$T\cos{\alpha}=mg~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
В проекциях на радиальное направление:
$$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$, перешла в кинетическую):
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl\cos{\alpha}$$
Откуда
$$\upsilon^2=2 gl\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
Тогда, подставив (3) в (2), получим
$$\frac{m}{l}2 gl\cos{\alpha}=T-mg\cos{\alpha}$$
$$T= 3mg\cos{\alpha}$$
$$\cos{\alpha}=\frac{T}{3mg}$$
Теперь подставим сюда $mg= T\cos{\alpha}$ и получаем
$$\cos{\alpha}=\frac{1}{3\cos{\alpha}}$$
$$\cos{\alpha}^2=\frac{1}{3}$$
$$\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Можно определить угол отсюда как $\alpha=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$, а можно через основное тригонометрическое тождество определить синус, и найти тангенс искомого угла:
$$\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}$$
Угол тогда $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$
Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}$
Задача 3. Веревка выдерживает груз массой $m_1=110$ кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой $m_2=690$ кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза $m$, который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью? (2013 г., вариант 5, №2)

К задаче 3
Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:
$$m_1a=T-m_1g$$
При спуске:
$$m_2a=m_2g-T$$
Ускорение по условию одно и то же, тогда:
$$a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}$$
Или
$$a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$
Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:
$$\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}$$
$$( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1$$
$$ T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2$$
$$ T = \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}$$
Если бы груз массой $M$ просто висел на такой веревке, то мы бы записали
$$T=Mg$$
Следовательно,
$$ T = \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg $$
$$M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75$$
Ответ: 190 кг
Задача 4. Шар массой $m=200$ г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом $R=1,5$ м при частоте вращения $\nu=5$ об/с. Определите силу натяжения нити, считая ее нерастяжимой. (2013 г., вариант 9, №3)

К задаче 4
На шар действуют три силы: центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2R$$
Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.
$$T\cos{\alpha}=mg$$
$$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R $$
Тогда можно записать, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, что
$$T^2\cos^2{\alpha}=(mg)^2$$
$$T^2\sin^2{\alpha}=ma_n=m^2\omega^4R ^2$$
$$ T^2\cos^2{\alpha}+ T^2\sin^2{\alpha}=(mg)^2+ m^2\omega^4R ^2$$
$$ T^2(\cos^2{\alpha}+ \sin^2{\alpha})=m^2(g^2+\omega^4R ^2)$$
$$T=m\sqrt{ g^2+\omega^4R ^2}$$
$$T=m\sqrt{ g^2+16\pi^4\nu^4R ^2}$$
Подставим числа:
$$T=0,2\sqrt{ 10^2+16\cdot3,14^4\cdot 5^4\cdot1,5 ^2}=296$$
Ответ: $T=296$ Н.
Задача 5. К диску проигрывателя прикреплен высокий вертикальный стержень, а к вершине стержня подвешен шарик на нити длиной $L=37$ см. Расстояние стержня от оси вращения диска $a=10$ см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha=45^{\circ}$. Определите частоту вращения диска.(2013 г., вариант 1, №3)

К задаче 5
На шар действуют три силы: центростремительная сила , сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$$
Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.
$$T\cos{\alpha}=mg$$
$$T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R $$
Разделив одно уравнение на другое, имеем:
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}$$
Определим $R$:
$$R=a+L\sin{\alpha}$$
Тогда скорость шарика равна
$$\upsilon^2=\operatorname{tg}{\alpha}gR$$
$$\upsilon=\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}$$
С другой стороны,
$$\upsilon=2\pi \nu R $$
Поэтому
$$\nu=\frac{\upsilon }{2\pi R}=\frac{\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}}{2\pi (a+L\sin{\alpha}) }$$
$$\nu=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\operatorname{tg}{\alpha}g }{ a+L\sin{\alpha}}}$$
Подставим числа:
$$\nu=\frac{1}{2\cdot3,14 }\sqrt{\frac{10}{ 0,1+0,37\frac{\sqrt{2}}{2}}}=0,836$$
Ответ: $\nu=0,836$ Гц
Задача 6. Фонарь массой $M=100$ кг подвешен на металлической цепи длиной $L=5$ м. Найдите, на какую предельную высоту можно отклонить фонарь, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Цепь разрывается при силе натяжения $T=2$ кН. (2013 г., вариант 3, №4)

К задаче 6
Нормальное ускорение запишем как
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}$$
Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:
$$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$$
Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$, перешла в кинетическую):
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$
Откуда
$$\upsilon^2=2 gh$$
Тогда сила натяжения
$$T=\left(\frac{2gh}{L}+g\right)m$$
Теперь осталось «вытащить» $h$:
$$\frac{T}{m}=\frac{2gh}{L}+g$$
$$\frac{2gh}{L}=\frac{T}{m}-g$$
$$h=\left(\frac{T}{2mg}-\frac{1}{2}\right)L$$
Считаем:
$$h=\left(\frac{2000}{2\cdot100\cdot10}-\frac{1}{2}\right)\cdot5=2,5$$
Ответ: $h=2,5$ м.
Задача 7. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, совершает колебания в вертикальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на максимальный угол $60^{\circ}$. Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 9, №4)

К задаче 7
Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:
$$T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)$$
Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$, перешла в кинетическую):
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$
Откуда
$$\upsilon^2=2 gh=2g(L-L\cos{\alpha})$$
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})$$
То есть максимальная сила натяжения равна
$$T_{max}=m(g+2g(1-1\cos{\alpha}))=m(3g-2g\cos{\alpha})$$
Минимальной сила натяжения будет в верхней точке, дле нее запишем в проекциях на радиальную ось:
$$T_{min}=T=mg \cos{\alpha}$$
Отношение этих двух сил равно:
$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha})}{ \cos{\alpha}}$$
Считаем:
$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}=4$$
Ответ: в 4 раза.
Задача 8. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной $L=50$см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее положение шарика на $h=20$ см выше нижнего. Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 10, №4)
Воспользовавшись предыдущей задачей, определим отношение сил. Нужно только вычислить тригонометрические функции угла отклонения нити, а именно, косинуса, и подставить в формулу, которую мы получили выше:
$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha}}{ \cos{\alpha}}$$
Из рисунка можно легко определить косинус угла отклонения, так как треугольник египетский, и, следовательно, если гипотенуза $L=50$, а вертикальный катет $L-h=30$, то горизонтальный – 40:
$$\cos{\alpha}=\frac{a}{L}=\frac{4}{5}$$
Считаем:
$$\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{4}{5}}{ \frac{4}{5}}=\frac{1,4}{0,8}=1,75$$
Ответ: в 1,75 раза.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...