Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Законы сохранения энергии

Подготовка в СУНЦ МГУ: шарики на нитках, экзамен в 10 класс

Задачи этой статьи были предложены поступающим в СУНЦ МГУ в 10 класс на экзаменах прошлых лет. Как репетитор я готовлю к экзамену по физике   СУНЦ МГУ. Под задачами указано, в каком году их предлагали на экзаменах.

Задача 1.  Шарик массой m=250 г прикреплен к концу тонкого легкого стержня длиной L=40 см, который равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он может выдержать максимальную нагрузку на разрыв T_m=162,5 Н? (2014 г., вариант 3, №4)

К задаче 1

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=\omega^2 L\]

    \[a_n=4\pi^2 \nu^2 L\]

Для нижней точки запишем второй закон Ньютона:

    \[T=m(g+a_n)=m(g+\omega^2 L)\]

Откуда

    \[\omega=\sqrt{\frac{T-mg}{mL}}\]

    \[\omega=\sqrt{\frac{162,5-0,2\cdot10}{0,2\cdot0,4}}=44,8\]

Ответ: \omega=44,8 рад/с.

 

Задача 2. Шарик на нити длиной L отклонили на угол 90^{\circ} от вертикали и отпустили без начальной скорости. Какой угол с вертикалью будет составлять нить маятника в момент, когда его полное ускорение направлено горизонтально? (2014 г., вариант 4, №4)

В верхней точке траектории у шарика есть только тангенциальная составляющая ускорения: нормальное ускорение равно нулю, так как равна нулю скорость. В нижнем положении у шарика есть только нормальная составляющая ускорения: все силы в этой точке направлены по вертикальной оси. Таким образом, где-то между этими точками он будет иметь обе составляющие, причем нормальное будет все время расти, а тангенциальное все время уменьшаться. Cкорость шарика тоже можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная все время растет и в нижней точке максимальна, вертикальная сначала растет, затем, достигнув максимума, начинает уменьшаться и в нижней точке снова равна 0, как и в крайней. Нас интересует именно та точка, где вертикальная составляющая скорости максимальна. Так как ускорение – производная скорости, то в этой точке будет направлено горизонтально – перпендикулярно скорости. То есть не будет вертикальной составляющей ускорения, которая присутствовала бы в уравнении (1) и спутала бы нам все карты.

Тогда в проекциях на вертикальную ось:

    \[T\cos{\alpha}=mg~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

В проекциях на радиальное направление:

    \[\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот h,  перешла в кинетическую):

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl\cos{\alpha}\]

Откуда

    \[\upsilon^2=2 gl\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

Тогда, подставив  (3) в (2), получим

    \[\frac{m}{l}2 gl\cos{\alpha}=T-mg\cos{\alpha}\]

    \[T= 3mg\cos{\alpha}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{T}{3mg}\]

Теперь подставим сюда mg= T\cos{\alpha} и получаем

    \[\cos{\alpha}=\frac{1}{3\cos{\alpha}}\]

    \[\cos{\alpha}^2=\frac{1}{3}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Можно определить угол отсюда как \alpha=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}, а можно через основное тригонометрическое тождество определить синус, и найти тангенс искомого угла:

    \[\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}\]

Угол тогда \alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}

Ответ: \alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{2}

 

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой m_1=110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m_2=690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза m, который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью? (2013 г., вариант 5, №2)

К задаче 3

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

    \[m_1a=T-m_1g\]

При спуске:

    \[m_2a=m_2g-T\]

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

    \[a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}\]

Или

    \[a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}\]

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

    \[\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}\]

    \[( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1\]

    \[T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2\]

    \[T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}\]

Если бы груз массой M просто висел на такой веревке, то мы бы записали

    \[T=Mg\]

Следовательно,

    \[T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg\]

    \[M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75\]

Ответ: 190 кг

Задача 4. Шар массой m=200 г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом R=1,5 м при частоте вращения \nu=5 об/с. Определите силу натяжения нити, считая ее нерастяжимой. (2013 г., вариант 9, №3)

К задаче 4

На шар действуют три силы:  центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее центростремительную силу, запишем как

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2R\]

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

    \[T\cos{\alpha}=mg\]

    \[T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R\]

Тогда можно записать, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, что

    \[T^2\cos^2{\alpha}=(mg)^2\]

    \[T^2\sin^2{\alpha}=ma_n=m^2\omega^4R ^2\]

    \[T^2\cos^2{\alpha}+ T^2\sin^2{\alpha}=(mg)^2+ m^2\omega^4R ^2\]

    \[T^2(\cos^2{\alpha}+ \sin^2{\alpha})=m^2(g^2+\omega^4R ^2)\]

    \[T=m\sqrt{ g^2+\omega^4R ^2}\]

    \[T=m\sqrt{ g^2+16\pi^4\nu^4R ^2}\]

Подставим числа:

    \[T=0,2\sqrt{ 10^2+16\cdot3,14^4\cdot 5^4\cdot1,5 ^2}=296\]

Ответ: T=296 Н.

Задача 5. К диску проигрывателя прикреплен высокий вертикальный стержень, а к вершине стержня подвешен шарик на нити длиной L=37 см. Расстояние стержня от оси вращения диска a=10 см. После включения проигрывателя нить отклоняется от вертикали на угол \alpha=45^{\circ}. Определите частоту вращения диска.(2013 г., вариант 1, №3)

К задаче 5

 

На шар действуют три силы: центростремительная сила , сила тяжести и сила натяжения нити. Нормальное ускорение, обуславливающее  центростремительную силу, запишем как

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}\]

Силу натяжения нити разложим на две составляющие: вертикальную и горизонтальную.

    \[T\cos{\alpha}=mg\]

    \[T\sin{\alpha}=ma_n=m\omega^2R\]

Разделив одно уравнение на другое, имеем:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}\]

Определим R:

    \[R=a+L\sin{\alpha}\]

Тогда скорость шарика равна

    \[\upsilon^2=\operatorname{tg}{\alpha}gR\]

    \[\upsilon=\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}\]

С другой стороны,

    \[\upsilon=2\pi \nu R\]

Поэтому

    \[\nu=\frac{\upsilon }{2\pi  R}=\frac{\sqrt{\operatorname{tg}{\alpha}g(a+L\sin{\alpha})}}{2\pi (a+L\sin{\alpha}) }\]

    \[\nu=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\operatorname{tg}{\alpha}g }{ a+L\sin{\alpha}}}\]

Подставим числа:

    \[\nu=\frac{1}{2\cdot3,14 }\sqrt{\frac{10}{ 0,1+0,37\frac{\sqrt{2}}{2}}}=0,836\]

Ответ: \nu=0,836 Гц

 

Задача 6. Фонарь массой M=100 кг подвешен на металлической цепи длиной L=5 м. Найдите, на какую предельную высоту можно отклонить фонарь, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Цепь разрывается при силе натяжения T=2 кН. (2013 г., вариант 3, №4)


К задаче 6

Нормальное ускорение запишем как

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{L}\]

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

    \[T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)\]

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот h,  перешла в кинетическую):

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh\]

Откуда

    \[\upsilon^2=2 gh\]

Тогда сила натяжения

    \[T=\left(\frac{2gh}{L}+g\right)m\]

Теперь осталось «вытащить» h:

    \[\frac{T}{m}=\frac{2gh}{L}+g\]

    \[\frac{2gh}{L}=\frac{T}{m}-g\]

    \[h=\left(\frac{T}{2mg}-\frac{1}{2}\right)L\]

Считаем:

    \[h=\left(\frac{2000}{2\cdot100\cdot10}-\frac{1}{2}\right)\cdot5=2,5\]

Ответ: h=2,5 м.

 

Задача 7. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, совершает колебания в вертикальной плоскости, при этом нить отклоняется от вертикали на максимальный угол 60^{\circ}. Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная?  (2015 г., вариант 9, №4)

К задаче 7

Сила натяжения цепи будет максимальной в нижней точке траектории, для этой точки запишем:

    \[T=m(a_n+g)=m(\frac{\upsilon^2}{R}+g)\]

Скорость найдем из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот h,  перешла в кинетическую):

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh\]

Откуда

    \[\upsilon^2=2 gh=2g(L-L\cos{\alpha})\]

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})\]

То есть максимальная сила натяжения равна

    \[T_{max}=m(g+2g(1-1\cos{\alpha}))=m(3g-2g\cos{\alpha})\]

Минимальной сила натяжения будет в верхней точке, дле нее запишем в проекциях на радиальную ось:

    \[T_{min}=T=mg \cos{\alpha}\]

Отношение этих двух сил равно:

    \[\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha})}{ \cos{\alpha}}\]

Считаем:

    \[\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}=4\]

Ответ: в 4 раза.

 

Задача 8. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной L=50см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее положение шарика на h=20 см выше нижнего.  Во сколько раз максимальная сила натяжения нити в процессе движения больше, чем минимальная? (2015 г., вариант 10, №4)

Воспользовавшись предыдущей задачей, определим отношение сил. Нужно только вычислить тригонометрические функции угла отклонения нити, а именно, косинуса, и подставить в формулу, которую мы получили выше:

    \[\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cos{\alpha}}{ \cos{\alpha}}\]

Из рисунка можно легко определить косинус угла отклонения, так как треугольник египетский, и, следовательно, если гипотенуза  L=50, а вертикальный катет L-h=30, то горизонтальный – 40:

    \[\cos{\alpha}=\frac{a}{L}=\frac{4}{5}\]

Считаем:

    \[\frac{ T_{max}}{ T_{min}}=\frac{3-2\cdot \frac{4}{5}}{ \frac{4}{5}}=\frac{1,4}{0,8}=1,75\]

Ответ: в 1,75 раза.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *