Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Подготовка в СУНЦ МГУ: равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. С воздушного шара, зависшего в полный штиль над полем, сбросили без начальной скорости два небольших груза, причем второй на 1 с позже первого. Какое расстояние будет между грузами через t_1=2 с после начала движения первого груза? (2013 г., вариант 1, №2).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных  нечетных чисел 1:3:5:7 \ldots, то за первую секунду первое тело пройдет S_1=\frac{gt^2}{2}=5 м, а за вторую – 15 м – всего 20. Второе же тело двигается лишь 1 с, и пролетит 5 м. Таким образом, между телами будет 15 м.

Ответ: 15 м.

 

Задача 2.Кирпич свободно падает с высоты H_1=10 м. Одновременно с ним вертикально вниз бросают камень с высоты H_2=20 м. Оба тела упали на землю одновременно. Определите начальную скорость камня. (2013 г., вариант 2, №2).

Кирпич потратит на падение время, которое можно найти из

    \[H_1=\frac{gt^2}{2}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2H_1}{g}}\]

Камень будет лететь точно такое же время, поэтому

    \[H_2=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}\]

Подставим:

    \[H_2=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}+H_1\]

Тогда:

    \[H_2- H_1=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}\]

    \[\upsilon_0=( H_2- H_1) \sqrt{\frac{ g }{2H_1}}=10 \sqrt{\frac{ 10 }{20}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=7\]

Ответ: \upsilon_0=7 м/с.

 

Задача 3. Мяч бросили горизонтально с крыши дома со скоростью \upsilon_0=10 м/c. При падении на землю его скорость была направлена под углом 60^{\circ} к горизонту. Найдите высоту дома. (2013 г., вариант 3, №2).

По вертикали наш мяч просто падает, поэтому к концу движения наберет скорость (по вертикальной оси), равную gt. Так как в итоге скорость перед ударом о землю направлена под углом 60^{\circ}, то это означает, что между вертикальной и горизонтальной составляющими скорости  угол 60^{\circ}, и тогда

    \[\frac{\upsilon_0}{\upsilon_v}=\operatorname{ctg}60^{\circ}\]

Откуда

    \[\upsilon_v=\frac{\upsilon_0}{\operatorname{ctg}60^{\circ}}\]

Тогда время падения

    \[t=\frac{\upsilon_v }{g}=\frac{\upsilon_0}{g\operatorname{ctg}60^{\circ}}\]

Определяем высоту дома:

    \[H=\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2}{2g\operatorname{ctg^2} 60^{\circ}}\]

    \[H=\frac{100}{20\cdot\frac{1}{3}}=15\]

Ответ: H=15 м.

 

Задача 4. Мяч, брошенный под углом 60^{\circ} к  горизонту, упал на землю через время t=4 с. На каком расстоянии от места броска упал мяч? (2013 г., вариант 4, №2).

Запишем, как будет меняться скорость камня. Так как его бросили под углом, то скорость будет иметь две составляющие: горизонтальную \upsilon_0 \cos{\alpha}, и вертикальную: \upsilon_0 \sin{\alpha}. В самой верхней точке траектории вертикальная составляющая равна 0. Лететь до этой точки траектории тело будет в течение времени \frac{t}{2}. Следовательно,

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac{t}{2}=0\]

Откуда

    \[\upsilon_0= \frac{ g t }{2\sin{\alpha}}\]

По горизонтали тело будет лететь с постоянной скоростью \upsilon_0 \cos{\alpha}, и улетит на расстояние \upsilon_0 \cos{\alpha} t. Подставив \upsilon_0, получаем:

    \[S_x=\upsilon_0 \cos{\alpha} t=\frac{ g t }{2\sin{\alpha}}\cdot \cos{\alpha} t=\frac{gt^2}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}=\frac{10\cdot16}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{80}{\sqrt{3}}=46,2\]

Ответ: S_x=46,2 м.

Задача 5. С уклона длиной L=100 м лыжник спустился за 20 с, двигаясь с ускорением a=0,3 м/с^2. Какую скорость имел лыжник в начале и в конце уклона? (2013 г., вариант 5, №1).

Так как лыжник двигался равноускоренно, имея начальную скорость, то

    \[\upsilon=\upsilon_0+at\]

Также можно записать, что

    \[S=\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}\]

Откуда

    \[\upsilon_0= \frac{S-\frac{at^2}{2}}{t}=\frac{100-\frac{0,3\cdot400}{2}}{20}=2\]

Тогда

    \[\upsilon=\upsilon_0+at=2+0,3\cdot20=8\]

Ответ: \upsilon_0=2 м/с, \upsilon=8 м/с.

 

Задача 6. Снегокат, скатывающийся с горки с некоторой начальной скоростью, за первый от начала спуска интервал времени t=3 с проходит расстояние S_1=9 м, а за следующий за ним такой же интервал времени – расстояние S_2=22,5  м. Найдите ускорение и начальную скорость снегоката. (2013 г., вариант 7, №1).

Запишем уравнения для движения снегоката на разных участках:

    \[\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}=S_1\]

На конечной точке первого участка снегокат имел скорость

    \[\upsilon_1=\upsilon_0+at~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Тогда для второго участка

    \[S_2=\upsilon_1 t+\frac{at^2}{2}=(\upsilon_0+at) t+\frac{at^2}{2}=\upsilon_0t+at^2+\frac{at^2}{2}= at^2+S_1\]

Или

    \[at^2=S_2-S_1=13,5\]

Откуда

    \[a=\frac{ S_2-S_1}{t^2}=1,5\]

Теперь воспользуемся формулой

    \[2aS_1=\upsilon_1^2-\upsilon_0^2\]

    \[2aS_1=(\upsilon_1-\upsilon_0)( \upsilon_1+\upsilon_0)\]

А из (1) видно, что

    \[\upsilon_1-\upsilon_0=at~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Тогда

    \[\upsilon_1+\upsilon_0=\frac{2aS_1}{at}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

Вычитая из (3) – (2), получим:

    \[2\upsilon_0=\frac{2S_1}{t}-at\]

    \[\upsilon_0=\frac{S_1}{t}-\frac{at}{2}=3-2,25=0,75\]

Ответ: a=1,5 м/с^2, \upsilon_0=0,75 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *