Подготовка в СУНЦ МГУ: равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

[latexpage]

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. С воздушного шара, зависшего в полный штиль над полем, сбросили без начальной скорости два небольших груза, причем второй на 1 с позже первого. Какое расстояние будет между грузами через $t_1=2$ с после начала движения первого груза? (2013 г., вариант 1, №2).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных  нечетных чисел $1:3:5:7 \ldots$, то за первую секунду первое тело пройдет $S_1=\frac{gt^2}{2}=5$ м, а за вторую – 15 м – всего 20. Второе же тело двигается лишь 1 с, и пролетит 5 м. Таким образом, между телами будет 15 м.

Ответ: 15 м.

Задача 2.Кирпич свободно падает с высоты $H_1=10$ м. Одновременно с ним вертикально вниз бросают камень с высоты $H_2=20$ м. Оба тела упали на землю одновременно. Определите начальную скорость камня. (2013 г., вариант 2, №2).

Кирпич потратит на падение время, которое можно найти из

$$H_1=\frac{gt^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2H_1}{g}}$$

Камень будет лететь точно такое же время, поэтому

$$H_2=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

Подставим:

$$H_2=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}+H_1$$

Тогда:

$$ H_2- H_1=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}$$

$$\upsilon_0=( H_2- H_1) \sqrt{\frac{ g }{2H_1}}=10 \sqrt{\frac{ 10 }{20}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=7$$

Ответ: $\upsilon_0=7$ м/с.

Задача 3. Мяч бросили горизонтально с крыши дома со скоростью $\upsilon_0=10$ м/c. При падении на землю его скорость была направлена под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найдите высоту дома. (2013 г., вариант 3, №2).

По вертикали наш мяч просто падает, поэтому к концу движения наберет скорость (по вертикальной оси), равную $gt$. Так как в итоге скорость перед ударом о землю направлена под углом $60^{\circ}$, то это означает, что между вертикальной и горизонтальной составляющими скорости  угол $60^{\circ}$, и тогда

$$\frac{\upsilon_0}{\upsilon_v}=\operatorname{ctg}60^{\circ}$$

Откуда

$$\upsilon_v=\frac{\upsilon_0}{\operatorname{ctg}60^{\circ}}$$

Тогда время падения

$$t=\frac{\upsilon_v }{g}=\frac{\upsilon_0}{g\operatorname{ctg}60^{\circ}}$$

Определяем высоту дома:

$$H=\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2}{2g\operatorname{ctg^2} 60^{\circ}}$$

$$H=\frac{100}{20\cdot\frac{1}{3}}=15$$

Ответ: $H=15$ м.

Задача 4. Мяч, брошенный под углом $60^{\circ}$ к  горизонту, упал на землю через время $t=4$ с. На каком расстоянии от места броска упал мяч? (2013 г., вариант 4, №2).

Запишем, как будет меняться скорость камня. Так как его бросили под углом, то скорость будет иметь две составляющие: горизонтальную $\upsilon_0 \cos{\alpha}$, и вертикальную: $\upsilon_0 \sin{\alpha}$. В самой верхней точке траектории вертикальная составляющая равна 0. Лететь до этой точки траектории тело будет в течение времени $\frac{t}{2}$. Следовательно,

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac{t}{2}=0$$

Откуда

$$\upsilon_0= \frac{ g t }{2\sin{\alpha}}$$

По горизонтали тело будет лететь с постоянной скоростью $\upsilon_0 \cos{\alpha}$, и улетит на расстояние $\upsilon_0 \cos{\alpha} t$. Подставив $\upsilon_0 $, получаем:

$$S_x=\upsilon_0 \cos{\alpha} t=\frac{ g t }{2\sin{\alpha}}\cdot \cos{\alpha} t=\frac{gt^2}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}=\frac{10\cdot16}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{80}{\sqrt{3}}=46,2$$

Ответ: $S_x=46,2$ м.

Задача 5. С уклона длиной $L=100$ м лыжник спустился за 20 с, двигаясь с ускорением $a=0,3$ м/с$^2$. Какую скорость имел лыжник в начале и в конце уклона? (2013 г., вариант 5, №1).

Так как лыжник двигался равноускоренно, имея начальную скорость, то

$$\upsilon=\upsilon_0+at$$

Также можно записать, что

$$S=\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon_0= \frac{S-\frac{at^2}{2}}{t}=\frac{100-\frac{0,3\cdot400}{2}}{20}=2$$

Тогда

$$\upsilon=\upsilon_0+at=2+0,3\cdot20=8$$

Ответ: $\upsilon_0=2$ м/с, $\upsilon=8$ м/с.

Задача 6. Снегокат, скатывающийся с горки с некоторой начальной скоростью, за первый от начала спуска интервал времени $t=3$ с проходит расстояние $S_1=9$ м, а за следующий за ним такой же интервал времени – расстояние $S_2=22,5$  м. Найдите ускорение и начальную скорость снегоката. (2013 г., вариант 7, №1).

Запишем уравнения для движения снегоката на разных участках:

$$\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}=S_1$$

На конечной точке первого участка снегокат имел скорость

$$\upsilon_1=\upsilon_0+at~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Тогда для второго участка

$$S_2=\upsilon_1 t+\frac{at^2}{2}=(\upsilon_0+at) t+\frac{at^2}{2}=\upsilon_0t+at^2+\frac{at^2}{2}= at^2+S_1$$

Или

$$ at^2=S_2-S_1=13,5$$

Откуда

$$a=\frac{ S_2-S_1}{t^2}=1,5$$

Теперь воспользуемся формулой

$$2aS_1=\upsilon_1^2-\upsilon_0^2$$

$$2aS_1=(\upsilon_1-\upsilon_0)( \upsilon_1+\upsilon_0)$$

А из (1) видно, что

$$\upsilon_1-\upsilon_0=at~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Тогда

$$\upsilon_1+\upsilon_0=\frac{2aS_1}{at}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Вычитая из (3) – (2), получим:

$$2\upsilon_0=\frac{2S_1}{t}-at$$

$$\upsilon_0=\frac{S_1}{t}-\frac{at}{2}=3-2,25=0,75$$

Ответ: $a=1,5$ м/с$^2$, $\upsilon_0=0,75$ м/с.