Подготовка в СУНЦ МГУ: равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. С воздушного шара, зависшего в полный штиль над полем, сбросили без начальной скорости два небольших груза, причем второй на 1 с позже первого. Какое расстояние будет между грузами через $t_1=2$ с после начала движения первого груза? (2013 г., вариант 1, №2).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных нечетных чисел $1:3:5:7 \ldots$ , то за первую секунду первое тело пройдет $S_1=\frac{gt^2}{2}=5$ м, а за вторую – 15 м – всего 20. Второе же тело двигается лишь 1 с, и пролетит 5 м. Таким образом, между телами будет 15 м.

Ответ: 15 м.

Задача 2.Кирпич свободно падает с высоты $H_1=10$ м. Одновременно с ним вертикально вниз бросают камень с высоты $H_2=20$ м. Оба тела упали на землю одновременно. Определите начальную скорость камня. (2013 г., вариант 2, №2).

Кирпич потратит на падение время, которое можно найти из

$H_1=\frac{gt^2}{2}$

$t=\sqrt{\frac{2H_1}{g}}$

Камень будет лететь точно такое же время, поэтому

$H_2=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$

Подставим:

$H_2=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}+H_1$

Тогда:

$H_2- H_1=\upsilon_0 \sqrt{\frac{2H_1}{g}}$

$\upsilon_0=( H_2- H_1) \sqrt{\frac{ g }{2H_1}}=10 \sqrt{\frac{ 10 }{20}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=7$

Ответ: $\upsilon_0=7$ м/с.

Задача 3. Мяч бросили горизонтально с крыши дома со скоростью $\upsilon_0=10$ м/c. При падении на землю его скорость была направлена под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найдите высоту дома. (2013 г., вариант 3, №2).

По вертикали наш мяч просто падает, поэтому к концу движения наберет скорость (по вертикальной оси), равную $gt$ . Так как в итоге скорость перед ударом о землю направлена под углом $60^{\circ}$ , то это означает, что между вертикальной и горизонтальной составляющими скорости угол $60^{\circ}$ , и тогда

$\frac{\upsilon_0}{\upsilon_v}=\operatorname{ctg}60^{\circ}$

Откуда

$\upsilon_v=\frac{\upsilon_0}{\operatorname{ctg}60^{\circ}}$

Тогда время падения

$t=\frac{\upsilon_v }{g}=\frac{\upsilon_0}{g\operatorname{ctg}60^{\circ}}$

Определяем высоту дома:

$H=\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2}{2g\operatorname{ctg^2} 60^{\circ}}$

$H=\frac{100}{20\cdot\frac{1}{3}}=15$

Ответ: $H=15$ м.

Задача 4. Мяч, брошенный под углом $60^{\circ}$ к горизонту, упал на землю через время $t=4$ с. На каком расстоянии от места броска упал мяч? (2013 г., вариант 4, №2).

Запишем, как будет меняться скорость камня. Так как его бросили под углом, то скорость будет иметь две составляющие: горизонтальную $\upsilon_0 \cos{\alpha}$ , и вертикальную: $\upsilon_0 \sin{\alpha}$ . В самой верхней точке траектории вертикальная составляющая равна 0. Лететь до этой точки траектории тело будет в течение времени $\frac{t}{2}$ . Следовательно,

$\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac{t}{2}=0$

Откуда

$\upsilon_0= \frac{ g t }{2\sin{\alpha}}$

По горизонтали тело будет лететь с постоянной скоростью $\upsilon_0 \cos{\alpha}$ , и улетит на расстояние $\upsilon_0 \cos{\alpha} t$ . Подставив $\upsilon_0$ , получаем:

$S_x=\upsilon_0 \cos{\alpha} t=\frac{ g t }{2\sin{\alpha}}\cdot \cos{\alpha} t=\frac{gt^2}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}=\frac{10\cdot16}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{80}{\sqrt{3}}=46,2$

Ответ: $S_x=46,2$ м.

Задача 5. С уклона длиной $L=100$ м лыжник спустился за 20 с, двигаясь с ускорением $a=0,3$ м/с $^2$ . Какую скорость имел лыжник в начале и в конце уклона? (2013 г., вариант 5, №1).

Так как лыжник двигался равноускоренно, имея начальную скорость, то

$\upsilon=\upsilon_0+at$

Также можно записать, что

$S=\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}$

Откуда

$\upsilon_0= \frac{S-\frac{at^2}{2}}{t}=\frac{100-\frac{0,3\cdot400}{2}}{20}=2$

Тогда

$\upsilon=\upsilon_0+at=2+0,3\cdot20=8$

Ответ: $\upsilon_0=2$ м/с, $\upsilon=8$ м/с.

Задача 6. Снегокат, скатывающийся с горки с некоторой начальной скоростью, за первый от начала спуска интервал времени $t=3$ с проходит расстояние $S_1=9$ м, а за следующий за ним такой же интервал времени – расстояние $S_2=22,5$ м. Найдите ускорение и начальную скорость снегоката. (2013 г., вариант 7, №1).