Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Равнопеременное движение

Подготовка в СУНЦ МГУ: равномерное и равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

[latexpage]

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 16 м/с. Через время $t_1=12$ с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с постоянным ускорением $a=2$ м/с. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик? (2014 г., вариант 1, №1).

К моменту старта мотоциклиста грузовик успел отъехать на расстояние $S_1=\upsilon_{gr} t_1$. Давайте с этого момента до момента встречи считать время движения грузовика и мотоциклиста одинаковым и равным $t$. Тогда грузовик пройдет за это время расстояние, равное $S_2=\upsilon_{gr} t$. А мотоциклист будет двигаться без начальной скорости и пройдет путь $S=\frac{at^2}{2}$. Путь мотоциклиста больше на $S_1$, так как в момент старта мотоцикл и грузовик находятся именно на этом расстоянии. Следовательно, можем записать:

$$S-S_1=S_2$$

$$\frac{at^2}{2}-\upsilon_{gr} t_1=\upsilon_{gr} t$$

Имеем квадратное уравнение:

$$\frac{at^2}{2}-\upsilon_{gr} t- \upsilon_{gr} t_1=0 $$

$$\frac{D}{4}=\left(\frac{\upsilon_{gr} }{2}\right)^2+\frac{a\upsilon_{gr} t_1}{2}$$

$$\frac{D}{4}=8^2+\frac{2\cdot16\cdot12}{2}=256$$

$$t=\frac{\frac{\upsilon_{gr} }{2}+\sqrt{\frac{D}{4}}}{\frac{a}{2}}$$

$$t=\frac{8+\sqrt{256}}{\frac{2}{2}}=24$$

Отрицательный корень не подойдет по смыслу задачи.

Ответ: 24 с.

 

Задача 2. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением $a=1,5$ м/с$^2$, затем, достигнув скорости $\upsilon=54$ км/ч, он некоторое время едет равномерно, после чего тормозит с таким же по модулю ускорением до остановки. Найдите время движения автомобиля, если известно, что он проехал путь $S=10,8$ км. (2014 г., вариант 3, №1).

Переведем скорость равномерного движения в м/с: $\upsilon=\frac{54000}{3600}=\frac{30}{2}=15$ м/с. Теперь можно найти время разгона (оно же – время торможения):

$$\upsilon=at_r$$

$$t_r=\frac{\upsilon }{a}=10$$

Теперь воспользуемся чертежом и тем, что путь – это площадь под графиком скорости.

К задаче 2

Перед нами – равнобедренная трапеция. Ее площадь равна

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Где в нашем случае $a=t$, $b=t+2t_r$, $h=\upsilon=15$.

Следовательно,

$$S=\frac{2t+2t_r}{2}\cdot15=10800$$

Решая это уравнение, получим

$$t=\frac{10800}{15}-t_r=720-10=710$$

Не забудем, что нужно было найти в задаче, общее время движения $t+2t_r=710+20=730$ с.

Ответ: 730 с.

 

Задача 3. Велосипедист проехал по прямой дистанцию $S_1=24$ км со скоростью $\upsilon_1=18$ км/ч, затем, повернув под прямым углом, проехал, продолжая двигаться прямолинейно, некоторое расстояние со скоростью $\upsilon_2=24$ км/ч. Чему равно перемещение велосипедиста, если средняя скорость прохождения им всего пути оказалась равной $\upsilon_{sr}=21$ км/ч? (2014 г., вариант 4, №1).

Весь путь, пройденный велосипедистом, можно найти как

$$S=S_1+\upsilon_2 t$$

Где $t$ – время прохождения второго участка.

Найдем время движения велосипедиста на первом участке:

$$t_1=\frac{S_1}{\upsilon_1}$$

Средняя скорость велосипедиста – весь пройденный путь, деленный на все время. То есть

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t+t_1}=\frac{ S_1+\upsilon_2 t }{t+\frac{S_1}{\upsilon_1}}=\frac{( S_1+\upsilon_2 t) \upsilon_1 }{t \upsilon_1+S_1}$$

Средняя скорость дана, определим время:

$$ ( S_1+\upsilon_2 t) \upsilon_1=\upsilon_{sr}( t \upsilon_1+S_1)$$

$$  S_1\upsilon_1+\upsilon_2 t \upsilon_1=\upsilon_{sr} t \upsilon_1+S_1\upsilon_{sr} $$

$$  \upsilon_2 t \upsilon_1-\upsilon_{sr} t \upsilon_1=S_1\upsilon_{sr}- S_1\upsilon_1$$

$$t=\frac{ S_1(\upsilon_{sr}- \upsilon_1)}{ \upsilon_1( \upsilon_2-\upsilon_{sr})}$$

$$t=\frac{ 24(21- 18)}{ 18( 24-21)}=\frac{4}{3}$$

Теперь, зная время, можно и перемещение определить:

$$l=\sqrt{S_1^2+S_2^2}$$

$$ l=\sqrt{S_1^2+(\upsilon_2 t)^2}=\sqrt{24^2+(24\cdot\frac{4}{3})^2}=\sqrt{24^2+32^2}$$

Заметим, что $24=3\cdot8$, а $32=4\cdot 8$. То есть треугольник – египетский, и, прежде чем бросаться на амбразуру и множить двузначные числа и извлекать корни, можно, немного подумав, понять, что гипотенуза такого треугольника, очевидно, будет равна $l=5\cdot8=40$.

Ответ: 40 км.

 

Задача 4. Сосулька падает без начальной скорости с высоты $H=45$ м. Найдите ее среднюю скорость на последнем отрезке пути длиной $S=25$ м. (2013 г., вариант 9, №1).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных  нечетных чисел $1:3:5:7 \ldots$, то за первую секунду тело пройдет $S_1=\frac{gt^2}{2}=5$ м, тогда за вторую – 15 м, за третью – 25. Получается, тело всего падало 3 с, из которых последние 25 м прошло за 1 с. Тогда и средняя скорость тела (сосульки) равна 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5. Стрела выпущена вертикально вверх со скоростью $\upsilon_0$. На  какой высоте скорость стрелы уменьшится по модулю в три раза? (2013 г., вариант 10, №1).

Воспользуемся формулой

$$2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2$$

Так как стрела летит вверх, движение равнозамедленное и $a=-g$, поэтому

$$2gS=\upsilon_0^2-\upsilon^2$$

Подставим $\upsilon=\frac{\upsilon_0}{3}$, имеем:

$$2gS=\upsilon_0^2-\frac{\upsilon_0^2}{9}=\frac{8\upsilon_0^2}{9}$$

Откуда

$$S=\frac{4\upsilon_0^2}{9g}$$

Ответ: $S=\frac{4\upsilon_0^2}{9g}$

Задача 6. Первую треть пути мальчик ехал на велосипеде со скоростью $\upsilon_1=12$ км/ч, а оставшуюся часть пути шел со скоростью $\upsilon_2=6$ км/ч. Какова средняя скорость мальчика на всем пути. (2013 г., вариант 1, №1).

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}$$

Мальчик ехал $\frac{S}{3}$, скорость его была равна $\upsilon_1$, поэтому затраченное на этот отрезок пути время

$$t_1=\frac{S}{3\upsilon_1}$$

Очевидно, пройти оставалось $\frac{2S}{3}$, скорость была равна $\upsilon_2$, поэтому затраченное на второй отрезок пути время равно

$$t_2=\frac{2S}{3\upsilon_2}$$

Общее время пути $t=t_1+t_2$, подставим в среднюю скорость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{2S}{3\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{3\upsilon_1\upsilon_2}{2\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{216}{30}=7,2$$

Ответ: 7,2 км/ч.

Задача 7. Пешеход часть пути прошел со скоростью $\upsilon_1=3$ км/ч, затратив на это $\frac{2}{3}$ времени своего движения.  Оставшееся время он двигался со скоростью $\upsilon_2=6$ км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути? (2013 г., вариант 2, №1).

Найдем путь, пройденный на первом временном отрезке:

$$S_1=\upsilon_1\cdot\frac{2t}{3}$$

Тогда на втором отрезке времени путь пешехода составит:

$$ S_2=\upsilon_2\cdot\frac{t}{3}$$

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{\upsilon_1\cdot\frac{2t}{3}+\upsilon_2\cdot\frac{t}{3}}{t}$$

$$\upsilon_{sr}=\upsilon_1\cdot\frac{2}{3}+\upsilon_2\cdot\frac{1}{3}=2+2=4$$

Ответ: 4 км/ч

 

Задача 8. Первую половину пути велосипедист проехал со скоростью $\upsilon_1=12$ км/ч. Далее, половину оставшегося времени он ехал со скоростью $\upsilon_2=6$ км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью $\upsilon_3=4$ км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем пути? (2013 г., вариант 3, №1).

В этой задаче неизвестен ни путь, ни время. Обозначим время на первой половине $t_1$, а на второй – $t_2$. Тогда на второй половине пути велосипедист ехал со скоростью $\upsilon_2$  в течение времени $\frac{t_2}{2}$, и со скоростью $\upsilon_3$ точно такое же время.

То есть можно записать

$$\frac{S}{2}=\upsilon_1 t_1$$

И

$$\frac{S}{2}=\upsilon_2\cdot \frac{t_2}{2}+\upsilon_3\cdot \frac{t_2}{2}$$

Или,

$$S=2\upsilon_1 t_1$$

$$S=t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)$$

Получим отсюда соотношение времен:

$$2\upsilon_1 t_1= t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)$$

$$\frac{ t_1}{ t_2}=\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1}$$

Теперь можно определить среднюю скорость:

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{ t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1} t_2+t_2}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1} +1}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3+2\upsilon_1}{2\upsilon_1} }=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3) 2\upsilon_1}{\upsilon_2+\upsilon_3+2\upsilon_1}=\frac{10\cdot24}{34}=7,05$$

Ответ: $\upsilon_{sr}=7$ км/ч.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *