Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Равнопеременное движение

Подготовка в СУНЦ МГУ: равномерное и равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 16 м/с. Через время t_1=12 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с постоянным ускорением a=2 м/с. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик? (2014 г., вариант 1, №1).

К моменту старта мотоциклиста грузовик успел отъехать на расстояние S_1=\upsilon_{gr} t_1. Давайте с этого момента до момента встречи считать время движения грузовика и мотоциклиста одинаковым и равным t. Тогда грузовик пройдет за это время расстояние, равное S_2=\upsilon_{gr} t. А мотоциклист будет двигаться без начальной скорости и пройдет путь S=\frac{at^2}{2}. Путь мотоциклиста больше на S_1, так как в момент старта мотоцикл и грузовик находятся именно на этом расстоянии. Следовательно, можем записать:

    \[S-S_1=S_2\]

    \[\frac{at^2}{2}-\upsilon_{gr} t_1=\upsilon_{gr} t\]

Имеем квадратное уравнение:

    \[\frac{at^2}{2}-\upsilon_{gr} t- \upsilon_{gr} t_1=0\]

    \[\frac{D}{4}=\left(\frac{\upsilon_{gr} }{2}\right)^2+\frac{a\upsilon_{gr} t_1}{2}\]

    \[\frac{D}{4}=8^2+\frac{2\cdot16\cdot12}{2}=256\]

    \[t=\frac{\frac{\upsilon_{gr} }{2}+\sqrt{\frac{D}{4}}}{\frac{a}{2}}\]

    \[t=\frac{8+\sqrt{256}}{\frac{2}{2}}=24\]

Отрицательный корень не подойдет по смыслу задачи.

Ответ: 24 с.

 

Задача 2. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением a=1,5 м/с^2, затем, достигнув скорости \upsilon=54 км/ч, он некоторое время едет равномерно, после чего тормозит с таким же по модулю ускорением до остановки. Найдите время движения автомобиля, если известно, что он проехал путь S=10,8 км. (2014 г., вариант 3, №1).

Переведем скорость равномерного движения в м/с: \upsilon=\frac{54000}{3600}=\frac{30}{2}=15 м/с. Теперь можно найти время разгона (оно же – время торможения):

    \[\upsilon=at_r\]

    \[t_r=\frac{\upsilon }{a}=10\]

Теперь воспользуемся чертежом и тем, что путь – это площадь под графиком скорости.

К задаче 2

Перед нами – равнобедренная трапеция. Ее площадь равна

    \[S=\frac{a+b}{2}\cdot h\]

Где в нашем случае a=t, b=t+2t_r, h=\upsilon=15.

Следовательно,

    \[S=\frac{2t+2t_r}{2}\cdot15=10800\]

Решая это уравнение, получим

    \[t=\frac{10800}{15}-t_r=720-10=710\]

Не забудем, что нужно было найти в задаче, общее время движения t+2t_r=710+20=730 с.

Ответ: 730 с.

 

Задача 3. Велосипедист проехал по прямой дистанцию S_1=24 км со скоростью \upsilon_1=18 км/ч, затем, повернув под прямым углом, проехал, продолжая двигаться прямолинейно, некоторое расстояние со скоростью \upsilon_2=24 км/ч. Чему равно перемещение велосипедиста, если средняя скорость прохождения им всего пути оказалась равной \upsilon_{sr}=21 км/ч? (2014 г., вариант 4, №1).

Весь путь, пройденный велосипедистом, можно найти как

    \[S=S_1+\upsilon_2 t\]

Где t – время прохождения второго участка.

Найдем время движения велосипедиста на первом участке:

    \[t_1=\frac{S_1}{\upsilon_1}\]

Средняя скорость велосипедиста – весь пройденный путь, деленный на все время. То есть

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t+t_1}=\frac{ S_1+\upsilon_2 t }{t+\frac{S_1}{\upsilon_1}}=\frac{( S_1+\upsilon_2 t) \upsilon_1 }{t \upsilon_1+S_1}\]

Средняя скорость дана, определим время:

    \[( S_1+\upsilon_2 t) \upsilon_1=\upsilon_{sr}( t \upsilon_1+S_1)\]

    \[  S_1\upsilon_1+\upsilon_2 t \upsilon_1=\upsilon_{sr} t \upsilon_1+S_1\upsilon_{sr}\]

    \[  \upsilon_2 t \upsilon_1-\upsilon_{sr} t \upsilon_1=S_1\upsilon_{sr}- S_1\upsilon_1\]

    \[t=\frac{ S_1(\upsilon_{sr}- \upsilon_1)}{ \upsilon_1( \upsilon_2-\upsilon_{sr})}\]

    \[t=\frac{ 24(21- 18)}{ 18( 24-21)}=\frac{4}{3}\]

Теперь, зная время, можно и перемещение определить:

    \[l=\sqrt{S_1^2+S_2^2}\]

    \[l=\sqrt{S_1^2+(\upsilon_2 t)^2}=\sqrt{24^2+(24\cdot\frac{4}{3})^2}=\sqrt{24^2+32^2}\]

Заметим, что 24=3\cdot8, а 32=4\cdot 8. То есть треугольник – египетский, и, прежде чем бросаться на амбразуру и множить двузначные числа и извлекать корни, можно, немного подумав, понять, что гипотенуза такого треугольника, очевидно, будет равна l=5\cdot8=40.

Ответ: 40 км.

 

Задача 4. Сосулька падает без начальной скорости с высоты H=45 м. Найдите ее среднюю скорость на последнем отрезке пути длиной S=25 м. (2013 г., вариант 9, №1).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных  нечетных чисел 1:3:5:7 \ldots, то за первую секунду тело пройдет S_1=\frac{gt^2}{2}=5 м, тогда за вторую – 15 м, за третью – 25. Получается, тело всего падало 3 с, из которых последние 25 м прошло за 1 с. Тогда и средняя скорость тела (сосульки) равна 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5. Стрела выпущена вертикально вверх со скоростью \upsilon_0. На  какой высоте скорость стрелы уменьшится по модулю в три раза? (2013 г., вариант 10, №1).

Воспользуемся формулой

    \[2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2\]

Так как стрела летит вверх, движение равнозамедленное и a=-g, поэтому

    \[2gS=\upsilon_0^2-\upsilon^2\]

Подставим \upsilon=\frac{\upsilon_0}{3}, имеем:

    \[2gS=\upsilon_0^2-\frac{\upsilon_0^2}{9}=\frac{8\upsilon_0^2}{9}\]

Откуда

    \[S=\frac{4\upsilon_0^2}{9g}\]

Ответ: S=\frac{4\upsilon_0^2}{9g}

Задача 6. Первую треть пути мальчик ехал на велосипеде со скоростью \upsilon_1=12 км/ч, а оставшуюся часть пути шел со скоростью \upsilon_2=6 км/ч. Какова средняя скорость мальчика на всем пути. (2013 г., вариант 1, №1).

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}\]

Мальчик ехал \frac{S}{3}, скорость его была равна \upsilon_1, поэтому затраченное на этот отрезок пути время

    \[t_1=\frac{S}{3\upsilon_1}\]

Очевидно, пройти оставалось \frac{2S}{3}, скорость была равна \upsilon_2, поэтому затраченное на второй отрезок пути время равно

    \[t_2=\frac{2S}{3\upsilon_2}\]

Общее время пути t=t_1+t_2, подставим в среднюю скорость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{2S}{3\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{3\upsilon_1\upsilon_2}{2\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{216}{30}=7,2\]

Ответ: 7,2 км/ч.

Задача 7. Пешеход часть пути прошел со скоростью \upsilon_1=3 км/ч, затратив на это \frac{2}{3} времени своего движения.  Оставшееся время он двигался со скоростью \upsilon_2=6 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути? (2013 г., вариант 2, №1).

Найдем путь, пройденный на первом временном отрезке:

    \[S_1=\upsilon_1\cdot\frac{2t}{3}\]

Тогда на втором отрезке времени путь пешехода составит:

    \[S_2=\upsilon_2\cdot\frac{t}{3}\]

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{\upsilon_1\cdot\frac{2t}{3}+\upsilon_2\cdot\frac{t}{3}}{t}\]

    \[\upsilon_{sr}=\upsilon_1\cdot\frac{2}{3}+\upsilon_2\cdot\frac{1}{3}=2+2=4\]

Ответ: 4 км/ч

 

Задача 8. Первую половину пути велосипедист проехал со скоростью \upsilon_1=12 км/ч. Далее, половину оставшегося времени он ехал со скоростью \upsilon_2=6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью \upsilon_3=4 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем пути? (2013 г., вариант 3, №1).

В этой задаче неизвестен ни путь, ни время. Обозначим время на первой половине t_1, а на второй – t_2. Тогда на второй половине пути велосипедист ехал со скоростью \upsilon_2  в течение времени \frac{t_2}{2}, и со скоростью \upsilon_3 точно такое же время.

То есть можно записать

    \[\frac{S}{2}=\upsilon_1 t_1\]

И

    \[\frac{S}{2}=\upsilon_2\cdot \frac{t_2}{2}+\upsilon_3\cdot \frac{t_2}{2}\]

Или,

    \[S=2\upsilon_1 t_1\]

    \[S=t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)\]

Получим отсюда соотношение времен:

    \[2\upsilon_1 t_1= t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)\]

    \[\frac{ t_1}{ t_2}=\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1}\]

Теперь можно определить среднюю скорость:

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{ t_2(\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1} t_2+t_2}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3}{2\upsilon_1} +1}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3)}{\frac{\upsilon_2+\upsilon_3+2\upsilon_1}{2\upsilon_1} }=\frac{ (\upsilon_2+\upsilon_3) 2\upsilon_1}{\upsilon_2+\upsilon_3+2\upsilon_1}=\frac{10\cdot24}{34}=7,05\]

Ответ: \upsilon_{sr}=7 км/ч.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *