Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Равнопеременное движение

Подготовка в СУНЦ МГУ: равномерное и равноускоренное движение, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные и крепенькие, как орешки. Словом, “вкусные” задачи предлагаю вашему вниманию. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 16 м/с. Через время с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с постоянным ускорением м/с. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик? (2014 г., вариант 1, №1).

К моменту старта мотоциклиста грузовик успел отъехать на расстояние . Давайте с этого момента до момента встречи считать время движения грузовика и мотоциклиста одинаковым и равным . Тогда грузовик пройдет за это время расстояние, равное . А мотоциклист будет двигаться без начальной скорости и пройдет путь . Путь мотоциклиста больше на , так как в момент старта мотоцикл и грузовик находятся именно на этом расстоянии. Следовательно, можем записать:

   

   

Имеем квадратное уравнение:

   

   

   

   

   

Отрицательный корень не подойдет по смыслу задачи.

Ответ: 24 с.

 

Задача 2. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением м/с, затем, достигнув скорости км/ч, он некоторое время едет равномерно, после чего тормозит с таким же по модулю ускорением до остановки. Найдите время движения автомобиля, если известно, что он проехал путь км. (2014 г., вариант 3, №1).

Переведем скорость равномерного движения в м/с: м/с. Теперь можно найти время разгона (оно же – время торможения):

   

   

Теперь воспользуемся чертежом и тем, что путь – это площадь под графиком скорости.

К задаче 2

Перед нами – равнобедренная трапеция. Ее площадь равна

   

Где в нашем случае , , .

Следовательно,

   

Решая это уравнение, получим

   

Не забудем, что нужно было найти в задаче, общее время движения с.

Ответ: 730 с.

 

Задача 3. Велосипедист проехал по прямой дистанцию км со скоростью км/ч, затем, повернув под прямым углом, проехал, продолжая двигаться прямолинейно, некоторое расстояние со скоростью км/ч. Чему равно перемещение велосипедиста, если средняя скорость прохождения им всего пути оказалась равной км/ч? (2014 г., вариант 4, №1).

Весь путь, пройденный велосипедистом, можно найти как

   

Где – время прохождения второго участка.

Найдем время движения велосипедиста на первом участке:

   

Средняя скорость велосипедиста – весь пройденный путь, деленный на все время. То есть

   

Средняя скорость дана, определим время:

   

   

   

   

   

Теперь, зная время, можно и перемещение определить:

   

   

Заметим, что , а . То есть треугольник – египетский, и, прежде чем бросаться на амбразуру и множить двузначные числа и извлекать корни, можно, немного подумав, понять, что гипотенуза такого треугольника, очевидно, будет равна .

Ответ: 40 км.

 

Задача 4. Сосулька падает без начальной скорости с высоты м. Найдите ее среднюю скорость на последнем отрезке пути длиной м. (2013 г., вариант 9, №1).

Так как при равноускоренном движении отрезки пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд последовательных  нечетных чисел , то за первую секунду тело пройдет м, тогда за вторую – 15 м, за третью – 25. Получается, тело всего падало 3 с, из которых последние 25 м прошло за 1 с. Тогда и средняя скорость тела (сосульки) равна 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5. Стрела выпущена вертикально вверх со скоростью . На  какой высоте скорость стрелы уменьшится по модулю в три раза? (2013 г., вариант 10, №1).

Воспользуемся формулой

   

Так как стрела летит вверх, движение равнозамедленное и , поэтому

   

Подставим , имеем:

   

Откуда

   

Ответ:

Задача 6. Первую треть пути мальчик ехал на велосипеде со скоростью км/ч, а оставшуюся часть пути шел со скоростью км/ч. Какова средняя скорость мальчика на всем пути. (2013 г., вариант 1, №1).

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

   

Мальчик ехал , скорость его была равна , поэтому затраченное на этот отрезок пути время

   

Очевидно, пройти оставалось , скорость была равна , поэтому затраченное на второй отрезок пути время равно

   

Общее время пути , подставим в среднюю скорость:

   

   

Ответ: 7,2 км/ч.

Задача 7. Пешеход часть пути прошел со скоростью км/ч, затратив на это времени своего движения.  Оставшееся время он двигался со скоростью км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути? (2013 г., вариант 2, №1).

Найдем путь, пройденный на первом временном отрезке:

   

Тогда на втором отрезке времени путь пешехода составит:

   

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

   

   

   

Ответ: 4 км/ч

 

Задача 8. Первую половину пути велосипедист проехал со скоростью км/ч. Далее, половину оставшегося времени он ехал со скоростью км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем пути? (2013 г., вариант 3, №1).

В этой задаче неизвестен ни путь, ни время. Обозначим время на первой половине , а на второй – . Тогда на второй половине пути велосипедист ехал со скоростью  в течение времени , и со скоростью точно такое же время.

То есть можно записать

   

И

   

Или,

   

   

Получим отсюда соотношение времен:

   

   

Теперь можно определить среднюю скорость:

Средняя скорость – это весь путь, деленный на все время движения.

   

   

   

   

Ответ: км/ч.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *