Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы, Работа газа

Подготовка в СУНЦ МГУ – МКТ, экзамен в 11 класс

Продолжаю серию статей с решением задач вступительного экзамена в СУНЦ МГУ. В этой статье вам предлагаются задачи по теме “Молекулярно-кинетическая теория”. Задачи разные, иногда “на подумать” – довольно интересные.

Задача 1. Закрытый цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально, разделен на две части легкоподвижным теплопроводящим поршнем. Каково будет равновесное положение поршня, если в одну часть сосуда помещена некоторая масса кислорода, а в другую – такая же масса водорода? Длина сосуда равна 85 см. Газы считать идеальными.

Давления газов одинаковы, только при этом условии поршень придет в равновесное положение. Поэтому

    \[p_O=\frac{m_O}{M_O V_O}RT\]

    \[p_H=\frac{m_H}{M_H V_H}RT\]

    \[p_O=p_H\]

    \[\frac{m_O}{M_O V_O}=\frac{m_H}{M_H V_H}\]

Так как массы газов равны, можно сократить на них наше выражение и тогда получить отношение объемов:

    \[\frac{V_O}{V_H}=\frac{M_H}{M_O}=\frac{1}{16}\]

Иными словами, 1 часть объема займет водород, а 16 частей – кислород. То есть делить сосуд нужно на 16+1=17 элементарных объемов. Так как сечение сосуда всюду одинаково, то объемы относятся так же, как относятся длины частей сосуда:

    \[l_H=\frac{l}{17}=\frac{85}{17}=5\]

    \[l_O=80\]

Ответ: поршень расположится в 5 см от края сосуда, меньший объем занимает водород.

 

Задача 2. Детский воздушный шарик, наполненный гелием, имеет объем V=3  л и находится при нормальных условиях. Шарик опускают в цистерну с горячей водой, имеющей температуру t=90^{\circ}, и располагают его на расстоянии h=2 м от поверхности воды. Найдите работу A, совершенную гелием при нагревании. Давлением, вызванным оболочкой шара, пренебречь.

Количество газа в шарике не изменится.  Также расширение газа происходит на одной и той же глубине, то есть процесс изобарический, давайте построим решение на этом факте.

Так как сначала газ находился в нормальных условиях, то и занять он должен был молярный объем:

    \[V_0=\nu V_M\]

Откуда

    \[\nu=\frac{V_0}{V_m}\]

Работа газа может быть найдена как

    \[A=p\Delta V=\nu R\Delta T\]

    \[A=\frac{V_0}{V_m} R (T_1-T_0)=\frac{3}{22,4}\cdot8,31\cdot90=100,16\]

Ответ: 100 Дж.

Задача 3. В закрытом сосуде находится гелий при давлении p. Из сосуда выпускают треть газа, закрывают  сосуд и нагревают его до такой температуры, что давление гелия снова становится равным p. Сравните внутренние энергии газа в сосуде в начальном и конечном состояниях.

Внутренняя энергия гелия вначале определяется выражением:

    \[U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1\]

А в конце:

    \[U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2\]

Так как треть газа выпустили, то

    \[\nu_2=\frac{2}{3}\nu_1\]

Давление неизменно, объем тоже, поэтому

    \[pV=\nu_1 RT_1=\nu_2 RT_2\]

Или

    \[T_2=\frac{\nu_1 T_1}{\nu_2}\]

Отношение внутренних энергий будет равно:

    \[\frac{U_2}{U_1}=\frac{\nu_2 RT_2}{\nu_1 RT_1}=1\]

Ответ: U_2=U_1.

Задача 4. Над одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс, показанный на рисунке. Начальная температура газа T_0=200 К. Найдите количество теплоты Q, полученное газом в этом процессе, если отношение конечного давления к начальному n=2.

К задаче 4

Из графика видно, что процесс является изохорным. Так как V=const, то

    \[\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}\]

    \[T_1=\frac{T_0 p_1}{p_0}=\frac{T_0 np_0}{p_0}=nT_0\]

Работа в изохорном процессе равна 0, поэтому

    \[Q=\Delta U\]

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T =\frac{3}{2}\nu R (T_1-T_0)= \frac{3}{2}\nu R T_0(n-1)\]

Подставляем:

    \[Q=\frac{3}{2}\cdot 8,31 \cdot 200=2493\]

Ответ: Q=2,5 кДж.

Задача 5. Давление гелия, находящегося в сосуде объемом V=1 л, после нагревания возросло на \Delta p=10^5 Па. Определите количество теплоты Q, сообщенной газу, считая его идеальным.

Так как работа (газ находится в сосуде) равна 0, то

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T =\frac{3}{2}V \Delta p=\frac{3}{2} \cdot10^{-3}\cdot10^5=150\]

Ответ: Q=150 Дж.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *