Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы, Первое начало термодинамики, Работа газа

Подготовка в СУНЦ МГУ – МКТ-3. Экзамен в 11 класс.

Продолжаю серию статей по задачам экзамена в СУНЦ МГУ прошлых лет. Чем большее разнообразие задач будет вами освоено – тем больше шансов сдать экзамен.

Задача 1. Идеальный газ постоянной массы расширяется по закону pV^n=const.  В каком интервале должно лежать значение n, чтобы газ при расширении нагревался?

Если температура газа остается постоянной (правая часть уравнения), то и левая тоже должна быть неизменной. При увеличении объема давление будет падать. Чтобы правая часть уравнения росла (температура поднималась бы), нужно, чтобы объем рос медленнее, чем падает давление. Давление в левой части уравнения в первой степени, следовательно, объем должен быть в степени, меньшей 1.

Ответ: n<1.

Задача 2. Над идеальным газом совершают процесс, приблизительно представленный на p-V диаграмме  окружностью.   Этой окружности в точках 1 и 5 касаются изобары, в точках 2 и 6 – изотермы, в точках 3 и 7 – адиабаты и в точках 4 и 8 – изохоры. Известны теплоты, которыми газ в процессе цикла обменивался с окружающими телами: Q_{12}=7 Дж, Q_{23}=2 Дж, Q_{34}=4 Дж, Q_{45}=11 Дж, Q_{56}=5 Дж, Q_{67}=1 Дж, Q_{78}=3 Дж, и Q_{81}=12 Дж.  Найдите КПД цикла.

К задаче 2

Нас изо всех указанных точек будут интересовать только 3 и 7, поскольку именно в них цикла касаются адиабаты.  До точки 3 газ получает тепло, после точки 3 – отдает, и отдает до точки 7. Тогда КПД

    \[\eta=1-\frac{Q_1}{Q_2}\]

Где Q_1=Q_{34}+Q_{45}+Q_{56}+Q_{67}, Q_2=Q_{78}+Q_{81}+Q_{12}+Q_{23}

    \[\eta=1-\frac{ Q_{34}+Q_{45}+Q_{56}+Q_{67}}{ Q_{78}+Q_{81}+Q_{12}+Q_{23}}=1-\frac{21}{24}=\frac{1}{8}=0,125\]

Ответ: 12,5%

Задача 3. В закрытом сосуде находится некоторая масса азота при атмосферном давлении p_1. Каким станет давление p_2 в сосуде, если в него закачать еще такую же массу водорода, а температуру понизить на \varepsilon=20\%? Газы считать идеальными.

Первоначально состояние газа описывается уравнением:

    \[p_1 V=\nu_1 R T_1\]

Затем

    \[p_2 V=(\nu_1+\nu_2) R T_2\]

Отношение

    \[\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{\nu_1+\nu_2}{\nu_1}\]

Так как температуру понизили, то

    \[T_2=0,8T_1\]

Если азота в сосуде было \nu_1, то такое же количество водорода  по массе будет соответствовать \nu_2=14\nu_1. Тогда

    \[\frac{p_2}{p_1}=0,8\cdot\frac{\nu_1+14\nu_1}{\nu_1}=0,8\cdot15=12\]

Ответ: давление станет равным  12 атм.

Задача 4. Идеальный одноатомный газ, изобарно расширяясь, увеличивает свою внутреннюю энергию на \Delta U. Найдите полученную им при этом теплоту Q.

    \[\Delta U=\frac{3}{2}p\Delta V\]

    \[p\Delta V=\frac{2}{3}\Delta U\]

    \[Q=A+\Delta U=p\Delta V+\frac{3}{2}p\Delta V=\frac{5}{2} p\Delta V=\frac{5}{2} \cdot\frac{2}{3}\Delta U =\frac{5}{3}\Delta U\]

Ответ: Q=\frac{5}{3}\Delta U.

Задача 5. Два баллона объемами V_1=1 л и V_2=3 л соединены трубкой, объемом которой можно пренебречь, с краном. В сосудах находятся идеальные газы: в первом  – при давлении p_1=10^5 Па, во втором – при давлении p_2=0,6\cdot10^5  Па. Какое давление p установится в баллонах, если открыть кран?

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать, что

    \[\nu_1=\frac{p_1 V_1}{RT}\]

    \[\nu_2=\frac{p_2 V_2}{RT}\]

По закону Бойля-Мариотта

    \[p_1'(V_1+V_2)=p_1V_1\]

    \[p_2'(V_1+V_2)=p_2V_2\]

По закону Дальтона

    \[p=p_1'+p_2'=\frac{p_1V_1+ p_2 V_2}{V_1+V_2}=\frac{10^5\cdot10^{-3}+ 0,6\cdot10^5\cdot3\cdot10^{-3}}{4\cdot10^{-3}}=0,7\cdot10^5\]

Ответ: p=0,7\cdot10^5.

Задача 6. Идеальный газ постоянной массы расширяется по закону p=\alpha V, где \alpha=const. Найдите работу A, совершенную газом при изменении его объема от V_1 до V_2.

Работа газа будет равна площади под кривой процесса. Поскольку зависимость давления от объема прямая, то процесс будет изображаться прямой и искомая площадь – площадь трапеции. Тогда

    \[A=\frac{(p_2-p_1)( V_1+V_2)}{2 }=\frac{(\alpha V_2-\alpha V_1)( V_1+V_2)}{2 }=\frac{\alpha(V_2^2-V_1^2)}{2}\]

Ответ: A=\frac{\alpha(V_2^2-V_1^2)}{2}.

Комментариев - 9

  • Вадим
    |

    Здравствуйте, Анна Валерьевна. У меня вопрос по задаче №2. Не совсем понятно из каких соображений у Вас выходит, что газ получает тепло на участке 7-3, а отдает на участке 3-7. Не могли бы Вы пояснить подробнее, как именно точка касания с адиабатой определяет знак полученного количества теплоты?
    Как я понимаю, на участке 3-4 газ совершает положительную работу, но его внутренняя энергия убывает. Если это не адиабатический процесс, то такое возможно только при подводе тепла. На участке 7-8 газ совершает отрицательную работу и его внутренняя энергия убывает, значит у газа отнимают тепло.

    Ответить
    • Анна
      |

      “На участке 3-4 газ совершает положительную работу, но его внутренняя энергия убывает” – согласна. Такое возможно при отводе тепла, если модуль внутренней энергии больше, чем модуль работы. “На участке 7-8 газ совершает отрицательную работу и его внутренняя энергия убывает” – не согласна. Произведение p_8V_8 больше, чем произведение p_7V_7 – внутренняя энергия растет. Работа отрицательна. В зависимости от соотношения модулей работы и внутренней энергии могло быть как получение тепла, так и отведение.
      Тут все дело именно в точках, где окружности касаются адиабаты – именно в этих точках равны по модулю работа и внутренняя энергия. Вы не будете спорить, что в процессе 8-1 идет получение газом некоторого количества теплоты – это очевидно. Работа и изменение внутренней энергии положительны. Далее работа всюду до точки 3 положительна, чего не скажешь об изменении внутренней энергии. Оно сначала положительно, но все меньше и меньше при движении по окружности, и наконец, становится отрицательным. Но по модулю изменение внутренней меньше работы до точки 3. А после нее весы склоняются в другую сторону, и модуль изменения внутренней становится больше положительной работы – газ отдает теплоту.

      Ответить
      • Вадим
        |

        Спасибо за Ваш ответ!

        “Такое возможно при отводе тепла, если модуль внутренней энергии больше, чем модуль работы” и “Но по модулю изменение внутренней меньше работы до точки 3” – но как можно это определенно утверждать, если нет никаких числовых данных?

        Мне эта задача кажется далеко нетривиальной и очень интересной. Может у Вас есть свои расчеты и формулы? Буду весьма признателен, если поделитесь.

        Ответить
        • Анна
          |

          Нет, конечно, расчетов нет и их невозможно сделать, потому что даже в тексте задачи сказано, что “график примерно изображен”. Мои мысли, которые привели к решению этой задачи, я уже высказала.

          Ответить
          • Анатолий.
            |

            Задача обсуждалась в 2018 году.
            См. например: http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=187&t=16029&p=209911#p209911

            Ответить
          • Анна
            |

            Спасибо, к чему вы?

            Ответить
          • Анатолий
            |

            Это к тому что в предыдущем сообщении (в ответе на вопрос Вадима), Вы написали что расчетов не и их невозможно сделать…В рассуждениях по указанной ссылке, однозначно показано на каких участках газ получал и на каких участках цикла отдавал тепло.

            Ответить
          • Анна
            |

            Я старалась Вадиму объяснить. Расчетов нельзя сделать, да, только рассуждения… Возможно, комментарии по вашей ссылке его удовлетворят больше. Спасибо большое.

            Ответить
          • Вадим
            |

            Спасибо!

            Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *