Подготовка в СУНЦ МГУ – МКТ-3. Экзамен в 11 класс.

[latexpage]

Продолжаю серию статей по задачам экзамена в СУНЦ МГУ прошлых лет. Чем большее разнообразие задач будет вами освоено – тем больше шансов сдать экзамен.

Задача 1. Идеальный газ постоянной массы расширяется по закону $pV^n=const$.  В каком интервале должно лежать значение $n$, чтобы газ при расширении нагревался?

Если температура газа остается постоянной (правая часть уравнения), то и левая тоже должна быть неизменной. При увеличении объема давление будет падать. Чтобы правая часть уравнения росла (температура поднималась бы), нужно, чтобы объем рос медленнее, чем падает давление. Давление в левой части уравнения в первой степени, следовательно, объем должен быть в степени, меньшей 1.

Ответ: $n<1$.

Задача 2. Над идеальным газом совершают процесс, приблизительно представленный на $p-V$ диаграмме  окружностью.   Этой окружности в точках 1 и 5 касаются изобары, в точках 2 и 6 – изотермы, в точках 3 и 7 – адиабаты и в точках 4 и 8 – изохоры. Известны теплоты, которыми газ в процессе цикла обменивался с окружающими телами: $Q_{12}=7$ Дж, $Q_{23}=2$ Дж, $Q_{34}=4$ Дж, $Q_{45}=11$ Дж, $Q_{56}=5$ Дж, $Q_{67}=1$ Дж, $Q_{78}=3$ Дж, и $Q_{81}=12$ Дж.  Найдите КПД цикла.

К задаче 2

Нас изо всех указанных точек будут интересовать только 3 и 7, поскольку именно в них цикла касаются адиабаты.  До точки 3 газ получает тепло, после точки 3 – отдает, и отдает до точки 7. Тогда КПД

$$\eta=1-\frac{Q_1}{Q_2}$$

Где $Q_1=Q_{34}+Q_{45}+Q_{56}+Q_{67}$, $Q_2=Q_{78}+Q_{81}+Q_{12}+Q_{23}$

$$\eta=1-\frac{ Q_{34}+Q_{45}+Q_{56}+Q_{67}}{ Q_{78}+Q_{81}+Q_{12}+Q_{23}}=1-\frac{21}{24}=\frac{1}{8}=0,125$$

Ответ: 12,5%

Задача 3. В закрытом сосуде находится некоторая масса азота при атмосферном давлении $p_1$. Каким станет давление $p_2$ в сосуде, если в него закачать еще такую же массу водорода, а температуру понизить на $\varepsilon=20\%$? Газы считать идеальными.

Первоначально состояние газа описывается уравнением:

$$p_1 V=\nu_1 R T_1$$

Затем

$$ p_2 V=(\nu_1+\nu_2) R T_2$$

Отношение

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{\nu_1+\nu_2}{\nu_1}$$

Так как температуру понизили, то

$$T_2=0,8T_1$$

Если азота в сосуде было $\nu_1$, то такое же количество водорода  по массе будет соответствовать $\nu_2=14\nu_1$. Тогда

$$\frac{p_2}{p_1}=0,8\cdot\frac{\nu_1+14\nu_1}{\nu_1}=0,8\cdot15=12$$

Ответ: давление станет равным  12 атм.

Задача 4. Идеальный одноатомный газ, изобарно расширяясь, увеличивает свою внутреннюю энергию на $\Delta U$. Найдите полученную им при этом теплоту $Q$.

$$\Delta U=\frac{3}{2}p\Delta V$$

$$ p\Delta V=\frac{2}{3}\Delta U$$

$$Q=A+\Delta U=p\Delta V+\frac{3}{2}p\Delta V=\frac{5}{2} p\Delta V=\frac{5}{2} \cdot\frac{2}{3}\Delta U =\frac{5}{3}\Delta U $$

Ответ: $Q=\frac{5}{3}\Delta U $.

Задача 5. Два баллона объемами $V_1=1$ л и $V_2=3$ л соединены трубкой, объемом которой можно пренебречь, с краном. В сосудах находятся идеальные газы: в первом  – при давлении $p_1=10^5$ Па, во втором – при давлении $p_2=0,6\cdot10^5$  Па. Какое давление $p$ установится в баллонах, если открыть кран?

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать, что

$$\nu_1=\frac{p_1 V_1}{RT}$$

$$\nu_2=\frac{p_2 V_2}{RT}$$

По закону Бойля-Мариотта

$$p_1’(V_1+V_2)=p_1V_1$$

$$p_2’(V_1+V_2)=p_2V_2$$

По закону Дальтона

$$p=p_1’+p_2’=\frac{p_1V_1+ p_2 V_2}{V_1+V_2}=\frac{10^5\cdot10^{-3}+ 0,6\cdot10^5\cdot3\cdot10^{-3}}{4\cdot10^{-3}}=0,7\cdot10^5$$

Ответ: $p=0,7\cdot10^5$.

Задача 6. Идеальный газ постоянной массы расширяется по закону $p=\alpha V$, где $\alpha=const$. Найдите работу $A$, совершенную газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$.

Работа газа будет равна площади под кривой процесса. Поскольку зависимость давления от объема прямая, то процесс будет изображаться прямой и искомая площадь – площадь трапеции. Тогда

$$A=\frac{(p_2-p_1)( V_1+V_2)}{2 }=\frac{(\alpha V_2-\alpha V_1)( V_1+V_2)}{2 }=\frac{\alpha(V_2^2-V_1^2)}{2}$$

Ответ: $A=\frac{\alpha(V_2^2-V_1^2)}{2}$.