Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы, Первое начало термодинамики, Работа газа

Подготовка в СУНЦ МГУ – МКТ-2. Экзамен в 11 класс.

Продолжаю серию статей по задачам экзамена в СУНЦ МГУ прошлых лет. Чем большее разнообразие задач будет вами освоено – тем больше шансов сдать экзамен.

Задача 1. Представьте в координатах V_T три изобары идеального газа: а) давление равно p, количество молей – \nu;  б) давление равно 2p, количество молей – \nu;  в) давление равно p, количество молей – 2\nu.

Изобразим изобару для давления p, и количества вещества \nu.

К задаче 1, рисунок 1

Если увеличить количество вещества, то при той же температуре давление будет вдвое больше:

К задаче 1, рисунок 2

Если давление увеличить вдвое при том же количестве вещества, то это означает, что температура будет меньше вдвое.

К задаче 1, рисунок 3

Задача 2. Цилиндрический сосуд  разделен на две части легкоподвижным  поршнем. Слева от поршня – \nu_1=1 моль гелия, справа – \nu_2=2 моля аргона. Газы находятся при температуре T_0 и давлении p_0, при которых их можно считать идеальными. В правой  части цилиндра находится выпускной клапан, настроенный на давление p_0 (при давлении, превышающем p_0, он выпускает излишки газа). Цилиндр нагревают до температуры 2T_0. Найдите суммарную внутреннюю энергию U газов, находящихся в сосуде в конечном состоянии.

Для состояния до подогрева можно записать:

    \[p_0V_{He}=\nu_{He} RT_0\]

    \[p_0V_{Ar}=\nu_{Ar} RT_0\]

Откуда следует

    \[\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{1}{2}\]

При подогреве до температуры 2T_0 давление останется тем же, а объем должен увеличиться вдвое, но: количество гелия никак не пострадает, а вот часть аргона утечет.  Аргон занимал \frac{2}{3} объема сосуда, за счет расширения гелия ему останется только \frac{1}{3}, да еще он сам вдвое расширится, то есть по количеству вещества его останется \frac{1}{4}. Теперь можно посчитать внутреннюю энергию газов.

    \[U=U_{He}+U_{Ar}=\frac{3}{2}\nu_{He} R\cdot 2T_0+\frac{3}{2}\nu_{Ar} R\cdot 2T_0=3T_0R(1+0,5)=4,5RT_0\]

Ответ: U=4,5RT_0.

Задача 3. Идеальный одноатомный газ, нагревается сначала изобарно (1-2), а затем изохорно (2-3). Каким должно быть отношение n конечного и начального объемов, чтобы теплоты, полученные на первой и второй стадиях процесса, были одинаковыми?

Заметим, что точки 1 и 3 лежат на одной прямой. Тогда для процесса 1-2 запишем:

    \[Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=p\Delta V+\frac{3}{2}p\Delta V=\frac{5}{3} p\Delta V=\frac{5}{2} p V_0(n-1)\]

В процессе 2-3 работа равна 0, следовательно,

    \[Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\Delta p\cdot V=\frac{3}{2}\Delta p\cdot nV_0\]

Из подобия треугольников M3N и 123 заключаем, что p_3= np_1=np, поэтому

    \[Q_{23}=\frac{3}{2} (np-p) nV_0\]

Так как по условию две теплоты равны, то

    \[\frac{5}{2} p V_0(n-1)= \frac{3}{2} (np-p) nV_0\]

Откуда

    \[n=\frac{5}{3}\]

Ответ: n=\frac{5}{3}.

Задача 4. Начальное давление воздуха в сосуде p_0=729 мм.рт.ст. После трех ходов откачивающего поршневого насоса оно упало до p=216 мм.рт.ст. Считая процесс изотермическим, происходящим при комнатной температуре, найдите отношение объемов насоса \Delta V и сосуда V.

Запишем уравнение Бойля-Мариотта для первого хода насоса.

    \[p_1V_1=p_2(V_1+ \Delta V)\]

    \[p_1=p_2\frac{ V_1+ \Delta V }{V_1}\]

Для второго хода:

    \[p_2V_2=p_3(V_2+ \Delta V)\]

    \[p_1=p_3\frac{ (V_1+ \Delta V) (V_2+ \Delta V) }{V_1V_2}\]

Но V_1=V_2=V_3, тогда

    \[p_1=p_3\frac{ (V_1+ \Delta V)^2 }{V_1^2}\]

Тогда после трех ходов

    \[\frac{p_4}{p_1}=\frac{V_1^3}{ (V_1+ \Delta V)^3}=\frac{8}{27}\]

Тогда

    \[\frac{V_1}{ V_1+ \Delta V}=\frac{2}{3}\]

Откуда

    \[\frac{\Delta V}{V}=0,5\]

Ответ: \frac{\Delta V}{V}=0,5.

Задача 5. Один моль одноатомного идеального газа адиабатически сжимают, совершив над ним работу A=25 Дж. Насколько возрастет при этом его температура T?

Процесс адиабатический, обмена теплом с окружающими телами нет. Следовательно, Q=0.

    \[Q=\Delta U-A\]

    \[\Delta U=A\]

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=A\]

    \[\Delta T=\frac{2A}{3\nu R}=\frac{50}{3\cdot1\cdot 8,31}=2\]

Ответ: \Delta T=2 К.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *