Подготовка в СУНЦ МГУ – кинематика. Экзамен в 9 класс

[latexpage]

Задачи, связанные с разными темами кинематики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1.Тело с помощью троса поднимают с поверхности земли вертикально вверх с ускорением $a=2$ м/с$^2$.  Через время $t=5$ после начала движения трос оборвался. Сколько времени падало тело после обрыва троса?

При движении до обрыва троса тело приобрело скорость

$$\upsilon_0=at=10$$

После обрыва троса тело продолжило движение вверх , до тех пор, пока его скорость  не станет равной нулю:

$$\upsilon=\upsilon_0-gt_1$$

$$t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=1$$

При подъеме на тросе тело достигло высоты

$$S_1=\frac{at^2}{2}=25$$

При свободном движении вверх тело поднялось на высоту

$$S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=10-5=5$$

Таким образом, тело будет падать с высоты $H=S_1+S_2=25+5=30$ м. Время падения тела:

$$t_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{6}=2,45$$

Таким образом, после обрыва троса тело было в воздухе

$$T=t_1+t_2=1+2,45=3,45$$

Ответ: 3,45 с

Задача 2. Двигатель ракеты, запущенной с земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение $a=10$ м/с$^2$ в течение времени $t=20$ с, после чего выключается. С какой скоростью ракета упала бы на землю, если бы сопротивлением воздуха можно было бы пренебречь?

При движении до выключения двигателя ракета  приобрела скорость

$$\upsilon_0=at=200$$

После выключения двигателя ракета  продолжит движение вверх , до тех пор, пока ее скорость  не станет равной нулю:

$$\upsilon=\upsilon_0-gt_1$$

$$t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=20$$

При включенном двигателе ракета достигла высоты

$$S_1=\frac{at^2}{2}=2000$$

При свободном движении вверх ракета  поднялась на высоту

$$S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=4000-2000=2000$$

Таким образом, ракета будет падать с высоты $H=S_1+S_2=4000$ м. Скорость ракеты у земли:

$$\upsilon_1=\sqrt{2Hg}=\sqrt{80000}=282,8$$

Ответ: 282,8 м/с.

Задача 3. Точка движется по окружности с постоянной скоростью $V=2$ м/с. При этом за промежуток времени $\tau=2$ с вектор скорости меняет свое направление на угол $\alpha=45^{\circ}$. Найдите период обращения и величину ускорения точки при движении по окружности.

Так как вектор скорости при полном обходе точкой окружности поменяет направление на $360^{\circ}$, то, следовательно, тратя на $\frac{1}{8}$ окружности ($45^{\circ}$) 2с, на полную окружность потребуется 16 с – это и будет периодом обращения.

Определим радиус окружности. Для этого потребуется угловая скорость:

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{6,28}{16}=0,3925$$

Но $\omega=\frac{V}{R}$, тогда

$$R=\frac{V}{\omega }=\frac{2}{0,3925}=5,1$$

Тогда

$$a_n=\frac{V^2}{R}=\frac{4}{5,1}=0,785$$

Ответ: $T=16$ с, $a_n=0,785$ м/с$^2$.

Задача 4. По круговой беговой дорожке стадиона из одной точки одновременно в противоположных направлениях побежали два спортсмена. Через какое время они встретятся, если одному из них на преодоление круга стадиона требуется $T_1=70$ c, а его товарищу – $T_2=80$ с?

Скорость первого спортсмена равна

$$\upsilon_1=\frac{l}{T_1}$$

А второго

$$\upsilon_2=\frac{l}{T_2}$$

Где $l$ – длина круга стадиона. Спортсмены сближаются со скоростью $\upsilon_1+\upsilon_2$, значит, до их встречи пройдет время

$$T=\frac{l}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{l}{\frac{l}{T_1}+\frac{l}{T_2}}=\frac{T_1T_2}{ T_1+T_2}=\frac{70\cdot80}{150}=37,3$$

Ответ: $T=37,3$ с.

Задача 5. Из города А в город В выехали по расписанию с интервалом $\tau=12$ мин два одинаковых автобуса. Они поочередно, с интервалом $T=14$ минут, обогнали одного и того же велосипедиста, едущего в город В. Во сколько раз скорость автобусов больше скорости велосипедиста?

Расстояние между автобусами равно $\upsilon \tau$.

В момент, когда первый автобус поравнялся с велосипедистом, перейдем в систему отсчета, связанную со вторым автобусом. Тогда велосипедист в этой системе отсчета приближается к автобусу со скоростью, равной разности скоростей автобуса и велосипедиста. Он покрывает указанное выше расстояние между автобусами за 14 минут. Следовательно, если скорость велосипедиста равна $a$, то можно записать:

$$\upsilon \tau=T\cdot(upsilon-a)$$

$$\upsilon (T -\tau)=aT$$

Откуда

$$\frac{\upsilon}{a}=\frac{T}{ T -\tau }=\frac{14}{14-12}=7$$

Ответ: в 7 раз.

Задача 6. Шарик, брошенный вертикально вниз со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с, падает с высоты $h=75$ м. Разделите эту высоту на три части, для прохождения каждой из которых требуются равные промежутки времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим полное время падения.

$$h=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

$$5t^2+10t-75=0$$

$$t^2+2t-15=0$$

$$t=3$$

Следовательно, можно разделить время на три части по 1 с. Тогда за первую тело пройдет:

$$h_1=\upsilon_0 t_1+\frac{gt_1^2}{2}=10+5=15$$

Скорость, которую тело приобретет к концу первой секунды, равна

$$\upsilon_1=\upsilon_0+gt=10+10=20$$

Теперь найдем, сколько тело пройдет за вторую секунду:

$$h_2=\upsilon_1 t_2+\frac{gt_2^2}{2}=20+5=25$$

Значит, в последнюю секунду тело пройдет 35 м.

Итак, у нас получились участки 15, 25 и 35 м.

Ответ: 15, 25 и 35 м.