Подготовка в СУНЦ МГУ - кинематика. Экзамен в 9 класс

Подготовка в СУНЦ МГУ – кинематика. Экзамен в 9 класс

Задачи, связанные с разными темами кинематики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1.Тело с помощью троса поднимают с поверхности земли вертикально вверх с ускорением $a=2$ м/с $^2$ . Через время $t=5$ после начала движения трос оборвался. Сколько времени падало тело после обрыва троса?

При движении до обрыва троса тело приобрело скорость

$\upsilon_0=at=10$

После обрыва троса тело продолжило движение вверх , до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю:

$\upsilon=\upsilon_0-gt_1$

$t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=1$

При подъеме на тросе тело достигло высоты

$S_1=\frac{at^2}{2}=25$

При свободном движении вверх тело поднялось на высоту

$S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=10-5=5$

Таким образом, тело будет падать с высоты $H=S_1+S_2=25+5=30$ м. Время падения тела:

$t_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{6}=2,45$

Таким образом, после обрыва троса тело было в воздухе

$T=t_1+t_2=1+2,45=3,45$

Ответ: 3,45 с

Задача 2. Двигатель ракеты, запущенной с земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение $a=10$ м/с $^2$ в течение времени $t=20$ с, после чего выключается. С какой скоростью ракета упала бы на землю, если бы сопротивлением воздуха можно было бы пренебречь?

При движении до выключения двигателя ракета приобрела скорость

$\upsilon_0=at=200$

После выключения двигателя ракета продолжит движение вверх , до тех пор, пока ее скорость не станет равной нулю:

$\upsilon=\upsilon_0-gt_1$

$t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=20$

При включенном двигателе ракета достигла высоты

$S_1=\frac{at^2}{2}=2000$

При свободном движении вверх ракета поднялась на высоту

$S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=4000-2000=2000$

Таким образом, ракета будет падать с высоты $H=S_1+S_2=4000$ м. Скорость ракеты у земли:

$\upsilon_1=\sqrt{2Hg}=\sqrt{80000}=282,8$

Ответ: 282,8 м/с.

Задача 3. Точка движется по окружности с постоянной скоростью $V=2$ м/с. При этом за промежуток времени $\tau=2$ с вектор скорости меняет свое направление на угол $\alpha=45^{\circ}$ . Найдите период обращения и величину ускорения точки при движении по окружности.

Так как вектор скорости при полном обходе точкой окружности поменяет направление на $360^{\circ}$ , то, следовательно, тратя на $\frac{1}{8}$ окружности ( $45^{\circ}$ ) 2с, на полную окружность потребуется 16 с – это и будет периодом обращения.

Определим радиус окружности. Для этого потребуется угловая скорость:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{6,28}{16}=0,3925$

Но $\omega=\frac{V}{R}$ , тогда

$R=\frac{V}{\omega }=\frac{2}{0,3925}=5,1$

Тогда

$a_n=\frac{V^2}{R}=\frac{4}{5,1}=0,785$

Ответ: $T=16$ с, $a_n=0,785$ м/с $^2$ .

Задача 4. По круговой беговой дорожке стадиона из одной точки одновременно в противоположных направлениях побежали два спортсмена. Через какое время они встретятся, если одному из них на преодоление круга стадиона требуется $T_1=70$ c, а его товарищу – $T_2=80$ с?

Скорость первого спортсмена равна

$\upsilon_1=\frac{l}{T_1}$

А второго

$\upsilon_2=\frac{l}{T_2}$

Где $l$ – длина круга стадиона. Спортсмены сближаются со скоростью $\upsilon_1+\upsilon_2$ , значит, до их встречи пройдет время

$T=\frac{l}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{l}{\frac{l}{T_1}+\frac{l}{T_2}}=\frac{T_1T_2}{ T_1+T_2}=\frac{70\cdot80}{150}=37,3$

Ответ: $T=37,3$ с.

Задача 5. Из города А в город В выехали по расписанию с интервалом $\tau=12$ мин два одинаковых автобуса. Они поочередно, с интервалом $T=14$ минут, обогнали одного и того же велосипедиста, едущего в город В. Во сколько раз скорость автобусов больше скорости велосипедиста?

Расстояние между автобусами равно $\upsilon \tau$ .

В момент, когда первый автобус поравнялся с велосипедистом, перейдем в систему отсчета, связанную со вторым автобусом. Тогда велосипедист в этой системе отсчета приближается к автобусу со скоростью, равной разности скоростей автобуса и велосипедиста. Он покрывает указанное выше расстояние между автобусами за 14 минут. Следовательно, если скорость велосипедиста равна $a$ , то можно записать:

$\upsilon \tau=T\cdot(upsilon-a)$

$\upsilon (T -\tau)=aT$

Откуда

$\frac{\upsilon}{a}=\frac{T}{ T -\tau }=\frac{14}{14-12}=7$

Ответ: в 7 раз.

Задача 6. Шарик, брошенный вертикально вниз со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с, падает с высоты $h=75$ м. Разделите эту высоту на три части, для прохождения каждой из которых требуются равные промежутки времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.