Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика

Подготовка в СУНЦ МГУ – кинематика. Экзамен в 9 класс

Задачи, связанные с разными темами кинематики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1.Тело с помощью троса поднимают с поверхности земли вертикально вверх с ускорением a=2 м/с^2.  Через время t=5 после начала движения трос оборвался. Сколько времени падало тело после обрыва троса?

При движении до обрыва троса тело приобрело скорость

    \[\upsilon_0=at=10\]

После обрыва троса тело продолжило движение вверх , до тех пор, пока его скорость  не станет равной нулю:

    \[\upsilon=\upsilon_0-gt_1\]

    \[t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=1\]

При подъеме на тросе тело достигло высоты

    \[S_1=\frac{at^2}{2}=25\]

При свободном движении вверх тело поднялось на высоту

    \[S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=10-5=5\]

Таким образом, тело будет падать с высоты H=S_1+S_2=25+5=30 м. Время падения тела:

    \[t_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{6}=2,45\]

Таким образом, после обрыва троса тело было в воздухе

    \[T=t_1+t_2=1+2,45=3,45\]

Ответ: 3,45 с

Задача 2. Двигатель ракеты, запущенной с земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение a=10 м/с^2 в течение времени t=20 с, после чего выключается. С какой скоростью ракета упала бы на землю, если бы сопротивлением воздуха можно было бы пренебречь?

При движении до выключения двигателя ракета  приобрела скорость

    \[\upsilon_0=at=200\]

После выключения двигателя ракета  продолжит движение вверх , до тех пор, пока ее скорость  не станет равной нулю:

    \[\upsilon=\upsilon_0-gt_1\]

    \[t_1=-\frac{\upsilon-\upsilon_0}{g}=20\]

При включенном двигателе ракета достигла высоты

    \[S_1=\frac{at^2}{2}=2000\]

При свободном движении вверх ракета  поднялась на высоту

    \[S_2=\upsilon_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=4000-2000=2000\]

Таким образом, ракета будет падать с высоты H=S_1+S_2=4000 м. Скорость ракеты у земли:

    \[\upsilon_1=\sqrt{2Hg}=\sqrt{80000}=282,8\]

Ответ: 282,8 м/с.

Задача 3. Точка движется по окружности с постоянной скоростью V=2 м/с. При этом за промежуток времени \tau=2 с вектор скорости меняет свое направление на угол \alpha=45^{\circ}. Найдите период обращения и величину ускорения точки при движении по окружности.

Так как вектор скорости при полном обходе точкой окружности поменяет направление на 360^{\circ}, то, следовательно, тратя на \frac{1}{8} окружности (45^{\circ}) 2с, на полную окружность потребуется 16 с – это и будет периодом обращения.

Определим радиус окружности. Для этого потребуется угловая скорость:

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{6,28}{16}=0,3925\]

Но \omega=\frac{V}{R}, тогда

    \[R=\frac{V}{\omega }=\frac{2}{0,3925}=5,1\]

Тогда

    \[a_n=\frac{V^2}{R}=\frac{4}{5,1}=0,785\]

Ответ: T=16 с, a_n=0,785 м/с^2.

Задача 4. По круговой беговой дорожке стадиона из одной точки одновременно в противоположных направлениях побежали два спортсмена. Через какое время они встретятся, если одному из них на преодоление круга стадиона требуется T_1=70 c, а его товарищу – T_2=80 с?

Скорость первого спортсмена равна

    \[\upsilon_1=\frac{l}{T_1}\]

А второго

    \[\upsilon_2=\frac{l}{T_2}\]

Где l – длина круга стадиона. Спортсмены сближаются со скоростью \upsilon_1+\upsilon_2, значит, до их встречи пройдет время

    \[T=\frac{l}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{l}{\frac{l}{T_1}+\frac{l}{T_2}}=\frac{T_1T_2}{ T_1+T_2}=\frac{70\cdot80}{150}=37,3\]

Ответ: T=37,3 с.

Задача 5. Из города А в город В выехали по расписанию с интервалом \tau=12 мин два одинаковых автобуса. Они поочередно, с интервалом T=14 минут, обогнали одного и того же велосипедиста, едущего в город В. Во сколько раз скорость автобусов больше скорости велосипедиста?

Расстояние между автобусами равно \upsilon \tau.

В момент, когда первый автобус поравнялся с велосипедистом, перейдем в систему отсчета, связанную со вторым автобусом. Тогда велосипедист в этой системе отсчета приближается к автобусу со скоростью, равной разности скоростей автобуса и велосипедиста. Он покрывает указанное выше расстояние между автобусами за 14 минут. Следовательно, если скорость велосипедиста равна a, то можно записать:

    \[\upsilon \tau=T\cdot(upsilon-a)\]

    \[\upsilon (T -\tau)=aT\]

Откуда

    \[\frac{\upsilon}{a}=\frac{T}{ T -\tau }=\frac{14}{14-12}=7\]

Ответ: в 7 раз.

Задача 6. Шарик, брошенный вертикально вниз со скоростью \upsilon_0=10 м/с, падает с высоты h=75 м. Разделите эту высоту на три части, для прохождения каждой из которых требуются равные промежутки времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим полное время падения.

    \[h=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}\]

    \[5t^2+10t-75=0\]

    \[t^2+2t-15=0\]

    \[t=3\]

Следовательно, можно разделить время на три части по 1 с. Тогда за первую тело пройдет:

    \[h_1=\upsilon_0 t_1+\frac{gt_1^2}{2}=10+5=15\]

Скорость, которую тело приобретет к концу первой секунды, равна

    \[\upsilon_1=\upsilon_0+gt=10+10=20\]

Теперь найдем, сколько тело пройдет за вторую секунду:

    \[h_2=\upsilon_1 t_2+\frac{gt_2^2}{2}=20+5=25\]

Значит, в последнюю секунду тело пройдет 35 м.

Итак, у нас получились участки 15, 25 и 35 м.

Ответ: 15, 25 и 35 м.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *