Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика

Подготовка в СУНЦ МГУ – кинематика. Экзамен в 11 класс.

Предлагаю вашему вниманию задачи прошлых лет вступительного экзамена в СУНЦ МГУ, для поступления в 11 класс. Здесь собраны задачи из раздела “кинематика”.

Задача 1.  С какой минимальной скоростью u должен двигаться по горизонтальной дороге автомобиль под дождем, чтобы его заднее стекло оставалось сухим? Скорость \upsilon  капель дождя вертикальна и равна по величине 10 м/с, стекло наклонено к вертикали под углом \alpha=60^{\circ}.

Чтобы стекло оставалось сухим, капли, подлетевшие к его верхней границе, должны не успевать пролететь расстояние h за время, в течение которого автомобиль преодолеет расстояние l.

Время пролета по вертикали равно

    \[t=\frac{h}{\upsilon}\]

За это время автомобиль должен сдвинуться на расстояние:

    \[l=ut\]

Тогда

    \[u=\frac{l}{t}=\frac{l}{h}\upsilon=\upsilon \operatorname{tg}{\alpha}\]

    \[u=10\cdot\sqrt{3}=17,3\]

Ответ: u=17,3 м/с.

Задача 2. Тело, двигавшееся равноускоренно, прошло за первую секунду путь S_1=1 м, за вторую – S_2=2  м, за третью – S_3=3 м и т.д. Какова его начальная скорость \upsilon_0?

Составим два уравнения для пройденного телом пути, например, для первой секунды и для двух секунд его движения:

    \[\begin{Bmatrix}{ \upsilon_0t_1+\frac{at_1^2}{2}=S_1 } \\ {\upsilon_0(t_1+t_2)+\frac{a(t_1+t_2)^2}{2}=S_2}\end{matrix}\]

Подставим пути и время, так легче решать систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ \upsilon_0+\frac{a}{2}=1 } \\ {2\upsilon_0+2a=3}\end{matrix}\]

Вычитая из первого уравнения, умноженного на 4, второе, имеем:

    \[\upsilon_0=0,5\]

Ответ: \upsilon_0=0,5 м/с.

Задача 3. С какой минимальной по величине скоростью \upsilon относительно воды должен двигаться пловец, пересекая реку шириной a, чтобы его «снос» составил величину s? Скорость течения реки постоянна и равна u. Под «сносом» понимается расстояние между точкой, где пловец достиг противоположного берега, и точкой, расположенной строго напротив точки отплытия.

К задаче 3

Эта задача отличается по сложности от двух предыдущих. Потому что непонятно, какова на самом деле скорость течения и куда направлял вектор своей скорости пловец.  Однако понятно, что конец вектора суммы скоростей пловца и реки должен находиться на прямой, соединяющей точки старта и финиша. Нарисуем возможные положения вектора скорости пловца (серым) и сложим их с вектором скорости реки (синим). Очевидно, что концы векторов \upsilon_1, \upsilon_2, \upsilon_3,  \upsilon_4 лежат на одной прямой, параллельной прямой MN. Тогда становится ясным, что самый короткий вектор скорости пловца (соответствующий  минимальной скорости) – перпендикуляр к этой прямой.  Треугольник MOP подобен треугольнику MKN. Угол KMN равен углу MOP. Косинус  этого угла равен

    \[\cos{MKN}=\frac{KM}{MN}=\frac{OM}{OP}\]

Тогда через известные длины и скорость реки косинус этого угла:

    \[\cos{MKN}=\frac{a}{\sqrt{a^2+s^2}}=\frac{\upsilon}{u}\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{au}{\sqrt{a^2+s^2}}\]

Ответ: \upsilon=\frac{au}{\sqrt{a^2+s^2}}.

Комментариев - 3

  • Виктор
    |

    Обьясните, почему в 1 задаче тангенс равен L/H , ведь тангенс определяется отношением противолежащему к прилежащему катету?

    Ответить
  • Виктор
    |

    Или у вас альфа не там расположена

    Ответить
    • Анна
      |

      Рисунок исправила, спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *