Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила тяготения

Подготовка в СУНЦ МГУ: гравитация, экзамен в 10 класс

Задачи для подготовки к поступлению в СУНЦ МГУ – несложные, но интересные. Под каждой я указала, на каком экзамене и в каком году она присутствовала на вступительных экзаменах.

Задача 1.  Найдите, чему равна первая космическая скорость для Марса, если масса Марса в 10 раз меньше массы Земли, а радиус Марса примерно в 2 раза меньше радиуса Земли.  Первая космическая скорость для Земли равна примерно 7,8 км/с. (2014 г, вариант 1, №2)

Первая космическая скорость равна \upsilon_1=\sqrt{gR}.  Для Марса

    \[\upsilon_{1M}^2=g_MR_M\]

Запишем уравнение ускорения свободного падения:

    \[g_M=G\frac{M_M}{R_M^2}\]

Тогда

    \[\upsilon_{1M}^2= G\frac{M_M}{R_M}\]

Так как M_M=\frac{M_Z}{10}, а R_M=\frac{R_Z}{2}, то

    \[\upsilon_{1M}^2= G\frac{2M_Z}{10R_Z}= G\frac{M_Z}{5R_Z}=\frac{\upsilon_{1Z}^2}{5}\]

    \[\upsilon_{1M}=\frac{\upsilon_{1Z}}{\sqrt{5}}\]

    \[\upsilon_{1M}=\frac{7800}{\sqrt{5}}=3488\]

Ответ: 3,5 км/с

 

Задача 2. Найдите, во сколько раз период обращения спутника, движущегося по круговой орбите на расстоянии H_1=25600 км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника, движущегося на расстоянии H_2=1600 км от ее поверхности? Радиус Земли 6400 км. (2014 г, вариант 3, №2)

Запишем условие, при котором спутник может удержаться на орбите: равенство  центростремительной силы и силы притяжения.

    \[F_n=F_t\]

    \[\frac{m\upsilon_1^2}{R+H_1}=G\frac{Mm}{ (R+H_1)^2}\]

Откуда

    \[\upsilon_1^2=G\frac{M}{ R+H_1}\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{G\frac{M}{ R+H_1}}\]

Тогда период обращения этого спутника равен

    \[T_1=\frac{l}{\upsilon_1}=\frac{2 \pi (R+H_1)}{ \upsilon_1}=\frac{2 \pi (R+H_1)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}\]

Тогда для второго спутника все аналогично:

    \[T_2=\frac{2 \pi (R+H_2)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}\]

Найдем отношение периодов:

    \[\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{R+H_1}{R+H_2}\right)^{\frac{3}{2}}\]

    \[\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{6400+25600}{6400+1600}\right)^{\frac{3}{2}}=8\]

Ответ: 8

 

Задача 3. Сила притяжения Земли к Солнцу в 2,9 раз больше, чем сила притяжения Меркурия к Солнцу. Найдите, во сколько раз масса Земли больше массы Меркурия, если радиус орбиты Земли в 2,5 раза больше радиуса орбиты Меркурия. (2014 г, вариант 4, №2)

Запишем выражения для сил притяжения. Для Меркурия и Солнца:

    \[F_{MS}=G\frac{m_MM_S}{R_M^2}\]

Для Земли и Солнца:

    \[F_{ZS}=G\frac{m_ZM_S}{R_Z^2}\]

По условию 2,9F_{MS}= F_{ZS}.

    \[2,9 G\frac{m_MM_S}{R_M^2}= G\frac{m_ZM_S}{R_Z^2}\]

    \[2,9 \frac{m_M}{R_M^2}= \frac{m_Z}{R_Z^2}\]

Откуда

    \[\frac{m_Z}{ m_M }=2,9 \frac{ R_Z^2}{R_M^2}=2,9\cdot2,5^2=18,125\]

Ответ: \frac{m_Z}{ m_M }=18,1.

 

Задача 4. Две планеты вращаются вокруг массивной звезды по круговым орбитам. Найдите отношение \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} линейных скоростей планет, если отношение радиусов орбит \frac{R_1}{R_2}=n. (2015 г, вариант 1, №2)

Запишем условие, при котором планета может удержаться на орбите: равенство  центростремительной силы и силы притяжения.

    \[F_n=F_t\]

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{R_1}=G\frac{Mm_1}{ (R_1)^2}\]

Откуда

    \[\upsilon_1^2=G\frac{M}{ R_1}\]

Для второй планеты, аналогично,

    \[\upsilon_2^2=G\frac{M}{ R_2}\]

Отношение квадратов скоростей:

    \[\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{R_2}{R_1}\]

Тогда

    \[\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}=\sqrt{\frac{1}{n}}\]

Ответ: \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{1}{n}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *