Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Электростатика

Подготовка в СУНЦ МГУ – электростатика. Экзамен в 11 класс.

[latexpage]

Задачи взяты мной из экзаменов прошлого года, которые выложены на сайте школы Колмогорова. Задачи несложные, некоторые даже не потребовали от меня точного воспроизведения формул: достаточно было вспомнить, какой характер носит зависимость одной величины от другой.

Задача 1. Обкладки расположенного в открытом космосе плоского конденсатора площадью $S$ каждая несут заряды $+q$ и $-q$. Расстояние между ними равно $d$. Пластины отпускают, и они под действием сил взаимного притяжения устремляются навстречу друг другу. Каковы будут величины $\upsilon$ скоростей пластин, когда расстояние между ними уменьшится в два раза? Масса каждой пластины равна $m$.

Поверхностная плотность заряда на обеих пластинах одинакова:

$$\sigma_1=\sigma_2=\frac{q}{S}$$

Сила взаимодействия пластин

$$F=\frac{\sigma_1\sigma_2S}{2\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q^2}{2S\varepsilon \varepsilon_0}$$

Ускорение пластин равно

$$a=\frac{F}{m}=\frac{q^2}{2\cdot S \cdot m\varepsilon \varepsilon_0}$$

Если расстояние уменьшилось вдвое, то пластинами и пройдено было полпути. Так как массы их одинаковы, то пройдут они равные расстояния. Следовательно, каждая пластина пройдет путь $\frac{d}{4}$.

Тогда можно записать

$$2a\frac{d}{4}=\upsilon^2-\upsilon_0^2$$

$$\upsilon=\sqrt{2a\frac{d}{4}}=\sqrt{a\frac{d}{2}}=\sqrt{\frac{d q^2}{4mS\varepsilon \varepsilon_0}}=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{d}{ mS\varepsilon_0}}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{d}{ mS\varepsilon_0}}$.

 

Задача 2. Кубик массой $m$, несущий заряд $-q$ и находящийся на вершине гладкой наклонной плоскости, отпускают без начальной скорости. Строго под ним закреплен заряд $q$. При каком угле $\alpha$ наклона плоскости к горизонту кубик остановится в нижней ее точке, если высота $h$ задана? Заряды $q$ и $-q$ считать точечными.

Кубик остановится в нижней точке, если его потенциальная энергия, которую он имел в верхней точке плоскости перейдет в потенциальную энергию в нижней точке его пути. В верхней точке у кубика две составляющих потенциальной энергии: гравитационная и электрического взаимодействия, а в нижней точке – только вторая. Поэтому можно записать закон сохранения энергии:

$$W_1+W_0=W_2$$

$$W_1=mgh$$

$$W_0=-\frac{kq^2}{h}$$

$$ W_2=-\frac{kq^2}{d}$$

Где $h$ – высота, на которой изначально находился кубик, и одновременно расстояние между ним и расположенным под ним зарядом, $d$ – проекция длины наклонной плоскости на горизонталь.

$$ mgh-\frac{kq^2}{h}=-\frac{kq^2}{d}$$

$$mgh=kq^2\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{d}\right)$$

Так как тангенс угла наклона плоскости равен $\frac{h}{d}$, то

$$mgh^2=kq^2\left(1-\operatorname{tg}{\alpha}\right)$$

Откуда

$$\operatorname{tg}{\alpha}=1-\frac{ mgh^2}{ kq^2}$$

Ответ: $\operatorname{tg}{\alpha}=1-\frac{ mgh^2}{ kq^2}$.

Задача 3. Два проводящих шарика, радиусы которых отличаются в $n=5$ раз, заряжены равными одноименными зарядами. Во сколько раз изменится сила взаимодействия между ними, если их соединить проволокой? Расстояние между шариками много больше их размеров.

Сначала сила взаимодействия равна

$$F_1=\frac{kq^2}{d^2}$$

Потенциалы шариков пропорциональны радиусам. После того, как протянут проволоку между шариками, потенциалы выровняются, а заряды перераспределятся.

$$q_1+q_2=2q$$

$$q_1\sim r$$

$$q_2 \sim 5r$$

$$q_1+5q_1=2q$$

$$q_1=\frac{q}{3}$$

$$q_2=\frac{5q}{3}$$

Тогда сила взаимодействия зарядов после их соединения равна

$$F_2=\frac{5kq^2}{9d^2}$$

Тогда

$$\frac{ F_2}{ F_1}=\frac{5}{9}$$
Ответ: $\frac{ F_2}{ F_1}=\frac{5}{9}$

Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора емкостью $C_0$ вводят еще одну такую же незаряженную пластину (пренебрежимо малой толщины), располагая ее параллельно обкладкам на расстоянии $\frac{d}{3}$ от одной из них. Как изменится емкость конденсатора, если эту пластину соединить проводником с более близкой его обкладкой?

Начальная емкость конденсатора равна

$$C_0=\frac{ S\varepsilon \varepsilon_0}{d}$$

Пластина, когда ее соединят проводником с обкладкой, приобретет тот же заряд (на нее перетекут заряды). Поэтому единственное, что изменится в итоге – это расстояние между пластинами. Оно станет равным $\frac{2d}{3}$.

Тогда

$$C_1=\frac{ 3S\varepsilon \varepsilon_0}{2d}=1,5С_0$$

Ответ: $C_1=1,5С_0$.

Задача 5. Расстояние между точечными зарядами $2q$ и $-q$ равно $r$. Найдите напряженность поля в точке на отрезке, соединяющем заряды, где потенциал равен нулю, если $q=10^{-9}$ Кл, а $r=0,9$ м?

По условию

$$\varphi_1-\varphi_2=0$$

$$\varphi_1=\varphi_2$$

Пусть $x$ – расстояние от искомой точки до заряда $2q$. Тогда:

$$\frac{2kq}{x}=\frac{kq}{r-x}$$

$$2r-2x=x$$

$$x=\frac{2r}{3}=\frac{1,8}{3}=0,6$$

Теперь определяем напряженность поля в этой точке:

$$\vec{E}=\vec{E_1}+\vec{E_2}$$

$$E=\frac{2kq}{x^2}+\frac{kq}{(r-x)^2}=\frac{2\cdot9\cdot10^9\cdot10^{-9}}{0,6^2}+\frac{9\cdot10^9\cdot10^{-9}}{0,3^2}=50+100=150$$

Ответ: $E=150$ В/м.

Комментариев - 4

  • Марина
    |

    Здравствуйте! В первой задаче во второй строчке решения случайно не потерялась двойка в знаменателе при расчёте силы притяжения одной обкладки к другой?

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, потерялась. Хорошо, что в третьей строке нашлась))

      Ответить
  • Дина
    |

    Добрый вечер. Вопрос по решению задачи №2. Потенциальная энергия электрического взаимодействия прямо пропорциональна произведению зарядов без модуля. Так как первый заряд отрицательный, а второй положительный, то эти энергии получаются с минусом, а у Вас с плюсом. Почему?

    Ответить
    • Анна
      |

      А это потому что ошибка. Спасибо большое, Дина, исправлено.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *