Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Электростатика

Подготовка в СУНЦ МГУ – электростатика. Экзамен в 11 класс.

Задачи взяты мной из экзаменов прошлого года, которые выложены на сайте школы Колмогорова. Задачи несложные, некоторые даже не потребовали от меня точного воспроизведения формул: достаточно было вспомнить, какой характер носит зависимость одной величины от другой.

Задача 1. Обкладки расположенного в открытом космосе плоского конденсатора площадью S каждая несут заряды +q и -q. Расстояние между ними равно d. Пластины отпускают, и они под действием сил взаимного притяжения устремляются навстречу друг другу. Каковы будут величины \upsilon скоростей пластин, когда расстояние между ними уменьшится в два раза? Масса каждой пластины равна m.

Поверхностная плотность заряда на обеих пластинах одинакова:

    \[\sigma_1=\sigma_2=\frac{q}{S}\]

Сила взаимодействия пластин

    \[F=\frac{\sigma_1\sigma_2S}{2\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q^2}{S\varepsilon \varepsilon_0}\]

Ускорение пластин равно

    \[a=\frac{F}{m}=\frac{\sigma_1\sigma_2S}{2m\varepsilon \varepsilon_0}\]

Если расстояние уменьшилось вдвое, то пластинами и пройдено было полпути. Так как массы их одинаковы, то пройдут они равные расстояния. Следовательно, каждая пластина пройдет путь \frac{d}{4}.

Тогда можно записать

    \[2a\frac{d}{4}=\upsilon^2-\upsilon_0^2\]

    \[\upsilon=\sqrt{2a\frac{d}{4}}=\sqrt{a\frac{d}{2}}=\sqrt{\frac{d q^2}{4mS\varepsilon \varepsilon_0}}=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{d}{ mS\varepsilon_0}}\]

Ответ: \upsilon=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{d}{ mS\varepsilon_0}}.

 

Задача 2. Кубик массой m, несущий заряд -q и находящийся на вершине гладкой наклонной плоскости, отпускают без начальной скорости. Строго под ним закреплен заряд q. При каком угле \alpha наклона плоскости к горизонту кубик остановится в нижней ее точке, если высота h задана? Заряды q и -q считать точечными.

Кубик остановится в нижней точке, если его потенциальная энергия, которую он имел в верхней точке плоскости перейдет в потенциальную энергию в нижней точке его пути. В верхней точке у кубика две составляющих потенциальной энергии: гравитационная и электрического взаимодействия, а в нижней точке – только вторая. Поэтому можно записать закон сохранения энергии:

    \[W_1+W_0=W_2\]

    \[W_1=mgh\]

    \[W_0=\frac{kq^2}{h}\]

    \[W_2=\frac{kq^2}{d}\]

Где h – высота, на которой изначально находился кубик, и одновременно расстояние между ним и расположенным под ним зарядом, d – проекция длины наклонной плоскости на горизонталь.

    \[mgh+\frac{kq^2}{h}=\frac{kq^2}{d}\]

    \[mgh=kq^2\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{h}\right)\]

Так как тангенс угла наклона плоскости равен \frac{h}{d}, то

    \[mgh^2=kq^2\left(\operatorname{tg}{\alpha}-1\right)\]

Откуда

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=1+\frac{ mgh^2}{ kq^2}\]

Ответ: \operatorname{tg}{\alpha}=1+\frac{ mgh^2}{ kq^2}.

Задача 3. Два проводящих шарика, радиусы которых отличаются в n=5 раз, заряжены равными одноименными зарядами. Во сколько раз изменится сила взаимодействия между ними, если их соединить проволокой? Расстояние между шариками много больше их размеров.

Сначала сила взаимодействия равна

    \[F_1=\frac{kq^2}{d^2}\]

Потенциалы шариков пропорциональны радиусам. После того, как протянут проволоку между шариками, потенциалы выровняются, а заряды перераспределятся.

    \[q_1+q_2=2q\]

    \[q_1\sim r\]

    \[q_2 \sim 5r\]

    \[q_1+5q_1=2q\]

    \[q_1=\frac{q}{3}\]

    \[q_2=\frac{5q}{3}\]

Тогда сила взаимодействия зарядов после их соединения равна

    \[F_2=\frac{5kq^2}{9d^2}\]

Тогда

    \[\frac{ F_2}{ F_1}=\frac{5}{9}\]

Ответ: \frac{ F_2}{ F_1}=\frac{5}{9}

Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора емкостью C_0 вводят еще одну такую же незаряженную пластину (пренебрежимо малой толщины), располагая ее параллельно обкладкам на расстоянии \frac{d}{3} от одной из них. Как изменится емкость конденсатора, если эту пластину соединить проводником с более близкой его обкладкой?

Начальная емкость конденсатора равна

    \[C_0=\frac{ S\varepsilon \varepsilon_0}{d}\]

Пластина, когда ее соединят проводником с обкладкой, приобретет тот же заряд (на нее перетекут заряды). Поэтому единственное, что изменится в итоге – это расстояние между пластинами. Оно станет равным \frac{2d}{3}.

Тогда

    \[C_1=\frac{ 3S\varepsilon \varepsilon_0}{2d}=1,5С_0\]

Ответ: C_1=1,5С_0.

Задача 5. Расстояние между точечными зарядами 2q и -q равно r. Найдите напряженность поля в точке на отрезке, соединяющем заряды, где потенциал равен нулю, если q=10^{-9} Кл, а r=0,9 м?

По условию

    \[\varphi_1-\varphi_2=0\]

    \[\varphi_1=\varphi_2\]

Пусть x – расстояние от искомой точки до заряда 2q. Тогда:

    \[\frac{2kq}{x}=\frac{kq}{r-x}\]

    \[2r-2x=x\]

    \[x=\frac{2r}{3}=\frac{1,8}{3}=0,6\]

Теперь определяем напряженность поля в этой точке:

    \[\vec{E}=\vec{E_1}+\vec{E_2}\]

    \[E=\frac{2kq}{x^2}+\frac{kq}{(r-x)^2}=\frac{2\cdot9\cdot10^9\cdot10^{-9}}{0,6^2}+\frac{9\cdot10^9\cdot10^{-9}}{0,3^2}=50+100=150\]

Ответ: E=150 В/м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *