[latexpage]
Задачи взяты мной из экзаменов прошлого года, которые выложены на сайте школы Колмогорова. Задачи несложные, некоторые даже не потребовали от меня точного воспроизведения формул: достаточно было вспомнить, какой характер носит зависимость одной величины от другой.
Задача 1. Пластины плоского конденсатора емкостью $C$ несут заряды $q$ и $-q$. Найдите, каким станет напряжение $U$ на конденсаторе, если на каждую пластину поместить дополнительно по заряду $+q$?
Сначала определим напряженность поля внутри конденсатора до изменений:
$$E_1=\frac{q_1}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}$$
$$E_2=\frac{q_2}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=-\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}$$
Результирующая напряженность поля равна
$$E=E_1-E_2=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$
Если мы добавим заряд $+q$ на каждую пластину, то на одной заряд станет равным $+2q$, а на второй – $0$. Определим напряженность поля внутри конденсатора после изменений:
$$E_1’=\frac{q_1’}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$
$$E_2’=\frac{q_2’}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=0$$
Результирующая напряженность поля равна
$$E’=E_1’-E_2’=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$
Раз напряженность поля не изменяется, то и напряжение останется тем же, то есть
$$U=\frac{q}{C}$$
Ответ: $U=\frac{q}{C}$.
Задача 2. $N=8$ одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала $\varphi=8$ В. Каков будет потенциал $\varphi_1$ большой шарообразной капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
Потенциал капли пропорционален ее радиусу. Определим объем капли:
$$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3$$
Объем большой капли равен:
$$V=8V_1=\frac{32}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(2r)^3$$
Таким образом, радиус большой капли ровно вдвое больше маленькой. Заряд большой капли равен $8q$ – сумме зарядов маленьких капель. Тогда потенциал большой капли равен
$$\varphi_1=\frac{k\cdot8q}{2r}=4\varphi=32$$
Ответ: 32 В.
Задача 3. Два одинаковых плоских конденсатора каждый емкостью $C=3$ мкФ соединены параллельно и заряжены до напряжения $U_0=100$ В. Какую работу необходимо совершить, чтобы после отключения их от источника у одного из конденсаторов медленно увеличить расстояние между пластинами в $n=2$ раза?
Эквивалентная емкость обоих конденсаторов при их параллельном соединении равна сумме емкостей.
$$C_{e1}=2C$$
Следовательно, энергия, запасенная в них, равна
$$W_1=\frac{C_{e1}U^2}{2}=CU^2$$
Заряд, запасенный конденсаторами, будет сохраняться, так как их отключили от источника.
$$q=2CU$$
Если увеличить расстояние между пластинами конденсатора, то его емкость станет равной $\frac{C}{2}$. Тогда эквивалентная емкость станет равной $1,5C$. Так как заряд сохраняется, то изменится напряжение.
$$U_2=\frac{q}{1,5C}=\frac{2CU }{1,5C}=\frac{4U}{3}$$
А энергия
$$W_2=\frac{C_{e2}U_2^2}{2}=\frac{4}{3}CU^2$$
Следовательно,
$$A=W_2-W_1=\frac{CU^2}{3}$$
Ответ: $A=\frac{CU^2}{3}$.
Задача 4. Два точечных заряда $+q_1$ и $-q_2$ противоположных знаков расположены соответственно в точках $M_1$ и $M_2$. В некоторой точке $M$, находящейся на расстоянии $r_1$ от заряда $q_1$ и не лежащей на прямой $M_1M_2$, проходящая через нее эквипотенциальная поверхность оказывается перпендикулярной отрезку $M_1M_2$. Найдите расстояние $r_2$ от этой точки до заряда $-q_2$.

К задаче 4
Вектор напряженности поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, следовательно, параллелен отрезку $M_1M_2$. Тогда треугольник $MM_1M_2$ подобен треугольнику $MNO$, и
$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{r_2}{r_1}$$
$$\frac{\frac{kq_2}{r_2^2}}{\frac{kq_1}{r_1^2}}=\frac{r_2}{r_1}$$
$$\frac{q_2}{q_1}=\frac{r_2^3}{r_1^3}$$
$$\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}$$
Ответ: $ r_2=r_1\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}$.
Задача 5. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами $r$ и $2r$. Внутренняя сфера заряжена, внешняя – нет. Найдите потенциал $\varphi$ внешней сферы, если величина поля на поверхности внутренней равна $E=10^4$ В/м, а ее радиус $r=5$ см.
Напряженность поля определяется формулой
$$E=\frac{kq}{r^2}$$
Следовательно, $kq=Er^2$.
Потенциал внешней сферы равен
$$\varphi=\frac{kq}{2r}$$
Подставляем $kq$:
$$\varphi=\frac{ Er^2}{2r}=\frac{Er}{2}$$
Ответ: $\varphi=\frac{Er}{2}$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...