Подготовка в СУНЦ МГУ – электростатика, экзамен в 11 класс

[latexpage]

Задачи взяты мной из экзаменов прошлого года, которые выложены на сайте школы Колмогорова. Задачи несложные, некоторые даже не потребовали от меня точного воспроизведения формул: достаточно было вспомнить, какой характер носит зависимость одной величины от другой.

Задача 1. Пластины плоского конденсатора емкостью $C$ несут заряды $q$ и $-q$. Найдите, каким станет напряжение $U$ на конденсаторе, если на каждую пластину поместить дополнительно по заряду $+q$?

Сначала определим напряженность поля внутри конденсатора до изменений:

$$E_1=\frac{q_1}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}$$

$$E_2=\frac{q_2}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=-\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}$$

Результирующая напряженность поля равна

$$E=E_1-E_2=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$

Если мы добавим заряд $+q$ на каждую пластину, то на одной заряд станет равным $+2q$, а на второй – $0$. Определим напряженность поля внутри конденсатора после изменений:

$$E_1’=\frac{q_1’}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$

$$E_2’=\frac{q_2’}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=0$$

Результирующая напряженность поля равна

$$E’=E_1’-E_2’=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}$$

Раз напряженность поля не изменяется, то и напряжение останется тем же, то есть

$$U=\frac{q}{C}$$

Ответ: $U=\frac{q}{C}$.

Задача 2. $N=8$ одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала $\varphi=8$ В. Каков будет потенциал $\varphi_1$ большой шарообразной капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Потенциал капли пропорционален ее радиусу. Определим объем капли:

$$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Объем большой капли равен:

$$V=8V_1=\frac{32}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(2r)^3$$

Таким образом, радиус большой капли ровно вдвое больше маленькой. Заряд большой капли равен $8q$ – сумме зарядов маленьких капель. Тогда потенциал большой капли равен

$$\varphi_1=\frac{k\cdot8q}{2r}=4\varphi=32$$

Ответ: 32 В.

Задача 3. Два одинаковых плоских конденсатора каждый емкостью $C=3$ мкФ соединены параллельно и заряжены до напряжения $U_0=100$ В. Какую работу необходимо совершить, чтобы после отключения их от источника у одного из конденсаторов медленно увеличить расстояние между пластинами в $n=2$ раза?

Эквивалентная емкость обоих конденсаторов при их параллельном соединении равна сумме емкостей.

$$C_{e1}=2C$$

Следовательно, энергия, запасенная в них, равна

$$W_1=\frac{C_{e1}U^2}{2}=CU^2$$

Заряд, запасенный конденсаторами, будет сохраняться, так как их отключили от источника.

$$q=2CU$$

Если увеличить расстояние между пластинами конденсатора, то его емкость станет равной $\frac{C}{2}$. Тогда эквивалентная емкость станет равной $1,5C$. Так как заряд сохраняется, то изменится напряжение.

$$U_2=\frac{q}{1,5C}=\frac{2CU }{1,5C}=\frac{4U}{3}$$

А энергия

$$W_2=\frac{C_{e2}U_2^2}{2}=\frac{4}{3}CU^2$$

Следовательно,

$$A=W_2-W_1=\frac{CU^2}{3}$$

Ответ: $A=\frac{CU^2}{3}$.

Задача 4. Два точечных заряда $+q_1$ и $-q_2$ противоположных знаков расположены соответственно в точках $M_1$ и $M_2$. В некоторой точке $M$, находящейся на расстоянии $r_1$ от заряда $q_1$ и не лежащей на прямой $M_1M_2$, проходящая через нее эквипотенциальная поверхность оказывается перпендикулярной отрезку $M_1M_2$. Найдите расстояние $r_2$ от этой точки до заряда $-q_2$.

К задаче 4

Вектор напряженности поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, следовательно, параллелен отрезку $M_1M_2$. Тогда треугольник $MM_1M_2$ подобен треугольнику $MNO$, и

$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{r_2}{r_1}$$

$$\frac{\frac{kq_2}{r_2^2}}{\frac{kq_1}{r_1^2}}=\frac{r_2}{r_1}$$

$$\frac{q_2}{q_1}=\frac{r_2^3}{r_1^3}$$

$$\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}$$

Ответ: $ r_2=r_1\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}$.

Задача 5. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами $r$ и $2r$. Внутренняя сфера заряжена, внешняя – нет. Найдите потенциал  $\varphi$ внешней сферы, если величина поля на поверхности внутренней равна $E=10^4$ В/м, а ее радиус $r=5$ см.

Напряженность поля определяется формулой

$$E=\frac{kq}{r^2}$$

Следовательно, $kq=Er^2$.

Потенциал внешней сферы равен

$$\varphi=\frac{kq}{2r}$$

Подставляем $kq$:

$$\varphi=\frac{ Er^2}{2r}=\frac{Er}{2}$$

Ответ: $\varphi=\frac{Er}{2}$.