Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Электростатика

Подготовка в СУНЦ МГУ – электростатика, экзамен в 11 класс

Задачи взяты мной из экзаменов прошлого года, которые выложены на сайте школы Колмогорова. Задачи несложные, некоторые даже не потребовали от меня точного воспроизведения формул: достаточно было вспомнить, какой характер носит зависимость одной величины от другой.

Задача 1. Пластины плоского конденсатора емкостью C несут заряды q и -q. Найдите, каким станет напряжение U на конденсаторе, если на каждую пластину поместить дополнительно по заряду +q?

Сначала определим напряженность поля внутри конденсатора до изменений:

    \[E_1=\frac{q_1}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}\]

    \[E_2=\frac{q_2}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=-\frac{q}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}\]

Результирующая напряженность поля равна

    \[E=E_1-E_2=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}\]

Если мы добавим заряд +q на каждую пластину, то на одной заряд станет равным +2q, а на второй – 0. Определим напряженность поля внутри конденсатора после изменений:

    \[E_1'=\frac{q_1'}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}\]

    \[E_2'=\frac{q_2'}{ 2S\varepsilon \varepsilon_0}=0\]

Результирующая напряженность поля равна

    \[E'=E_1'-E_2'=\frac{q}{ S\varepsilon \varepsilon_0}\]

Раз напряженность поля не изменяется, то и напряжение останется тем же, то есть

    \[U=\frac{q}{C}\]

Ответ: U=\frac{q}{C}.

Задача 2. N=8 одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала \varphi=8 В. Каков будет потенциал \varphi_1 большой шарообразной капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Потенциал капли пропорционален ее радиусу. Определим объем капли:

    \[V_1=\frac{4}{3}\pi r^3\]

Объем большой капли равен:

    \[V=8V_1=\frac{32}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(2r)^3\]

Таким образом, радиус большой капли ровно вдвое больше маленькой. Заряд большой капли равен 8q – сумме зарядов маленьких капель. Тогда потенциал большой капли равен

    \[\varphi_1=\frac{k\cdot8q}{2r}=4\varphi=32\]

Ответ: 32 В.

Задача 3. Два одинаковых плоских конденсатора каждый емкостью C=3 мкФ соединены параллельно и заряжены до напряжения U_0=100 В. Какую работу необходимо совершить, чтобы после отключения их от источника у одного из конденсаторов медленно увеличить расстояние между пластинами в n=2 раза?

Эквивалентная емкость обоих конденсаторов при их параллельном соединении равна сумме емкостей.

    \[C_{e1}=2C\]

Следовательно, энергия, запасенная в них, равна

    \[W_1=\frac{C_{e1}U^2}{2}=CU^2\]

Заряд, запасенный конденсаторами, будет сохраняться, так как их отключили от источника.

    \[q=2CU\]

Если увеличить расстояние между пластинами конденсатора, то его емкость станет равной \frac{C}{2}. Тогда эквивалентная емкость станет равной 1,5C. Так как заряд сохраняется, то изменится напряжение.

    \[U_2=\frac{q}{1,5C}=\frac{2CU }{1,5C}=\frac{4U}{3}\]

А энергия

    \[W_2=\frac{C_{e2}U_2^2}{2}=\frac{4}{3}CU^2\]

Следовательно,

    \[A=W_2-W_1=\frac{CU^2}{3}\]

Ответ: A=\frac{CU^2}{3}.

 

Задача 4. Два точечных заряда +q_1 и -q_2 противоположных знаков расположены соответственно в точках M_1 и M_2. В некоторой точке M, находящейся на расстоянии r_1 от заряда q_1 и не лежащей на прямой M_1M_2, проходящая через нее эквипотенциальная поверхность оказывается перпендикулярной отрезку M_1M_2. Найдите расстояние r_2 от этой точки до заряда -q_2.

К задаче 4

Вектор напряженности поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, следовательно, параллелен отрезку M_1M_2. Тогда треугольник MM_1M_2 подобен треугольнику MNO, и

    \[\frac{E_2}{E_1}=\frac{r_2}{r_1}\]

    \[\frac{\frac{kq_2}{r_2^2}}{\frac{kq_1}{r_1^2}}=\frac{r_2}{r_1}\]

    \[\frac{q_2}{q_1}=\frac{r_2^3}{r_1^3}\]

    \[\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}\]

Ответ: r_2=r_1\sqrt[3]{ \frac {q _2}{q_1}}.

Задача 5. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами r и 2r. Внутренняя сфера заряжена, внешняя – нет. Найдите потенциал  \varphi внешней сферы, если величина поля на поверхности внутренней равна E=10^4 В/м, а ее радиус r=5 см.

Напряженность поля определяется формулой

    \[E=\frac{kq}{r^2}\]

Следовательно, kq=Er^2.

Потенциал внешней сферы равен

    \[\varphi=\frac{kq}{2r}\]

Подставляем kq:

    \[\varphi=\frac{ Er^2}{2r}=\frac{Er}{2}\]

Ответ: \varphi=\frac{Er}{2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *