Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика

Подготовка в СУНЦ МГУ: динамика

Задачи, связанные с разными темами динамики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1. Человек массой M=80 кг переходит с кормы на нос лодки, длина которой составляет L=5 м. Какова масса лодки, если она за время этого перехода переместилась на \Delta L=2 м. Какой станет скорость лодки, когда человек перейдет на ее нос и остановится? Сопротивлением воды пренебречь.

Запишем закон сохранения энергии:

    \[m\upsilon=(m+M)V\]

Где \upsilon – скорость человека, m – масса человека,  V – скорость лодки, M– масса лодки.

Домножим на время:

    \[m\upsilon t=(m+M)Vt\]

    \[m L=(m+M) \Delta L\]

Откуда:

    \[M \Delta L=m(L- \Delta L)\]

    \[M=\frac{ m(L- \Delta L)}{ \Delta L }=\frac{240}{2}=120\]

Ответ: масса лодки 120 кг, скорость лодки станет равной нулю.

Задача 2. Грузовик массой m=5,2 т движется по мосту со скоростью \upsilon=36 км/ч. Радиус кривизны моста R=500 м. Найдите, с какой силой грузовик давит на середину моста, если а) мост выпуклый; б) мост вогнутый.

а) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для выпуклого моста:

    \[ma_n=mg-N_1\]

    \[N_1=mg-ma_n=mg-\frac{m\upsilon^2}{R}=52000-\frac{5200\cdot10^2}{500}=50960\]

б) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для вогнутого моста:

    \[ma_n= N_2- mg\]

    \[N_2=mg+ma_n=mg+\frac{m\upsilon^2}{R}=52000+\frac{5200\cdot10^2}{500}=53040\]

Ответ: сила давления для выпуклого моста 50960 Н, для вогнутого 53040 Н.

Задача 3. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, разрывается на две равные части в верхней точке траектории на высоте H=125 м. Один из осколков возвращается к орудию по прежней траектории. Определите, на каком расстоянии от орудия упадет второй осколок, если в момент разрыва снаряд имел скорость \upsilon=250 м/с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Так как у снаряда перед разрывом скорость направлена горизонтально, а осколок вернулся в точку старта, следовательно, его скорость по модулю такая же, как у снаряда в верхней точке, но направлена в противоположную сторону. Тогда

    \[M\upsilon=-\frac{M}{2}\upsilon+\frac{M}{2}\upsilon_x\]

    \[1,5M\upsilon=0,5M\upsilon_x\]

    \[\upsilon_x=3\upsilon\]

Так как максимальная точка подъема равна H=125 м, то для движения по вертикали до этой точки запишем:

    \[\upsilon_0\sin{\alpha}-gt=0\]

    \[t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

    \[H=\upsilon_0\sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{g}-\frac{g\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g^2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=125\]

Тогда

    \[\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}=250g=2500\]

    \[\upsilon_0\sin{\alpha}=50\]

По горизонтали снаряд пролетит расстояние (до места разрыва)

    \[S=\upsilon_0\cos{\alpha} t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}\cdot\upsilon_0\cos{\alpha}}{g}=\frac{50\cdot250}{10}=1250\]

То есть снаряд разорвался в 1250 м от пушки. Так как скорость второго осколка втрое больше, чем скорость снаряда, то он от места разрыва пролетит втрое большее расстояние – 3750 м, а от пушки второй осколок упадет в 5000 м.

Ответ: 5 км.

Задача 4. Шарик массой m подвешен на легкой нерастяжимой нити. Нить расположили горизонтально и шарик отпустили. Найдите зависимость силы упругости нити от угла \alpha, образованного ею с вертикалью.

Рассмотрим положение шарика в некоторой промежуточной точке между самым низким положением и положением, когда нить горизонтальна.

В начальном положении потенциальная энергия  шарика  равна mgL, когда между нитью и вертикалью угол \alpha, потенциальная энергия уменьшается на mgL\cos{\alpha}. Разность между этими двумя значениями – кинетическая энергия шарика.

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=mgL(1-\cos{\alpha})\]

Тогда

    \[\upsilon^2= 2gL(1-\cos{\alpha})\]

А нормальное ускорение

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{L}=2g(1-\cos{\alpha})\]

Уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть

    \[ma_n=T-mg\cos{\alpha}\]

    \[T=m(a_n+ g\cos{\alpha})=m(2g-2g\cos{\alpha}+g\cos{\alpha})= mg(2-\cos{\alpha})\]

Ответ: T=mg(2-\cos{\alpha}).

 

Задача 5.  На концах перекинутой через блок нити закреплены два одинаковых груза. Если на один из них положить перегрузок массой m_1=10 г, грузы движутся с ускорением a_1. Если вместо него использовать перегрузок массы m_2=40 г, грузы движутся с ускорением a_2=3,5a_1.  Чему равна масса каждого груза M? Нить нерастяжима и невесома.

Запишем систему уравнений для обоих грузов с  первым перегрузком:

    \[\begin{Bmatrix}{ Ma_1=T_1-Mg}\\{ (m_1+M)a_1=(M+m_1)g-T_1}\end{matrix}\]

Сложим уравнения:

    \[Ma_1+(m_1+M)a_1=m_1g\]

Запишем систему уравнений для обоих грузов со  вторым перегрузком:

    \[\begin{Bmatrix}{ 3,5Ma_1=T_2-Mg}\\{ 3,5(m_2+M)a_1=(M+m_2)g-T_2}\end{matrix}\]

Сложим уравнения:

    \[3,5Ma_1+3,5(m_2+M)a_1=m_2g\]

Мы получили новую систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{ 2Ma_1+m_1a_1=m_1g }\\{ 7Ma_1+3,5m_2a_1=m_2g }\end{matrix}\]

Уравниваем коэффициенты и вычитаем уравнения:

    \[3,5a_1(m_2-m_1)=g(m_2-3,5m_1)\]

    \[a_1=\frac{ g(m_2-3,5m_1)}{ 3,5(m_2-m_1)}=\frac{10}{21}\]

Теперь определим M:

    \[M=\frac{m_1(g-a_1)}{2a_1}=\frac{0,01(10-\frac{10}{21})}{20}=0,1\]

Ответ: M=0,1 кг.

Задача 6. Груз массой m, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, вращается по окружности в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси (конический маятник). Длина нити известна и равна L. Сила упругости, возникающая в процессе вращения шарика, постоянна и равна T. Найдите кинетическую энергию шарика E_k.

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m a_n R}{2}=\frac{m a_n L \sin{\alpha}}{2}\]

Силу натяжения нити T разложим на две проекции:

    \[T\sin{\alpha}=ma_n\]

    \[T\cos{\alpha}=mg\]

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a_n}{g}\]

    \[a_n=g\operatorname{tg}{\alpha}\]

Подставляем:

    \[E_k=\frac{m g L \sin{\alpha}\operatorname{tg}{\alpha}}{2}\]

Ответ: E_k=\frac{m g L \sin{\alpha}\operatorname{tg}{\alpha}}{2}.

Задача 7. Шар массой M=200 г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом R=1,5 м при частоте вращения n=5 об/с. Определите силу упругости нити, считая ее нерастяжимой.

Нормальное ускорение равно

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2 R=4\pi^2\nu^2R\]

Нормальное ускорение направлено к центру круговой траектории, горизонтально, а сила тяжести, действующая на шар – вертикально вниз. Поэтому сила натяжения нити может быть определена по теореме Пифагора:

    \[T=\sqrt{(ma_n)^2+(mg)^2}=m\sqrt{g^2+4\pi^2\nu^2R}\]

Ответ: T= m\sqrt{g^2+4\pi^2\nu^2R}.

Задача 8. Шарик, подвешенный к потолку на нити длиной L, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол \alpha. Найдите время одного оборота шарика.

Радиус окружности, по которой вращается шарик, можно записать как

    \[R=L\sin{\alpha}\]

Тогда нормальное ускорение равно

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=\omega^2 R=4\pi^2\nu^2R=\frac{4\pi^2 R}{T^2}\]

Где T – период, или время одного оборота.

Силу натяжения нити T' разложим на две проекции:

    \[T'\sin{\alpha}=ma_n\]

    \[T'\cos{\alpha}=mg\]

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a_n}{g}\]

Или

    \[T^2=\frac{4\pi^2 R}{a_n}=\frac{4\pi^2 R\cos{\alpha}}{g\sin{\alpha}}=\frac{4\pi^2 L\cos{\alpha}}{g}\]

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos{\alpha}}{g}}\]

Ответ: T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos{\alpha}}{g}}.

Задача 9. Цилиндрическое тело массой m=1 кг надето на гладкий горизонтальный стержень, который вращается вокруг вертикальной оси, делая n=2 об/с. Тело прикреплено к оси вращения легкой пружиной. Чему равна жесткость пружины, если при вращении стержня пружина удлиняется в N=2 раза?

Сила упругости компенсирует центробежную:

    \[F=k\Delta x=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{R}\]

Или

    \[kl=\frac{m\upsilon^2}{2l}\]

Жесткость равна:

    \[k=\frac{ m\upsilon^2}{2l^2}\]

Скорость тела может быть записана:

    \[\upsilon=\omega\cdot 2l=2\pi \nu \cdot 2l\]

А квадрат скорости

    \[\upsilon^2=4\pi^2 \nu^2 \cdot 4l^2\]

Подставим в полученное выражение для жесткости:

    \[k=\frac{ m\cdot 4\pi^2 \nu^2 \cdot 4l^2}{2l^2}=8m \pi^2\nu^2=320\]

Ответ: k=320 Н/м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *