Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Динамика

Подготовка в СУНЦ МГУ: динамика

Задачи, связанные с разными темами динамики, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах.

Задача 1. Человек массой кг переходит с кормы на нос лодки, длина которой составляет м. Какова масса лодки, если она за время этого перехода переместилась на м. Какой станет скорость лодки, когда человек перейдет на ее нос и остановится? Сопротивлением воды пренебречь.

Запишем закон сохранения энергии:

   

Где – скорость человека, – масса человека,  – скорость лодки, – масса лодки.

Домножим на время:

   

   

Откуда:

   

   

Ответ: масса лодки 120 кг, скорость лодки станет равной нулю.

Задача 2. Грузовик массой т движется по мосту со скоростью км/ч. Радиус кривизны моста м. Найдите, с какой силой грузовик давит на середину моста, если а) мост выпуклый; б) мост вогнутый.

а) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для выпуклого моста:

   

   

б) Запишем уравнение по второму закону Ньютона для вогнутого моста:

   

   

Ответ: сила давления для выпуклого моста 50960 Н, для вогнутого 53040 Н.

Задача 3. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, разрывается на две равные части в верхней точке траектории на высоте м. Один из осколков возвращается к орудию по прежней траектории. Определите, на каком расстоянии от орудия упадет второй осколок, если в момент разрыва снаряд имел скорость м/с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Так как у снаряда перед разрывом скорость направлена горизонтально, а осколок вернулся в точку старта, следовательно, его скорость по модулю такая же, как у снаряда в верхней точке, но направлена в противоположную сторону. Тогда

   

   

   

Так как максимальная точка подъема равна м, то для движения по вертикали до этой точки запишем:

   

   

   

Тогда

   

   

По горизонтали снаряд пролетит расстояние (до места разрыва)

   

То есть снаряд разорвался в 1250 м от пушки. Так как скорость второго осколка втрое больше, чем скорость снаряда, то он от места разрыва пролетит втрое большее расстояние – 3750 м, а от пушки второй осколок упадет в 5000 м.

Ответ: 5 км.

Задача 4. Шарик массой подвешен на легкой нерастяжимой нити. Нить расположили горизонтально и шарик отпустили. Найдите зависимость силы упругости нити от угла , образованного ею с вертикалью.

Рассмотрим положение шарика в некоторой промежуточной точке между самым низким положением и положением, когда нить горизонтальна.

В начальном положении потенциальная энергия  шарика  равна , когда между нитью и вертикалью угол , потенциальная энергия уменьшается на . Разность между этими двумя значениями – кинетическая энергия шарика.

   

Тогда

   

А нормальное ускорение

   

Уравнение по второму закону Ньютона будет выглядеть

   

   

Ответ: .

 

Задача 5.  На концах перекинутой через блок нити закреплены два одинаковых груза. Если на один из них положить перегрузок массой г, грузы движутся с ускорением . Если вместо него использовать перегрузок массы г, грузы движутся с ускорением .  Чему равна масса каждого груза ? Нить нерастяжима и невесома.

Запишем систему уравнений для обоих грузов с  первым перегрузком:

   

Сложим уравнения:

   

Запишем систему уравнений для обоих грузов со  вторым перегрузком:

   

Сложим уравнения:

   

Мы получили новую систему уравнений:

   

Уравниваем коэффициенты и вычитаем уравнения:

   

   

Теперь определим :

   

Ответ: кг.

Задача 6. Груз массой , подвешенный на легкой нерастяжимой нити, вращается по окружности в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси (конический маятник). Длина нити известна и равна . Сила упругости, возникающая в процессе вращения шарика, постоянна и равна . Найдите кинетическую энергию шарика .

   

Силу натяжения нити разложим на две проекции:

   

   

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

   

   

Подставляем:

   

Ответ: .

Задача 7. Шар массой г вращается на легкой нити в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом м при частоте вращения об/с. Определите силу упругости нити, считая ее нерастяжимой.

Нормальное ускорение равно

   

Нормальное ускорение направлено к центру круговой траектории, горизонтально, а сила тяжести, действующая на шар – вертикально вниз. Поэтому сила натяжения нити может быть определена по теореме Пифагора:

   

Ответ: .

Задача 8. Шарик, подвешенный к потолку на нити длиной , равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол . Найдите время одного оборота шарика.

Радиус окружности, по которой вращается шарик, можно записать как

   

Тогда нормальное ускорение равно

   

Где – период, или время одного оборота.

Силу натяжения нити разложим на две проекции:

   

   

Тогда деление этих уравнений друг на друга даст

   

Или

   

   

Ответ: .

Задача 9. Цилиндрическое тело массой кг надето на гладкий горизонтальный стержень, который вращается вокруг вертикальной оси, делая об/с. Тело прикреплено к оси вращения легкой пружиной. Чему равна жесткость пружины, если при вращении стержня пружина удлиняется в раза?

Сила упругости компенсирует центробежную:

   

Или

   

Жесткость равна:

   

Скорость тела может быть записана:

   

А квадрат скорости

   

Подставим в полученное выражение для жесткости:

   

Ответ: Н/м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *