Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Подготовка в СУНЦ МГУ – динамика-2. Экзамен в 11 класс.

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема “относительность движения” и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1. Маленький шарик находится на гладком горизонтальном столе и равномерно вращается по окружности радиуса l.  Шарик соединен с неподвижным центром этой окружности невесомой резинкой, удлинение которой подчиняется закону Гука. Найдите длину l_0 нерастянутой резинки, если отношение потенциальной (упругой) энергии системы к ее кинетической энергии равно n=0,2.

Запишем данное отношение:

    \[\frac{W}{E}=0,2\]

    \[\frac{\frac{kx^2}{2}}{\frac{m\upsilon^2}{2}}=0,2\]

    \[\frac{kx^2}{m\upsilon^2}=0,2~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Сила, с которй шарик воздействует на пружинку,

    \[F=kx=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{l}\]

    \[m\upsilon^2=kxl\]

Подставим в (1):

    \[\frac{kx^2}{kxl}=0,2\]

Откуда

    \[\frac{x}{l}=0,2\]

Или

    \[l_0=0,8l\]

Ответ: l_0=0,8l.

Задача 2. Внутренняя и наружная обоймы радиусов r и R соответственно  шарикоподшипника вращаются с угловыми скоростями \omega и \Omega. Найдите величину \upsilon скорости центра одного из шариков.  Проскальзывания между шариками и обоймами нет.

К задаче 2

Запишем линейную скорость  точки A шарика:

    \[\upsilon_1=\omega r\]

Линейная скорость точки B:

    \[\upsilon_2=\Omega R\]

Тогда скорость \upsilon равна

    \[\upsilon=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\frac{\omega r +\Omega R }{2}\]

Ответ: \upsilon=\frac{\omega r +\Omega R }{2}

Задача 3. На пружине жесткостью k=100  Н/м, прикрепленной к потолку, подвешено тело массой m=2 кг. На него начинает действовать направленная вертикально вниз сила F=30 Н. Найдите работу A этой силы к тому моменту, когда груз опустится на высоту h=10 см.

Работа этой силы будет равна произведению силы на перемещение:

    \[A=FS=30\cdot0,1=3\]

Ответ: 3 Дж.

Задача 4. Найдите величину силы натяжения T нити, соединяющей две тележки массами m_1 и m_2, движущиеся по горизонтальной плоскости, если передний конец нити наматывается на установленную на одну из тележек невесомую катушку радиусом r, вращающуюся с угловой скоростью \omega=const. Переднюю тележку тянут с горизонтальной силой F. Система идеальна.

К задаче 4

Введем силу натяжения нити T. Тогда

    \[T=m_2a_2\]

Линейная скорость точек нити равна

    \[\upsilon=\omega r\]

Тогда для первой тележки запишем:

    \[m_1a_1=F-T=F-m_2a_2\]

    \[F=m_1a_1+m_2a_2\]

Если a_1=a_2, то

    \[F=(m_1+m_2)a\]

    \[a=\frac{F}{ m_1+m_2}\]

Откуда

    \[T=\frac{Fm_2}{ m_1+m_2}\]

Ответ: T=\frac{Fm_2}{ m_1+m_2}.

Задача 5.  На гладкой горизонтальной поверхности находится подвижная колоколообразная горка массой M и высотой H. В начальный момент горка покоится. Небольшому кубику массой m сообщается горизонтальная начальная скорость \upsilon, такая, что кубик въезжает на горку и останавливается на ее вершине. Какую скорость u приобретет при этом горка, если коэффициент трения кубик-горка равен \mu? Какую работу A_{tr} совершит сила трения?

У кубика первоначально имеется кинетическая энергия, равная

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon=(m+M)\upsilon'\]

    \[\upsilon'=\frac{ m\upsilon }{ m+M }\]

Кинетическая энергия кубика  переходит в потенциальную, кинетическую энергию системы кубик-горка и работу силы трения:

    \[E_k=E_p+E_k'+\mid A_{tr} \mid\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)\upsilon'^2}{2}-mgH=\mid A_{tr} \mid\]

Подставим найденную скорость системы кубик-тележка:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)m^2\upsilon^2}{2(m+M)^2}-mgH=\mid A_{tr} \mid\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{m}{m+M}\right)-mgH= \mid A_{tr} \mid\]

    \[\frac{mM\upsilon^2}{2(m+M)}-mgH=\mid A_{tr} \mid\]

    \[A_{tr}= mgH-\frac{mM\upsilon^2}{2(m+M)}\]

Знак я поменяла, так как сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению.

Задача 6. На патефонной пластинке, вращающейся в горизонтальной плоскости с частотой n=78 об/мин, сидит божья коровка на расстоянии r=15 см от центра. Найдите величину импульса P силы трения, действовавшей на божью коровку  в течение половины оборота пластинки, если масса божьей коровки m=0,20 г.

Переведем частоту в Гц:

    \[\nu=\frac{78}{60}=1,3\]

Импульс силы трения равен

    \[\Delta\vec{ P}=\vec{F}_{tr}\Delta t\]

    \[\Delta\vec{ P}=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{\upsilon}_2-m\vec{\upsilon}_1\]

Так как в конце полуоборота скорость направлена противоположно тому, как она была направлена вначале, то при вычитании двух противонаправленных векторов получим:

    \[\Delta P=2m\upsilon_1\]

Скорость равна

    \[\upsilon_1=\frac{2\pi r}{T}=2 \pi \nu r\]

 

Тогда импульс силы будет равен

    \[\Delta P= 4m  \pi \nu r=4\cdot0,2\cdot10^{-3}\cdot3,14\cdot1,3\cdot 0,15=0,5\cdot10^{-3}\]

Ответ: P=0,5\cdot10^{-3} Н\cdotс.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *