Подготовка в СУНЦ МГУ - бруски и наклонные плоскости.

Подготовка в СУНЦ МГУ – бруски и наклонные плоскости.

Задачи, связанные с темой “сила трения”, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах. Все они объединены присутствием наклонной плоскости.

Задача 1. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением $a=2$ м/с $^2$ . Чему равен коэффициент трения бруска о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha=30^{\circ}$ ?

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

$ma=mg\sin{\alpha}-F_{tr}$

Сила трения равна

$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\alpha}$

Тогда уравнение будет выглядеть

$ma=mg\sin{\alpha}-\mu m g \cos{\alpha}$

$\mu=\frac{ mg\sin{\alpha}-ma}{ m g \cos{\alpha}}=\frac{ g\sin{\alpha}-a}{ g \cos{\alpha}}=\frac{ 10\cdot0,5-2}{ 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=0,2\sqrt{3}=0,346$

Ответ: $\mu=0,346$ .

Задача 2. Через какое время после пуска скорость бруска, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $\upsilon_0$ , снова станет равной $\upsilon_0$ ? Коэффициент трения равен $\mu$ , а угол наклона плоскости к горизонту – $\beta$ .

Искомое время сложится из двух: времени подъема бруска и времени спуска. В некотором месте на спуске его скорость снова увеличится до $\upsilon_0$ . При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

$ma_1=mg\sin{\beta }+F_{tr}$

Сила трения равна

$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\beta }$

Тогда уравнение будет выглядеть

$ma_1=mg\sin{\beta }+\mu m g \cos{\beta }$

Откуда ускорение

$a_1= g\sin{\beta }+\mu g \cos{\beta }$

Тогда время подъема можно найти из уравнения:

$\upsilon=\upsilon_0-a_1t_1=0$

$t_1=\frac{\upsilon_0}{a_1}=\frac{\upsilon_0}{ g\sin{\beta }+\mu g \cos{\beta }}$

Теперь рассмотрим спуск бруска. Ускорение снова направлено вниз:

$ma_2=mg\sin{\beta }-F_{tr}= mg\sin{\beta }-\mu m g \cos{\beta }$

$a_2= g\sin{\beta }-\mu g \cos{\beta }$

Уравнение для скорости бруска:

$\upsilon=a_2t_2=\upsilon_0$

$t_2=\frac{\upsilon_0}{a_2}=\frac{\upsilon_0}{ g\sin{\beta }-\mu g \cos{\beta }}$

Тогда общее время подъема и спуска

$t=t_1+t_2=\upsilon_0\cdot \left(\frac{1}{ g\sin{\beta }+\mu g \cos{\beta }}+\frac{1}{ g\sin{\beta }-\mu g \cos{\beta }}\right)= \upsilon_0\cdot \left(\frac{2 g\sin{\beta }}{ g^2\sin^2{\beta }-\mu^2 g^2 \cos^2{\beta }}\right)= \upsilon_0\cdot \left(\frac{2 \sin{\beta }}{ g(\sin^2{\beta }-\mu^2 \cos^2{\beta })}\right)$

Ответ: $t= \upsilon_0\cdot \left(\frac{2 \sin{\beta }}{ g(\sin^2{\beta }-\mu^2 \cos^2{\beta })}\right)$ .

Задача 3. Тело массой $m=200$ кг перемещают вверх по наклонной плоскости, длина которой $L=10$ м, а угол наклона к горизонту равен $\alpha=30^{\circ}$ . Найдите, какую работу совершают при этом сила тяжести и сила трения. Коэффициент трения скольжения тела по наклонной плоскости равен $\mu=0,1$ .

Работа силы тяжести будет равна той потенциальной энергии, которая была сообщена телу:

$A_{mg}=-mgh=-mgL\sin{\alpha}=-200\cdot10\cdot10\cdot0,5=-10^4$

Работа силы трения равна

$A_{tr}=F_{tr}L=\mu m g\cos{\alpha} L=-0,1\cdot200\cdot10\cdot10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-100\sqrt{3}=-1730$

Ответ: $A_{mg}=-10000$ Дж, $A_{tr}=-1730$ Дж.

Задача 4. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha$ , покоится небольшой брусок. Если слегка толкнуть его вниз, то он будет скользить с постоянной скоростью. Найдите, какую начальную скорость вверх вдоль наклонной плоскости следует сообщить бруску, чтобы он смог проехать до остановки расстояние $S$ .

Так как брусок равномерно сползает, то

$mg\sin{\alpha}=F_{tr}=\mu m g \cos{\alpha}$

Или

$\mu=\operatorname{tg}{\alpha}$

Так как в конце подъема брусок, пройдя расстояние $S$ , остановится, то

$2aS=\upsilon_0^2$

При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

$ma=mg\sin{\alpha}+F_{tr}$

Сила трения равна

$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\alpha}$

Тогда уравнение будет выглядеть

$ma=mg\sin{\alpha}+\mu m g \cos{\alpha}$

Откуда ускорение

$a= g\sin{\alpha}+\mu g \cos{\alpha}$

Следовательно,

$\upsilon_0=\sqrt{2aS}=\sqrt{2Sg(\sin{\alpha}+\mu \cos{\alpha})}$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{2Sg(\sin{\alpha}+\mu \cos{\alpha})}$ .

Задача 5. За какое время шайба соскользнет с наклонной плоскости высотой $h=2,5$ м и углом наклона к горизонту $\beta=60^{\circ}$ , если по этой же плоскости, установленной под углом $\alpha=30^{\circ}$ , она движется равномерно?

Аналогично предыдущей задаче

$\mu=\operatorname{tg}{\alpha}$

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

$ma=mg\sin{\beta}-F_{tr}$

Сила трения равна

$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\beta}$

Тогда уравнение будет выглядеть

$ma=mg\sin{\beta}-\mu m g \cos{\beta}$

$a=g\sin{\beta}-\mu g \cos{\beta}$

Длина плоскости

$L=\frac{h}{\sin{\beta}}$

Кинематическое уравнение для пути, пройденного шайбой:

$L=\frac{at^2}{2}$

$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2h}{a\sin{\beta}}}=\sqrt{\frac{2h}{\sin{\beta}\cdot(g\sin{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}\cdot g \cos{\beta})}}$

$t=\sqrt{\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 10 \cdot0,5)}}=1$

Ответ: $t=1$ с

Задача 6. Брусок толкнули вверх по наклонной плоскости, образующей угол – $\beta=30^{\circ}$ с горизонтом. Через время $\tau=2$ с после пуска он остановился, а через время $T=4$ с после остановки – вернулся в исходную позицию. Чему равен коэффициент трения скольжения?

При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

$ma_1=mg\sin{\beta }+F_{tr}$

Сила трения равна

$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\beta }$

Тогда уравнение будет выглядеть

$ma_1=mg\sin{\beta }+\mu m g \cos{\beta }$

Откуда ускорение

$a_1= g\sin{\beta }+\mu g \cos{\beta }$

Тогда начальную скорость можно найти из уравнения:

$\upsilon=\upsilon_0-a_1\tau=0$

$\upsilon_0=a_1\tau=\tau g(\sin{\beta }+\mu \cos{\beta })$

Путь, пройденный бруском до остановки, равен

$S=\upsilon_0\tau-\frac{a_1\tau^2}{2}=\frac{a_1\tau^2}{2}=\frac{ g(\sin{\beta }+\mu \cos{\beta })\tau^2}{2}$

Теперь рассмотрим спуск бруска. Ускорение снова направлено вниз:

$ma_2=mg\sin{\beta }-F_{tr}= mg\sin{\beta }-\mu m g \cos{\beta }$

$a_2= g\sin{\beta }-\mu g \cos{\beta }$

Уравнение для скорости бруска:

$\upsilon=a_2T=\upsilon_0$

Пройденный им путь

$S=\frac{a_2T^2}{2}$

$S=\frac{ g(\sin{\beta }-\mu \cos{\beta })T^2}{2}$

Очевидно, что путь бруска вверх и путь вниз одинаковы:

$\frac{ g(\sin{\beta }+\mu \cos{\beta })\tau^2}{2}=\frac{ g(\sin{\beta }-\mu \cos{\beta })T^2}{2}$

$(\sin{\beta }+\mu \cos{\beta })\tau^2=(\sin{\beta }-\mu \cos{\beta })T^2$

$\mu \cos{\beta }(\tau^2+T^2)= \sin{\beta }(T^2-\tau^2)$

$\mu=\frac{\sin{\beta }(T^2-\tau^2)}{ \cos{\beta }(\tau^2+T^2)}= \operatorname{tg}{\alpha}\frac{T^2-\tau^2}{(T^2+\tau^2)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{12}{20}=\frac{\sqrt{3}}{5}=0,346$

Ответ: $\mu=0,346$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Подготовка в СУНЦ МГУ – бруски и наклонные плоскости.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь