Подготовка в СУНЦ МГУ – бруски и наклонные плоскости.

Задачи, связанные с  темой “сила трения”, которые были предложены на вступительном экзамене в СУНЦ МГУ в 2013, 2014, 2015 годах. Все они объединены присутствием наклонной плоскости.

Задача 1. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением м/с. Чему равен коэффициент трения бруска о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен ?

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

   

Сила трения равна

   

Тогда уравнение будет выглядеть

   

   

Ответ: .

Задача 2. Через какое время после пуска скорость бруска, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость , снова станет равной ? Коэффициент трения равен , а угол наклона плоскости к горизонту – .

Искомое время сложится из двух: времени подъема бруска и времени спуска. В некотором месте на спуске его скорость снова увеличится до . При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

   

Сила трения равна

   

Тогда уравнение будет выглядеть

   

Откуда ускорение

   

Тогда время подъема можно найти из уравнения:

   

   

Теперь рассмотрим спуск бруска. Ускорение снова направлено вниз:

   

   

Уравнение для скорости бруска:

   

   

Тогда общее время подъема и спуска

   

Ответ: .

Задача 3. Тело массой кг перемещают вверх по наклонной плоскости, длина которой м, а угол наклона к горизонту равен . Найдите, какую работу совершают при этом сила тяжести и сила трения. Коэффициент трения скольжения тела по наклонной плоскости равен .

Работа силы тяжести будет равна той потенциальной энергии, которая была сообщена телу:

   

Работа силы трения равна

   

Ответ: Дж, Дж.

Задача 4. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту , покоится небольшой брусок. Если слегка толкнуть его вниз, то он будет скользить с постоянной скоростью. Найдите, какую начальную скорость вверх вдоль наклонной плоскости следует сообщить бруску, чтобы он смог проехать до остановки расстояние .

Так как брусок равномерно сползает, то

   

Или

   

Так как в конце подъема брусок, пройдя расстояние , остановится, то

   

При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

   

Сила трения равна

   

Тогда уравнение будет выглядеть

   

Откуда ускорение

   

Следовательно,

   

Ответ: .

Задача 5. За какое время шайба соскользнет с наклонной плоскости высотой м и углом наклона к горизонту , если по этой же плоскости, установленной под углом , она движется равномерно?

Аналогично предыдущей задаче

   

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

   

Сила трения равна

   

Тогда уравнение будет выглядеть

   

   

Длина плоскости

   

Кинематическое уравнение для пути, пройденного шайбой:

   

   

   

Ответ: с

Задача 6. Брусок толкнули вверх по наклонной плоскости, образующей угол – с горизонтом.  Через время с после пуска он остановился, а через время с после остановки – вернулся в исходную позицию.  Чему равен коэффициент трения скольжения?

При подъеме бруска он тормозит, ускорение направлено вниз по наклонной плоскости.

Уравнение по второму закону в проекциях на плоскость будет выглядеть так:

   

Сила трения равна

   

Тогда уравнение будет выглядеть

   

Откуда ускорение

   

Тогда начальную скорость можно найти из уравнения:

   

   

Путь, пройденный бруском до остановки, равен

   

Теперь рассмотрим спуск бруска. Ускорение снова направлено вниз:

   

   

Уравнение для скорости бруска:

   

Пройденный им путь

   

   

Очевидно, что путь бруска вверх и путь вниз одинаковы:

   

   

   

   

Ответ: .