Подготовка с СУНЦ МГУ: динамика-3. Экзамен в 11 класс.

[latexpage]

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема “относительность движения” и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $a=0,7g$, закреплен штатив с математическим маятником $m=0,5$ кг. Маятник неподвижен относительно тележки. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите величину $T$ силы натяжения нити. В расчетах принять $g=10$ м/с$^2$.

К задаче 1

$$T\sin{\alpha}=ma$$

$$T\cos{\alpha}=mg$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}=0,7$$

Сила натяжения нити

$$T=\frac{ma}{\sin{\alpha}}=\frac{m\cdot0,7g}{\sin{\alpha}}=\frac{0,5\cdot0,7\cdot10}{0,57}=6,1$$

Ответ: $T=6,1$ Н.

Задача 2. По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, пускают вверх тело, сообщив ему некоторую начальную скорость. Сколько тепла выделится в системе, если известно, что после достижения верхней точки тело прекратило движение, а его потенциальная энергия увеличилась на $\Delta U$? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен $\mu$.

Кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную и выделится в виде тепла:

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\Delta U+\mid A \mid$$

Если обозначить длину плоскости $a$, а высоту подъема тела $h$, то

$$\Delta U=mgh$$

$$\sin{\alpha}=\frac{h}{a}$$

$$a=\frac{\Delta U}{mg \sin{\alpha}}$$

Работа силы трения равна

$$A=F_{tr}a=\mu N a=\mu m g a \cos{\alpha}=\frac{\mu m g  \cos{\alpha \Delta U}}{ mg \sin{\alpha}}=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}$$

Ответ: $A=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}$.

Задача 3. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $a=0,7g$, закреплена вертикальная $U$-образная трубка с водой. Найдите разность уровней $\Delta h$ в заднем и переднем ее коленьях, если расстояние между ними $l=10$ см.

Горизонтальный столб в нижней части трубки давит с силой

$$F=am$$

Давление горизонтальной части столба уравновешивается давлением гидростатическим:

$$p=\frac{am}{S}=\rho g \Delta h$$

Или

$$\rho g \Delta h S=am=a l S \rho$$

Сокращая, имеем:

$$\Delta h=0,7l=0,07$$

Ответ: 7 см.

Задача 4. С высокой подставки соскальзывает на неподвижную тележку с песком шарик и застревает в нем. Как изменится начальная  скорость тележки после падения шарика, если высоту $H$ подставки увеличить вдвое? Трение между тележкой и полом отсутствует. Угол $\alpha$ остается неизменным.

Ответ: никак. С ростом высоты подставки будет расти вертикальная составляющая скорости шарика. Эта составляющая никакой роли при вычислении начальной скорости тележки не играет. А горизонтальная составляющая никак не изменится.

Задача 5. В неподвижный шар массой $m$, висящий на легкой нерастяжимой нити длиной $l$, попадает летящая горизонтально с некоторой скоростью $\upsilon$ пуля такой же массы и застревает в нем. Какой должна быть эта скорость, чтобы нить оборвалась, если предел ее прочности $T_{max}=3mg$?

По закону сохранения импульса скорость системы шар-пуля будет вдвое меньше, чем скорость пули до столкновения.

$$m\upsilon=2m\upsilon_1$$

$$\upsilon_1=\frac{\upsilon }{2}$$

Нормальное ускорение шара с пулей равно

$$a_n=\frac{\upsilon_1^2}{l}=\frac{\upsilon^2}{4l}$$

По второму закону Ньютона

$$2m\cdot a_n=T-2mg$$

$$2m\cdot a_n+2mg=T=3mg$$

$$\frac{\upsilon^2}{2l}=g$$

Откуда $\upsilon>\sqrt{2gl}$.