Подготовка с СУНЦ МГУ: динамика-3. Экзамен в 11 класс.

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема “относительность движения” и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $a=0,7g$ , закреплен штатив с математическим маятником $m=0,5$ кг. Маятник неподвижен относительно тележки. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите величину $T$ силы натяжения нити. В расчетах принять $g=10$ м/с $^2$ .

К задаче 1

$T\sin{\alpha}=ma$

$T\cos{\alpha}=mg$

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}=0,7$

Сила натяжения нити

$T=\frac{ma}{\sin{\alpha}}=\frac{m\cdot0,7g}{\sin{\alpha}}=\frac{0,5\cdot0,7\cdot10}{0,57}=6,1$

Ответ: $T=6,1$ Н.

Задача 2. По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, пускают вверх тело, сообщив ему некоторую начальную скорость. Сколько тепла выделится в системе, если известно, что после достижения верхней точки тело прекратило движение, а его потенциальная энергия увеличилась на $\Delta U$ ? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен $\mu$ .

Кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную и выделится в виде тепла:

$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\Delta U+\mid A \mid$

Если обозначить длину плоскости $a$ , а высоту подъема тела $h$ , то

$\Delta U=mgh$

$\sin{\alpha}=\frac{h}{a}$

$a=\frac{\Delta U}{mg \sin{\alpha}}$

Работа силы трения равна

$A=F_{tr}a=\mu N a=\mu m g a \cos{\alpha}=\frac{\mu m g \cos{\alpha \Delta U}}{ mg \sin{\alpha}}=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}$

Ответ: $A=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}$ .

Задача 3. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $a=0,7g$ , закреплена вертикальная $U$ -образная трубка с водой. Найдите разность уровней $\Delta h$ в заднем и переднем ее коленьях, если расстояние между ними $l=10$ см.

Горизонтальный столб в нижней части трубки давит с силой

$F=am$

Давление горизонтальной части столба уравновешивается давлением гидростатическим:

$p=\frac{am}{S}=\rho g \Delta h$

Или

$\rho g \Delta h S=am=a l S \rho$

Сокращая, имеем:

$\Delta h=0,7l=0,07$

Ответ: 7 см.

Задача 4. С высокой подставки соскальзывает на неподвижную тележку с песком шарик и застревает в нем. Как изменится начальная скорость тележки после падения шарика, если высоту $H$ подставки увеличить вдвое? Трение между тележкой и полом отсутствует. Угол $\alpha$ остается неизменным.

Ответ: никак. С ростом высоты подставки будет расти вертикальная составляющая скорости шарика. Эта составляющая никакой роли при вычислении начальной скорости тележки не играет. А горизонтальная составляющая никак не изменится.

Задача 5. В неподвижный шар массой $m$ , висящий на легкой нерастяжимой нити длиной $l$ , попадает летящая горизонтально с некоторой скоростью $\upsilon$ пуля такой же массы и застревает в нем. Какой должна быть эта скорость, чтобы нить оборвалась, если предел ее прочности $T_{max}=3mg$ ?