Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Гидродинамика

Подготовка с СУНЦ МГУ: динамика-3. Экзамен в 11 класс.

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема “относительность движения” и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением a=0,7g, закреплен штатив с математическим маятником m=0,5 кг. Маятник неподвижен относительно тележки. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите величину T силы натяжения нити. В расчетах принять g=10 м/с^2.

К задаче 1

    \[T\sin{\alpha}=ma\]

    \[T\cos{\alpha}=mg\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}=0,7\]

Сила натяжения нити

    \[T=\frac{ma}{\sin{\alpha}}=\frac{m\cdot0,7g}{\sin{\alpha}}=\frac{0,5\cdot0,7\cdot10}{0,57}=6,1\]

Ответ: T=6,1 Н.

Задача 2. По наклонной плоскости, образующей угол \alpha с горизонтом, пускают вверх тело, сообщив ему некоторую начальную скорость. Сколько тепла выделится в системе, если известно, что после достижения верхней точки тело прекратило движение, а его потенциальная энергия увеличилась на \Delta U? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен \mu.

Кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную и выделится в виде тепла:

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\Delta U+\mid A \mid\]

Если обозначить длину плоскости a, а высоту подъема тела h, то

    \[\Delta U=mgh\]

    \[\sin{\alpha}=\frac{h}{a}\]

    \[a=\frac{\Delta U}{mg \sin{\alpha}}\]

Работа силы трения равна

    \[A=F_{tr}a=\mu N a=\mu m g a \cos{\alpha}=\frac{\mu m g  \cos{\alpha \Delta U}}{ mg \sin{\alpha}}=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}\]

Ответ: A=\Delta U \mu \operatorname{ctg}{\alpha}.

Задача 3. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением a=0,7g, закреплена вертикальная U-образная трубка с водой. Найдите разность уровней \Delta h в заднем и переднем ее коленьях, если расстояние между ними l=10 см.

Горизонтальный столб в нижней части трубки давит с силой

    \[F=am\]

Давление горизонтальной части столба уравновешивается давлением гидростатическим:

    \[p=\frac{am}{S}=\rho g \Delta h\]

Или

    \[\rho g \Delta h S=am=a l S \rho\]

Сокращая, имеем:

    \[\Delta h=0,7l=0,07\]

Ответ: 7 см.

Задача 4. С высокой подставки соскальзывает на неподвижную тележку с песком шарик и застревает в нем. Как изменится начальная  скорость тележки после падения шарика, если высоту H подставки увеличить вдвое? Трение между тележкой и полом отсутствует. Угол \alpha остается неизменным.

Ответ: никак. С ростом высоты подставки будет расти вертикальная составляющая скорости шарика. Эта составляющая никакой роли при вычислении начальной скорости тележки не играет. А горизонтальная составляющая никак не изменится.

Задача 5. В неподвижный шар массой m, висящий на легкой нерастяжимой нити длиной l, попадает летящая горизонтально с некоторой скоростью \upsilon пуля такой же массы и застревает в нем. Какой должна быть эта скорость, чтобы нить оборвалась, если предел ее прочности T_{max}=3mg?

По закону сохранения импульса скорость системы шар-пуля будет вдвое меньше, чем скорость пули до столкновения.

    \[m\upsilon=2m\upsilon_1\]

    \[\upsilon_1=\frac{\upsilon }{2}\]

Нормальное ускорение шара с пулей равно

    \[a_n=\frac{\upsilon_1^2}{l}=\frac{\upsilon^2}{4l}\]

По второму закону Ньютона

    \[2m\cdot a_n=T-2mg\]

    \[2m\cdot a_n+2mg=T=3mg\]

    \[\frac{\upsilon^2}{2l}=g\]

Откуда \upsilon>\sqrt{2gl}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *