Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Олимпиадная физика, Относительность движения

Подготовка к олимпиаде Максвелла: задачи на движение и не только

Рассмотрим несколько подготовительных и олимпиадных задач, которые могут встретиться вам на олимпиадах уровня региональной. Это и задачи на движение, и на относительность движения.

Задача 1. Некоему специалисту по молекулярной биологии удалось вывести редкую разновидность бактерий. Ежечасно каждая бактерия делится на 3 части, причем каждая часть мгновенно достигает размеров взрослой бактерии и час спустя снова претерпевает деление на 3 части. Ровно в полдень биолог положил 1 бактерию в стерильный контейнер с питательной средой. К полуночи контейнер оказался наполненным бактериями до отказа. Когда контейнер наполнился на одну треть? Когда наполнится контейнер, если ровно в полдень биолог положит в него не одну, а три бактерии?

Задачу будем решать «с конца». Если контейнер полон к полуночи, то очевидно, что на одну треть он был заполнен час назад, то есть в 23.00.   Если изначально положить три бактерии, то время заполнения контейнера уменьшится на один час, и он будет полон к 23.00 – раньше полуночи на час.

Ответ: 23.00

Задача 2. Идущая вверх по реке моторная лодка встретила сплавляемые по течению реки плоты. Через час после встречи лодочный мотор заглох. Ремонт мотора продолжался 30 мин. В течение этого времени лодка свободно плыла вниз по течению. После ремонта лодка поплыла вниз по течению с прежней относительно воды скоростью и нагнала плоты на расстоянии 7,5 км от места их первой встречи. Определите скорость течения реки, считая ее постоянной.

Лодка плыла от встречи плотов до места поломки ровно час. Потом, в ходе ремонта, лодка и плоты плыли с одной и той же скоростью – скоростью реки, и не удалялись друг от друга – были взаимно неподвижны. Затем лодка плыла уже вниз по течению. Перейдем в систему отсчета «вода». Тогда плоты неподвижны. Следовательно, в обратную сторону лодка двигалась такое же время, как и туда, то есть час. Тогда всего прошло 2,5 часа, за которые плоты сместились на 7,5 км. Отсюда скорость реки равна км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

Задача 3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону. В момент, когда велосипедист и пешеход были в одном месте, мотоциклист отставал от них на 6 км. А когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода нагнал мотоциклист?

Рисунок 1

Рассмотрим рисунок. Кто знаком с подобными треугольниками, тот сразу заметит подобие треугольников и , тогда

   

Высоты треугольников будут относиться так же.

И также подобными являются треугольники и . Причем, так как высоты и относятся как 2:1, то высоты и будут относиться как 2:3, тогда

   

   

Но такое решение возможно в конце 8 класса, когда пройдено подобие. Попробуем обойтись без подобия, «подручными» средствами.

Мотоциклист догоняет велосипедиста со скоростью , это их скорость сближения. Их разделяет поначалу расстояние км. За некоторое время мотоциклист догоняет его:

   

Велосипедист обгоняет пешехода со скоростью , это их скорость удаления. Их разделяет расстояние км спустя время после встречи:

   

Или

   

   

Пусть время – время, за которое мотоциклист догнал пешехода.

Тогда

   

За это время велосипедист уехал вперед на расстояние , которое нам и нужно найти:

   

Тогда, подставляя вместо скорости мотоциклиста выражение, полученное выше, получим:

   

   

Или

   

   

   

Ответ: 2 км.

Можно эту же задачу было решать в СО пешехода. Тогда пешеход неподвижен, а велосипедист удаляется от него на  расстояние за время . Мотоциклист же смещается на все 9 км за то же время:

   

   

Тогда

   

Но одновременно

   

   

То есть

   

Приравняем правые части:

   

   

Ответ: 2 км.

Задача 4. Петя шел домой вверх вдоль ручья со скоростью, в полтора раза большей скорости течения. Размышляя о чем-то, он бросил в ручей шляпу вместо палки, но вскоре заметил ошибку, бросил в ручей палку и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел вперед. Догнав плывущую шляпу, он схватил ее, повернулся и пошел вверх с первоначальной скоростью. Через 10 минут после поимки шляпы он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше пришел бы Петя домой, если бы не заметил ошибку?

Если бы Петя не заметил ошибки, он шел бы с прежней скоростью до дома. Но он заметил ошибку. Пусть к этому моменту он прошел расстояние . При этом прошло время

   

Шляпа плыла медленнее, и проплыла за время расстояние .

Рисунок 2

Чтобы подобрать шляпу, нужно пробежать расстояние . Тогда, приближаясь к шляпе со скоростью , мальчик догонит шляпу за промежуток времени

   

За время палка проплыла , а Петя пробежал , и их разделяет расстояние – прежнее расстояние, так как и шляпа тоже не стояла на месте, а все время, пока мальчик гнался за ней, спускалась вниз со скоростью реки и, как и палка, проплыла расстояние .

От места броска мальчика теперь отделяет расстояние , и он вернется от места поимки шляпы до места, где ее потерял, за время .

После того, как шляпа поймана, мальчик идет навстречу палке, и видит ее через 10 минут. Они сближаются со скоростью , поэтому до их встречи пройдет  время минут:

   

Откуда

   

Посчитаем потери времени. При этом нам не интересно, где дом мальчика: мы определим время, которое он потратил от момента, когда бросил шляпу в воду, до момента, когда он, подобрав шляпу, вернулся в точку, где ее потерял: все потерянное им время. Итак, он потратил , пока заметил потерю, потом , пока догонял шляпу, и затем до места броска, всего

   

Решим задачу в другой системе отсчета, чтобы убедиться в том, что решить можно проще.

Пусть палка неподвижна: пересаживаемся в СО реки. Тогда палке кажется, что Петя побежал за шляпой, которая находится на расстоянии , со скоростью , догнал, и побежал обратно со скоростью . То есть потратил время

   

Сама палка за это время проплыла расстояние , которое мальчик пройдет со своей обычной скоростью за время . Итого потеряно времени , а это и есть тот же ответ, что найден ранее.

Ответ: мальчик придет позже на 37,5 минут.

 

Задача 5. Пройдя 3/8 длины моста, собака услышала сигнал догоняющего ее автомобиля. Если собака побежит назад, то встретится с автомобилем у одного конца моста, а если побежит вперед, то встретится с ним у другого конца моста. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости собаки?

Рисунок 3

Автомобиль догоняет собаку, передвигаясь  со скоростью , собака бежит со скоростью . Пусть длина моста , а автомобиль находится на расстоянии от его начала. По первому условию автомобиль успеет проехать расстояние со своей скоростью, в то время как собака – – со своей:

   

По второму условию автомобиль проедет , а собака пробежит :

   

Тогда из первого

   

А из второго

   

Приравнивая правые части, получаем:

   

   

   

Ответ: 4.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *