Подготовка к олимпиаде Максвелла, 8 класс.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня рассмотрим задачу на обработку экспериментальных данных. Решим ее двумя способами: сначала аналитически, затем – графически.

Сосуд представляет собой куб, стенки и крышка которого имеют одинаковую толщину. Длина $a$ внешнего ребра сосуда составляет 10 см. Сосуд поочередно заполняется веществами с известными плотностями и производится измерение его веса P с помощью динамометра с ценой деления 1 Н. Результаты эксперимента представлены в таблице. Для каждого опыта указаны значения, между которыми находилась стрелка динамометра в процессе измерения.

Путем обработки экспериментальных данных найдите плотность материала сосуда. Ответ выразите в кг/м$^3$. Округлите до десятков. Ускорение свободного падения  $g=10$ м/c$^2$.

Сначала попробуем решить аналитически.  Пусть масса сосуда $m_0$. Тогда результат первого измерения –

$$(m_0+m_1)g=P_1=15,5$$

Где $m_1$ – масса содержимого.

Аналогично запишем для любого другого измерения, например, последнего

$$(m_0+m_2)g=P_2=26,5$$

Если вычесть из второго первое, получим:

$$ P_2-P_1=m_2g- m_1g= P_2-P_1$$

$$\rho_2Vg-\rho_1 Vg= P_2-P_1$$

Откуда объем содержимого

$$V=\frac{ P_2-P_1}{g(\rho_2-\rho_1)}=\frac{11}{10(2100-300)}=6,1\cdot10^{-4}$$

Объем куба равен $a^3=0,1^3=0,001$, тогда объем стенок равен

$$V_0=0,001-6,1\cdot10^{-4}=3,89\cdot10^{-4}$$

Из первого уравнения найдем массу сосуда:

$$m_0=\frac{P_1}{g}-m_2=\frac{P_1}{g}-\rho V=2,65-6,1\cdot10^{-4}\cdot2100=2,65-1,28=1,36$$

Откуда плотность самого сосуда

$$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}=\frac{1,36}{3,89\cdot10^{-4}}=3497$$

Ответ: 3500 кг/м$^3$.

Теперь ту же задачу решим экспериментально: построим график зависимости плотности содержимого от веса:

График

Тогда, если плотность содержимого 0, получаем пустой ящик: по графику определяем его вес, он равен 13,8 Н.

Так как вес вместе с содержимым (например, при плотности 2100 кг/м$^3$) равен 26,5 Н, заключаем, что разница – вес содержимого – равен 12,7 Н. Масса содержимого 1,27 кг, при известной плотности объем

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{1,27}{2100}=6\cdot10^{-4}$$

Далее вычисляем объем стенок так же, как это было сделано ранее.

Объем куба равен $a^3=0,1^3=0,001$, тогда объем стенок равен

$$V_0=0,001-6\cdot10^{-4}=4\cdot10^{-4}$$

Откуда плотность самого сосуда

$$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}=\frac{1,38}{4\cdot10^{-4}}=3450$$

Ответ: 3450 кг/м$^3$.

В обоих случаях получили близкие величины. Выбирайте тот способ, который вам ближе.