Подготовка к олимпиадам: тепловой баланс, 8 класс.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – тепловой баланс. Начнем, как обычно, с более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее.

Задача 1. Цилиндрическое ведро с кипятком поставлено на лед. Температура льда $0^{\circ}$ С. Высота ведра $H$. Оценить, на какую глубину погрузится ведро в лед, когда вода остынет.

Вода отдаст количество теплоты

$$Q=m c_v(t_2-t_1)$$

А лед его примет:

$$Q=m_l \lambda$$

Масса воды в ведре равна

$$m=H S \rho_v$$

Масса растаявшего льда

$$m_l=h S \rho_l$$

Тогда уравнение баланса принимает вид:

$$ H S \rho_v c_v(t_2-t_1)= h S \rho_l \lambda$$

Сокращаем $S$ и выражаем $h$ – высоту, на которую опустится ведро при таянии льда.

$$h=\frac{ H  \rho_v c_v(t_2-t_1)}{ \rho_l\lambda }=\frac{ H\cdot 1000\cdot4200(100-0)}{ 900\cdot 330000}=1,41 H$$

Ответ: $h=1,41H$.

Задача 2. Для купания необходимо наполнить 350-литровую ванну водой при температуре $t=35^{\circ}$ С. Сколько для этого нужно взять литров воды из холодного $t_1=10^{\circ}$ С крана и из горячего $t_2=73^{\circ}$ С крана?

Уравнение теплового баланса:

$$Q_{otd}=Q_{pol}$$

Отдавать будет горячая вода, получать – холодная, в итоге горячая остывает на 38 градусов, а холодная нагревается на 25.

$$V_2\rho c_v (t_2-t)=V_1 \rho c_v (t-t_1)$$

$$V_2 (t_2-t)=V_1 (t-t_1)$$

Тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{25}{38}$$

Но $V_1+V_2=350$, поэтому

$$V=V_1+\frac{25}{38}V_1$$

$$V_1=\frac{38V}{63}=211$$

$$V_2=139$$

Ответ: холодной воды 211 л, горячей – 139.

 

Задача 3. В калориметре находится лед при температуре $t=-3^{\circ}$ С. Для нагревания его на $2^{\circ}$ С требуется количество теплоты Q. Сколько теплоты потребуется для нагревания льда еще на $2^{\circ}$ С?

Если мы нагреем лед на 2 градуса, его температура будет $t=-1^{\circ}$, а при нагревании еще на два он не останется льдом, потому что растает. Следовательно, тепло уйдет на таяние льда, а потом еще будем греть воду, получившуюся при таянии:

$$Q=m c_l \Delta t$$

$$Q_1=m c_l\frac{\Delta t }{2}+m\lambda+ m c_v\frac{\Delta t }{2}$$

Определяем отношение:

$$\frac{ Q_1}{ Q}=\frac{ (c_l+c_v)\frac{\Delta t }{2}+\lambda }{ c_l \Delta t }=\frac{ (2100+4200)\frac{2}{2}+330 000}{ 2100 \cdot 2 }=82$$

Ответ: понадобится в 82 раза больше теплоты.

Задача 4. Смесь из 5 кг льда и 15 кг воды при общей температуре $t_1=0^{\circ}$ С, нужно нагреть до температуры $t_2=80^{\circ}$  С, пропуская водяной пар с температурой $t_p=100^{\circ}$ С. Найдите необходимую массу пара.

Пар будет конденсироваться, а получившаяся вода – остывать. Вот это слагаемое нужно не забыть. Тогда

$$m_p L+m_p c_v (t_p-t_2)=m_l\lambda+ (m_l+m_v)c_v(t_2-t_1)$$

Откуда

$$m_p=\frac{ m_l\lambda+ (m_l+m_v)c_v(t_2-t_1)}{L+ c_v (t_p-t_2)}= \frac{ 5\cdot 330000+ 20\cdot4200\cdot80}{2,3\cdot10^6+ 4200\cdot20}=3,53$$

Ответ: 3,5 кг пара понадобится.

Задача 5. Некоторая установка, развивающая мощность $N=30$ кВт, охлаждается проточной водой, текущей по спиральной трубке сечением $S=1$ см$^2$. При установившемся режиме проточная вода нагревается на $\Delta t=15^{\circ}$ С. Определить скорость течения воды, предполагая, что вся энергия, выделяющаяся при работе, идет на нагрев воды.

Установка отдает количество теплоты $Nt$ за время $t$. За это время по трубке протечет объем воды $V=S\upsilon t$. Тогда

$$ Nt=m c_v \Delta t=\rho S\upsilon t c_v \Delta t$$

Время сократится, и мы получим:

$$\upsilon=\frac{N}{\rho S c_v \Delta t }=\frac{30000}{1000\cdot10^{-4} \cdot 4200 \cdot 15 }=4,76$$

Ответ: 4,76 м/с.

Задача 6. Литр воды нагрелся в электрическом чайнике за одну минуту от $10^{\circ}$  до $30^{\circ}$ С. После этого из чайника налили стакан теплой воды (200 мл) и снова включили чайник в сеть. Определите мощность чайника. Через какое время после второго включения чайник закипит? Потерями пренебречь.

Мощность чайника по первому условию:

$$N\tau_1=V\rho c_v(t_2-t_1)$$

Можно эту мощность сразу и посчитать:

$$N=\frac{V\rho c_v(t_2-t_1)}{\tau_1}=\frac{1\cdot1\cdot4200\cdot20}{60}=1400$$

Тогда второе условие (убавили объем воды):

$$\tau_1=\frac{(V-V_1)\rho c_v(t_k-t_2)}{N}=\frac{(1-0,2)\cdot1\cdot4200(100-30)}{1400}=168$$

Ответ: 168 с.

Задача 7. Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель, и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на $12^{\circ}$ С. Через пять минут после этого вода в кастрюле снова закипела. Какова температура воды в ведре? Потерь нет.

Пусть мощность нагревателя $N$ и он отдает кастрюле $N\tau$ Дж тепла. Тогда

$$N\tau_1=m c_v (t_k-t_0)$$

Потом, когда воду долили, нам, по сути, предстоит нагреть только это добавленное количество. Поэтому

$$N\tau_2=\Delta m c_v (t_k-t_0)$$

Разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{\tau_2}{\tau_1}=\frac{m}{\Delta m }$$

Теперь запишем условие понижения температуры воды при добавлении холодной:

$$\Delta m c_v (t_k-\Delta t-t_0)=m c_v \Delta t$$

Откуда

$$\frac{m}{\Delta m }=\frac{ t_k-\Delta t-t_0}{\Delta t }=\frac{\tau_2}{\tau_1}$$

$$6\Delta t = t_k-\Delta t-t_0$$

$$t_0=t_k-7\Delta t=100-7\cdot12=16$$

Ответ: $t_0=16^{\circ}$.

Задача 8. При нормальном атмосферном давлении в открытый калориметр помещают одинаковое количество воды (при температуре $+t^{\circ}$ C) и льда (при температуре $–t^{\circ}$ C). Какая максимальная доля льда может при этом расплавиться?

Если конечная температура превышает $0^{\circ}$, то лед весь растаял, то есть ответ в этом случае – 100%. Если же конечная меньше $0^{\circ}$, то таяние не началось, следовательно, ответ 0%. Рассмотрим ситуацию, когда конечная температура – нулевая. Тогда

$$m c_v (t-0)=m_l c_l(0-(-t))+km_l\lambda$$

Так как $m=m_l$, сократим массы:

$$c_vt=c_l t+k\lambda$$

Где $k$ – коэффициент, показывающий долю расплавившегося льда.

$$k=\frac{(c_v-c_l)t}{\lambda}$$

В этой зависимости только $t$ – не константа, поэтому все зависит от этой температуры. Конечно, чем она больше, тем больше $k$. Для воды диапазон изменения температуры – от $0^{\circ}$ до $100^{\circ}$, а для льда – от $-273^{\circ}$ до $0^{\circ}$. У воды более узкий диапазон, поэтому максимум – $100^{\circ}$. При этом

$$ k=\frac{(4200-2100)100}{330 000}=0,64$$

Ответ: $k=0,64$.

Задача 9. В калориметр, содержащий $m_1 = 250$ г воды при температуре $t_1 = 15^{\circ}$ C, бросили $m_2 = 20$ г мокрого снега. Температура в калориметре понизилась на $\Delta t_1 = 5^{\circ}$ C. Сколько воды было в снеге? Теплоемкостью калориметра пренебречь.

Пусть в снегу было $m$ воды. Тогда, с учетом того, что конечная температура положительная – то есть все растаяло, имеем:

$$ m_1c_v\Delta t_1=(m_2-m)\lambda+m_2c_v(t_1-\Delta t_1)$$

Тогда

$$(m_2-m)\lambda= m_1c_v\Delta t_1- m_2c_v(t_1-\Delta t_1)$$

$$m=m_2-\frac{ (m_1\Delta t_1- m_2(t_1-\Delta t_1))c_v}{\lambda }=20-\frac{ (250\cdot5- 20\cdot10)4200}{330 000}=7$$

Ответ: 7 г.

Задача 10. На какую бы высоту можно было поднять гирю массой 16 кг за счет энергии, которая выделяется при остывании стакана с 200 г чая  от $100^{\circ}$ С до $20^{\circ}$С.

$$m_1c_v(t_k-t)=m g h$$

Откуда

$$h=\frac{ m_1c_v(t_k-t)}{ m g }=\frac{ 0,2\cdot4200(100-20)}{160}=420$$

Ответ: 420 м.

Мы рассмотрели подготовительные задачи, просто, чтобы «набить руку». Все интересное – впереди.