Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Тепловой баланс

Подготовка к олимпиадам: тепловой баланс, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Рассматриваем тему «тепловой баланс». Тут мы познакомимся с интересным, иногда очень эффективным способом решать задачи – виртуальным тепловым банком, в котором можно как временно занять теплоты, чтобы нагреть (виртуально) все компоненты системы, так и наоборот, охладить все компоненты, и излишек тепла пока что «сдать» в банк.

 

Задача 1. В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру 80^{\circ} С добавили 20 кг воды при температуре 20^{\circ}С. Какая установится температура смеси? Потерь нет.

Это разминочная задача. Понятно: горячая вода отдает тепло холодной и в результате та нагревается:

    \[Q_{pol}=Q_{otd}\]

    \[c_v m(t_1-t_x)=c_v m (t_x-t_2)\]

    \[2t_x=t_1+t_2\]

    \[t_x=\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{80+20}{2}=50\]

Ответ: 50^{\circ}.

Задача 2. В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру 80^{\circ} С добавили 80 кг воды при температуре 20^{\circ}С. Какая установится температура смеси? Потерь нет.

Теперь массы разные, но уравнение то же:

    \[Q_{pol}=Q_{otd}\]

    \[c_v m_1(t_1-t_x)=c_v m_2 (t_x-t_2)\]

    \[t_x(m_1+m_2)=m_1t_1+m_2t_2\]

    \[t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2}{ m_1+m_2}=\frac{20\cdot80+80\cdot20}{100}=32\]

Ответ: 32^{\circ}.

Обратим внимание, как в заключительное выражение температуры вошли с «весовыми коэффициентами» в виде масс. Аналогично можно сразу написать ответ к третьей задаче, если ввести такие же коэффициенты.

Задача 3. В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру 80^{\circ} С добавили 40 кг воды при температуре 20^{\circ} С и 20 кг воды при температуре 40^{\circ} С. Найти температуру смеси. Потерь тепла нет.

Ответ: t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3}{ m_1+m_2+m_3}.

Однако на олимпиаде такой ответ может лишить вас баллов. Поэтому решаем «по-честному».

    \[Q_{pol}=\mid Q_{otd}\mid\]

    \[c_v m_1(t_x -t_1)+c_v m_2 (t_x-t_2)+ c_v m_3 (t_x-t_3)=0\]

    \[t_x(m_1+m_2+m_3)=m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3\]

    \[t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3}{ m_1+m_2+m_3}=\frac{ 1600+800+800}{ 80}=40\]

Но вот здесь мы поучимся пользоваться виртуальным банком: пусть вся вода остыла до самой низкой температуры – 20^{\circ}. Тогда вода отдаст тепло Q, и мы его пока положим в сторонку – в виртуальный банк.

    \[Q= c_v m_1(t_1 -t_2)+c_v m_3 (t_3-t_2)=4200\cdot20\cdot60+4200\cdot20\cdot20=6720000\]

А теперь массу m_1+m_2+m_3 согреем этим теплом и посмотрим, какая выйдет температура у этой смеси:

    \[( m_1+m_2+m_3)(t_x-t_2)c_v=Q\]

    \[t_x=\frac{ Q }{ c_v(m_1+m_2+m_3)}+t_2=\frac{ 6720000 }{ 80\cdot4200}+20=40\]

Ответ: t_x=40^{\circ}.

Задача 4. Какая температура установится в стакане с 200 г воды при 40^{\circ} С, если в него поместить кусочек льда массой 10 г при температуре (-20^{\circ}) С?

Решим снова с применением метода виртуального банка: берем в нем кредит и согреваем все до температуры 40^{\circ}:

    \[Q=m_l c_l(t_{pl}-t_l)+m_l\lambda+m_lc_v(t-t_{pl})= 0,01\cdot2100(0-(-20))+0,01\cdot340000+0,01\cdot4200\cdot40=420+3400+1680=5500\]

Теперь всю воду, включая ту, что изо льда натаяла, охлаждаем до t_x, возвращая банку 5500 Дж теплоты:

    \[Q=(m+m_l)c_v(t-t_x)\]

    \[t_x=t-\frac{Q}{(m+m_l)c_v}=40-\frac{5500}{4200\cdot0,21}=33,8\]

Ответ: t_x=33,8^{\circ}.

 

Задача 5. В калориметре находится смесь из m_l=500 г льда и m_v=500 г воды при температуре 0^{\circ} С. В калориметр вливают воду массой m_1=1 кг при температуре 50^{\circ} С. Какая температура установится в нем?

Здесь можно применить метод «прикидок»: посчитать, сколько нужно льду, чтобы он растаял весь, и сможет ли столько дать вода. Таким образом, можно определить, какое состояние имеет система в конце: понятно, что минусовой температуры быть не может, но, возможно, лед не весь растаял.

Но мы применим метод виртуального банка. Нагреем все до максимальной температуры.

    \[Q=m_l\lambda+(m_l+m_v)c_v \cdot t=0,5\cdot340000+1\cdot4200\cdot50=380000\]

Это тепло должно выделиться при остывании всей массы до t_x:

    \[Q=(m_l+m_v+m_1)c_v(t-t_x)\]

    \[t_x=t-\frac{Q}{(m_l+m_v+m_1)c_v }=50-\frac{380000}{2\cdot4200}=4,8\]

Ответ: t_x=4,8^{\circ}.

 

Задача 6. В сосуде находится лед массой 1 кг при температуре -10^{\circ} С. В сосуд впускают 0,2 кг пара при температуре 100^{\circ}С. Какая температура установится в калориметре?

Решаем опять тем же методом виртуального банка: охладим пар до температуры льда:

    \[Q=m_p(L+c_v(t_p-t_{pl})+\lambda+c_l(t_{pl}-t_l))=0,2(2300\cdot10^3+4200\cdot100+340\cdot10^3+2100\cdot10)=616,2\cdot 10^3\]

Пускаем теперь это тепло на нагрев, греем всю массу до нуля:

    \[Q_1=(m_l+m_p)c_l(t_{pl}-t_l)=1,2\cdot2100\cdot10=25,2\cdot10^3\]

Плавим всю массу:

    \[Q_2=\lambda(m_l+m_p)=1,2\cdot340000=408\cdot10^3\]

На нагрев до 100 не хватит, поэтому определяем температуру смеси:

    \[(m_p+m_l)c_v(t_x-t_{pl})=Q-Q_1-Q_2\]

    \[t_x=\frac{ Q-Q_1-Q_2}{(m_p+m_l)c_v }=\frac{ 616,2-25,2-408}{1,2\cdot4200}=36,3\]

Ответ: t_x=36,3^{\circ}.

Задача 7. В лаборатории в четырех стаканах находилась разное количество одинаковой жидкости при разных температурах. После проведения эксперимента связанного с переливанием и смешиванием, в трех стаканах оказалось другое количество жидкости при новых температурах. Сколько и при какой температуре осталось жидкости в четвертом стакане? Теплоемкостью стаканов, потерями жидкости и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Рисунок 1

Рисунок 2

Сначала сравниваем массы:

    \[13,5m=x+9m\]

    \[x=4,5m\]

Применяем метод виртуального банка, охлаждаем все до 10t:

    \[Q=3m c\cdot 10t+2m c \cdot 70t+5m c\cdot20t=270 mc t\]

Этим теплом греем указанные на рисунке массы:

    \[Q=4m c \cdot5 t+m c \cdot 50t+4m c\cdot15 t+4,5m c\cdot x\]

    \[4,5m c\cdot x=185mct\]

    \[x=41t\]

Ответ: 41t

Задача 8. Сколько льда может получиться из m = 1 кг переохлаждённой до t = -10^{\circ}С воды? Теплоёмкость обычной и переохлаждённой воды одинаковая.

И здесь метод виртуального банка поможет: греем воду до нуля и указанное тепло «тратим» на образование льда:

    \[c_v m (t_{pl}-t_l)=m_l\lambda\]

    \[m_l=\frac{ c_v m (t_{pl}-t_l)}{ \lambda }=\frac{4200\cdot1\cdot10}{340000}=0,123\]

Ответ: 123 г.

Задача 9. Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на 12^{\circ} С. Через 5 минут после этого вода в кастрюле закипела. Какова температура воды в ведре. Теплообмен воды с внешней средой не учитывать.

Задача решена в этой статье. Ответ: 16^{\circ}.

Задача 10. Ванну, ёмкостью 85 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30^{\circ}С, используя воду при 80^{\circ} С и лёд при температуре -20^{\circ} С. Определите массу льда, который следует положить в ванну. Удельная теплота плавления льда 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость льда 2100 Дж/кг К, удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/кг К.

Общая масса воды со льдом – 85 кг. Поэтому  m_l+m_v=85. Тогда

    \[(m-m_l)c_v(t-t_k)=m_lc_l(t_{pl}-t_l)+m_l\lambda+m_l c_v(t-t_{pl})\]

    \[m_l(c_l(t_{pl}-t_l) +\lambda+c_v(t-t_k)+c_v(t-t_{pl}))=m c_v(t-t_k)\]

    \[m_l=\frac{85\cdot4200\cdot50}{2100\cdot20+340000+4200\cdot50+4200\cdot30}=24,86\]

Ответ: приблизительно 25 кг.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *