Подготовка к олимпиадам. Средняя скорость, 8 класс.

Задача 1. Велосипедист время  ехал со скоростью км/ч, а затем время со скоростью км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

   

Все время равно .

Весь путь равен

   

Тогда средняя скорость равна

   

Ответ: 36 км/ч

Задача 2. Велосипедист расстояние ехал со скоростью км/ч, а затем расстояние со скоростью км/ч определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

   

Весь путь равен .

Все время равно

   

Тогда средняя скорость равна

   

Ответ: 45 км/ч

 

Задача 3. Автомобиль половину пути ехал со скоростью , а вторую половину пути со скоростью, в 4 раза большей первой. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

   

Весь путь равен – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно .

Определим отрезки времени и :

   

   

Тогда средняя скорость равна

   

Ответ: .

 

Задача 4. Первую половину пути автобус шел со скоростью в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути оказалась 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

Эта задача аналогична предыдущей.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

   

Весь путь равен – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно .

Определим отрезки времени и :

   

   

Тогда средняя скорость равна

   

Откуда км/ч.

Ответ: км/ч.

Задача 5. Автомобиль проехал расстояние . Первую часть пути автомобиль ехал со скоростью в два раза меньше средней, а вторую часть пути – со скоростью в три раза больше средней. Найдите длину первой части пути.

Обозначим первую часть пути . Тогда длина второй –  .

Пусть время, затраченное на первую часть пути :

   

Тогда на второй участок автомобиль потратит время :

   

Тогда общее время движения

   

Путь можно определить через среднюю скорость

   

Тогда

   

Или

   

   

Ответ: .

Задача 6. Восьмиклассник ходит в школу из дома с постоянной скоростью м/с. Однажды, выйдя вовремя, чтобы прийти к началу урока,  он решает вернуться с полпути домой, так как вспомнил, что забыл дома дневник. Успеет ли мальчик в школу к началу урока, если с этого момента будет бежать со скоростью 14,4 км/ч.

Переведем для начала скорость в м/с:

   

Пусть все расстояние до школы равно . Тогда обычно парень затрачивает время

   

Поскольку он возвращался с половины пути, то эту половину он прошел как обычно, затратив время , а потом бежал эту половину назад и еще весь путь до школы, затратив время :

   

Сравним эти два времени:

   

Очевидно, что можно сравнивать

   

Правая часть больше, следовательно, юноша опоздает.

Ответ: не успеет.

Задача 7. В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня. Но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы успеть в город по расписанию, водителю пришлось ехать оставшуюся часть пути со скоростью в два раза больше запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

Без поломки автомобиль проехал бы свой путь за час. Обозначим этот промежуток времени . Пусть время автомобиль двигался до поломки. Тогда он чинился. После ремонта он двигался еще какое-то время :

   

Время можно записать выражением. Это оставшийся автомобилисту путь, деленный на скорость. Весь путь – , на первом участке прошли , следовательно:

   

Тогда наше первое уравнение после подстановки в него изменится:

   

   

А , в свою очередь, :

   

Откуда

   

   

То есть до поломки автомобиль был в дороге 36 минут, следовательно, часы показывали 12.36, когда он сломался.

Ответ: 12.36.

Задача 8. Первую половину пути Баба-Яга летела со скоростью 20 км/ч. Затем погода испортилась, и половину всего времени движения Яга пролетела со скоростью 10 км/ч. В довершение бед у неё сломалась метла, и пришлось оставшееся время идти пешком со скоростью  5 км/ч. Найти среднюю скорость бабушки.

Пусть все время движения , а весь путь .

Тогда средняя скорость равна

   

Здесь нам нужно определить либо путь бабушки, либо время ее движения. То есть имеется  два способа решить задачу.

Первый способ, определить путь.

   

Здесь – первая половина, пройденная со скоростью 20 км/ч, – половина времени, это время бабушка летела со скоростью км/ч. На последнюю часть ушло время , скорость на этом участке .

Второй способ, определить время:

   

Здесь – время прохождения первого участка, – расстояние, пройденное на третьем участке.

Наша цель – получить отношение .

Из (1)

   

   

   

Ответ: 12 км/ч.

Задача 9. Мальчику разрешили погулять по лесу сорок пять минут. В течение 20 минут он шёл с постоянной скоростью на север, затем в течение 15 минут он с той же скоростью шёл на запад. Вспомнив о времени прогулки, он поторопился вернуться назад, и побежал по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шёл до этого. Успеет ли мальчик вернуться к намеченному сроку? Ответ обосновать.

По теореме Пифагора

   

   

   

Так как 35 минут уже прошло (то есть на возвращение оставалось 10 минут), то мальчик опоздает на 2,5 минуты.

Ответ: не успеет.