[latexpage]
Задача 1. Велосипедист время $t$ ехал со скоростью $\upsilon_1=20$ км/ч, а затем время $4t$ со скоростью $\upsilon_1=40$ км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.
Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.
$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}$$
Все время равно $t_p=t+4t=5t$.
Весь путь равен
$$S=\upsilon_1\cdot t+\upsilon_2\cdot 4t=20t+160t=180t$$
Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{180t }{5t}=36$$
Ответ: 36 км/ч
Задача 2. Велосипедист расстояние $S$ ехал со скоростью $\upsilon_1 = 20$ км/ч, а затем расстояние $5S$ со скоростью $\upsilon_2=60$ км/ч, определите среднюю скорость велосипедиста.
Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.
$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}$$
Весь путь равен $S_p=S+5S=6S$.
Все время равно
$$t_p=t_1+t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{5S}{\upsilon_2}=S\frac{\upsilon_2+5\upsilon_1}{\upsilon_1\upsilon_2}$$
Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{6S \upsilon_1\upsilon_2}{S(5\upsilon_1+\upsilon_2)}=\frac{6\cdot20\cdot60}{100+60}=45$$
Ответ: 45 км/ч
Задача 3. Автомобиль половину пути ехал со скоростью $\upsilon$, а вторую половину пути со скоростью, в 4 раза большей первой. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}$$
Весь путь равен $2S$ – так его удобней будет делить пополам.
Все время равно $t_p=t_1+t_2$.
Определим отрезки времени $t_1$ и $t_2$:
$$t_1=\frac{S}{\upsilon}$$
$$t_2=\frac{S}{4\upsilon}$$
Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{\upsilon}+\frac{S}{4\upsilon}}=1,6\upsilon$$
Ответ: $\upsilon_{sr}=1,6\upsilon$.
Задача 4. Первую половину пути автобус шел со скоростью в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути оказалась 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.
Эта задача аналогична предыдущей.
Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}$$
Весь путь равен $2S$ – так его удобней будет делить пополам.
Все время равно $t_p=t_1+t_2$.
Определим отрезки времени $t_1$ и $t_2$:
$$t_1=\frac{S}{8\upsilon}$$
$$t_2=\frac{S}{\upsilon}$$
Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{8\upsilon}+\frac{S}{\upsilon}}=\frac{16}{9}\upsilon=16$$
Откуда $\upsilon=9$ км/ч.
Ответ: $\upsilon=9$ км/ч.
Задача 5. Автомобиль проехал расстояние $L$. Первую часть пути автомобиль ехал со скоростью в два раза меньше средней, а вторую часть пути – со скоростью в три раза больше средней. Найдите длину первой части пути.

Рисунок 1
Обозначим первую часть пути $S$. Тогда длина второй – $L-S$.
Пусть время, затраченное на первую часть пути $t_1$:
$$t_1=\frac{S}{\frac{\upsilon_{sr}}{2}}=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}$$
Тогда на второй участок автомобиль потратит время $t_2$:
$$t_2=\frac{L-S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}$$
Тогда общее время движения
$$t_1+t_2=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}+\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}+\frac{5S}{3\upsilon_{sr}}$$
Путь $L$ можно определить через среднюю скорость
$$L=\upsilon_{sr}( t_1+t_2)$$
Тогда
$$L=\frac{L}{3}+\frac{5S}{3}$$
Или
$$\frac{5S}{3}=\frac{2L}{3}$$
$$S=0,4L$$
Ответ: $S=0,4L$.
Задача 6. Восьмиклассник ходит в школу из дома с постоянной скоростью $\upsilon_1=2$ м/с. Однажды, выйдя вовремя, чтобы прийти к началу урока, он решает вернуться с полпути домой, так как вспомнил, что забыл дома дневник. Успеет ли мальчик в школу к началу урока, если с этого момента будет бежать со скоростью 14,4 км/ч.
Переведем для начала скорость в м/с:
$$\upsilon_2=\frac{14400}{3600}=4$$
Пусть все расстояние до школы равно $2S$. Тогда обычно парень затрачивает время
$$t_1=\frac{2S}{\upsilon_1}$$
Поскольку он возвращался с половины пути, то эту половину он прошел как обычно, затратив время $\frac{S}{\upsilon_1}$, а потом бежал эту половину назад и еще весь путь до школы, затратив время $\frac{3S}{\upsilon_2}$:
$$t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}$$
Сравним эти два времени:
$$\frac{2S}{\upsilon_1} <> \frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}$$
Очевидно, что можно сравнивать
$$\frac{S}{\upsilon_1} <> \frac{3S}{\upsilon_2}=\frac{3S}{2\upsilon_1}$$
Правая часть больше, следовательно, юноша опоздает.
Ответ: не успеет.
Задача 7. В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня. Но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы успеть в город по расписанию, водителю пришлось ехать оставшуюся часть пути со скоростью в два раза больше запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

Рисунок 2
Без поломки автомобиль проехал бы свой путь за час. Обозначим этот промежуток времени $\tau$. Пусть время $t$ автомобиль двигался до поломки. Тогда $\frac{t}{3}$ он чинился. После ремонта он двигался еще какое-то время $t_1$:
$$t+\frac{t}{3}+ t_1=\tau$$
Время $t_1$ можно записать выражением. Это оставшийся автомобилисту путь, деленный на скорость. Весь путь – $l$, на первом участке прошли $\upsilon t$, следовательно:
$$t_1=\frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }$$
Тогда наше первое уравнение после подстановки в него $t_1$ изменится:
$$\frac{4t}{3}+ \frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }=\tau$$
$$\frac{4t}{3}+ \frac{l}{2\upsilon }-\frac{t}{2}=\tau$$
А $\tau$, в свою очередь, $\tau=\frac{l}{\upsilon}$:
$$\frac{5t}{6}+ \frac{l}{2\upsilon }=\frac{l}{\upsilon}$$
Откуда
$$\frac{5t}{3}=\frac{l}{\upsilon}=\tau$$
$$t=\frac{3}{5}\tau$$
То есть до поломки автомобиль был в дороге 36 минут, следовательно, часы показывали 12.36, когда он сломался.
Ответ: 12.36.
Задача 8. Первую половину пути Баба-Яга летела со скоростью 20 км/ч. Затем погода испортилась, и половину всего времени движения Яга пролетела со скоростью 10 км/ч. В довершение бед у неё сломалась метла, и пришлось оставшееся время идти пешком со скоростью 5 км/ч. Найти среднюю скорость бабушки.
Пусть все время движения $2t$, а весь путь $2S$.
Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{2t}$$
Здесь нам нужно определить либо путь бабушки, либо время ее движения. То есть имеется два способа решить задачу.
Первый способ, определить путь.
$$2S=S+\upsilon_2 t+\upsilon_3(t-\frac{S}{\upsilon_1})~~~~~~~~~~~~(1)$$
Здесь $S$ – первая половина, пройденная со скоростью 20 км/ч, $t$ – половина времени, это время бабушка летела со скоростью $\upsilon_2=10$ км/ч. На последнюю часть ушло время $t-\frac{S}{\upsilon_1}$, скорость на этом участке $\upsilon_3$.
Второй способ, определить время:
$$2t=\frac{S}{\upsilon_1}+t+\frac{S-\upsilon_2 t}{\upsilon_3}}$$
Здесь $\frac{S}{\upsilon_1}$ – время прохождения первого участка, $ S-\upsilon_2 t$ – расстояние, пройденное на третьем участке.
Наша цель – получить отношение $\frac{S}{t}$.
Из (1)
$$S=\upsilon_2 t+\upsilon_3 t-\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S$$
$$S+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S=(\upsilon_2 +\upsilon_3 )t$$
$$\frac{S}{t}=\frac{\upsilon_2 +\upsilon_3}{1+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}}=\frac{(\upsilon_2 +\upsilon_3) \upsilon_1}{\upsilon_1 +\upsilon_3}=\frac{(10 +5) 20}{20+5}=12$$
Ответ: 12 км/ч.
Задача 9. Мальчику разрешили погулять по лесу сорок пять минут. В течение 20 минут он шёл с постоянной скоростью на север, затем в течение 15 минут он с той же скоростью шёл на запад. Вспомнив о времени прогулки, он поторопился вернуться назад, и побежал по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шёл до этого. Успеет ли мальчик вернуться к намеченному сроку? Ответ обосновать.

Рисунок 3
По теореме Пифагора
$$(\upsilon t_1)^2+(\upsilon t_2)^2=(2\upsilon t_3)^2$$
$$t_1^2+t_2^2=4t_3^2$$
$$t_3=\frac{\sqrt{ t_1^2+t_2^2}}{2}=\frac{\sqrt{ 225+400}}{2}=12,5$$
Так как 35 минут уже прошло (то есть на возвращение оставалось 10 минут), то мальчик опоздает на 2,5 минуты.
Ответ: не успеет.
Один комментарий
Здравствуйте! Спасибо большое за интересную подборку задач!