Подготовка к олимпиадам. Средняя скорость, 8 класс.

[latexpage]

Задача 1. Велосипедист время $t$ ехал со скоростью $\upsilon_1=20$ км/ч, а затем время $4t$ со скоростью $\upsilon_1=40$ км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}$$

Все время равно $t_p=t+4t=5t$.

Весь путь равен

$$S=\upsilon_1\cdot t+\upsilon_2\cdot 4t=20t+160t=180t$$

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{180t }{5t}=36$$

Ответ: 36 км/ч

Задача 2. Велосипедист расстояние $S$ ехал со скоростью $\upsilon_1 = 20$ км/ч, а затем расстояние $5S$ со скоростью  $\upsilon_2=60$ км/ч, определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}$$

Весь путь равен $S_p=S+5S=6S$.

Все время равно

$$t_p=t_1+t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{5S}{\upsilon_2}=S\frac{\upsilon_2+5\upsilon_1}{\upsilon_1\upsilon_2}$$

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{6S \upsilon_1\upsilon_2}{S(5\upsilon_1+\upsilon_2)}=\frac{6\cdot20\cdot60}{100+60}=45$$

Ответ: 45 км/ч

 

Задача 3. Автомобиль половину пути ехал со скоростью $\upsilon$, а вторую половину пути со скоростью, в 4 раза большей первой. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}$$

Весь путь равен $2S$ – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно $t_p=t_1+t_2$.

Определим отрезки времени $t_1$ и $t_2$:

$$t_1=\frac{S}{\upsilon}$$

$$t_2=\frac{S}{4\upsilon}$$

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{\upsilon}+\frac{S}{4\upsilon}}=1,6\upsilon$$

Ответ: $\upsilon_{sr}=1,6\upsilon$.

 

Задача 4. Первую половину пути автобус шел со скоростью в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути оказалась 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

Эта задача аналогична предыдущей.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}$$

Весь путь равен $2S$ – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно $t_p=t_1+t_2$.

Определим отрезки времени $t_1$ и $t_2$:

$$t_1=\frac{S}{8\upsilon}$$

$$t_2=\frac{S}{\upsilon}$$

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{8\upsilon}+\frac{S}{\upsilon}}=\frac{16}{9}\upsilon=16$$

Откуда $\upsilon=9$ км/ч.

Ответ: $\upsilon=9$ км/ч.

Задача 5. Автомобиль проехал расстояние $L$. Первую часть пути автомобиль ехал со скоростью в два раза меньше средней, а вторую часть пути – со скоростью в три раза больше средней. Найдите длину первой части пути.

Обозначим первую часть пути $S$. Тогда длина второй –  $L-S$.

Пусть время, затраченное на первую часть пути $t_1$:

$$t_1=\frac{S}{\frac{\upsilon_{sr}}{2}}=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}$$

Тогда на второй участок автомобиль потратит время $t_2$:

$$t_2=\frac{L-S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}$$

Тогда общее время движения

$$t_1+t_2=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}+\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}+\frac{5S}{3\upsilon_{sr}}$$

Путь $L$ можно определить через среднюю скорость

$$L=\upsilon_{sr}( t_1+t_2)$$

Тогда

$$L=\frac{L}{3}+\frac{5S}{3}$$

Или

$$\frac{5S}{3}=\frac{2L}{3}$$

$$S=0,4L$$

Ответ: $S=0,4L$.

Задача 6. Восьмиклассник ходит в школу из дома с постоянной скоростью $\upsilon_1=2$ м/с. Однажды, выйдя вовремя, чтобы прийти к началу урока,  он решает вернуться с полпути домой, так как вспомнил, что забыл дома дневник. Успеет ли мальчик в школу к началу урока, если с этого момента будет бежать со скоростью 14,4 км/ч.

Переведем для начала скорость в м/с:

$$\upsilon_2=\frac{14400}{3600}=4$$

Пусть все расстояние до школы равно $2S$. Тогда обычно парень затрачивает время

$$t_1=\frac{2S}{\upsilon_1}$$

Поскольку он возвращался с половины пути, то эту половину он прошел как обычно, затратив время $\frac{S}{\upsilon_1}$, а потом бежал эту половину назад и еще весь путь до школы, затратив время $\frac{3S}{\upsilon_2}$:

$$t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}$$

Сравним эти два времени:

$$\frac{2S}{\upsilon_1} <> \frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}$$

Очевидно, что можно сравнивать

$$\frac{S}{\upsilon_1} <> \frac{3S}{\upsilon_2}=\frac{3S}{2\upsilon_1}$$

Правая часть больше, следовательно, юноша опоздает.

Ответ: не успеет.

Задача 7. В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня. Но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы успеть в город по расписанию, водителю пришлось ехать оставшуюся часть пути со скоростью в два раза больше запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

Без поломки автомобиль проехал бы свой путь за час. Обозначим этот промежуток времени $\tau$. Пусть время $t$ автомобиль двигался до поломки. Тогда $\frac{t}{3}$ он чинился. После ремонта он двигался еще какое-то время $t_1$:

$$t+\frac{t}{3}+ t_1=\tau$$

Время $t_1$ можно записать выражением. Это оставшийся автомобилисту путь, деленный на скорость. Весь путь – $l$, на первом участке прошли $\upsilon t$, следовательно:

$$t_1=\frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }$$

Тогда наше первое уравнение после подстановки в него $t_1$ изменится:

$$\frac{4t}{3}+ \frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }=\tau$$

$$\frac{4t}{3}+ \frac{l}{2\upsilon }-\frac{t}{2}=\tau$$

А $\tau$, в свою очередь, $\tau=\frac{l}{\upsilon}$:

$$\frac{5t}{6}+ \frac{l}{2\upsilon }=\frac{l}{\upsilon}$$

Откуда

$$\frac{5t}{3}=\frac{l}{\upsilon}=\tau$$

$$t=\frac{3}{5}\tau$$

То есть до поломки автомобиль был в дороге 36 минут, следовательно, часы показывали 12.36, когда он сломался.

Ответ: 12.36.

Задача 8. Первую половину пути Баба-Яга летела со скоростью 20 км/ч. Затем погода испортилась, и половину всего времени движения Яга пролетела со скоростью 10 км/ч. В довершение бед у неё сломалась метла, и пришлось оставшееся время идти пешком со скоростью  5 км/ч. Найти среднюю скорость бабушки.

Пусть все время движения $2t$, а весь путь $2S$.

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{2t}$$

Здесь нам нужно определить либо путь бабушки, либо время ее движения. То есть имеется  два способа решить задачу.

Первый способ, определить путь.

$$2S=S+\upsilon_2 t+\upsilon_3(t-\frac{S}{\upsilon_1})~~~~~~~~~~~~(1)$$

Здесь $S$ – первая половина, пройденная со скоростью 20 км/ч, $t$ – половина времени, это время бабушка летела со скоростью $\upsilon_2=10$ км/ч. На последнюю часть ушло время $t-\frac{S}{\upsilon_1}$, скорость на этом участке $\upsilon_3$.

Второй способ, определить время:

$$2t=\frac{S}{\upsilon_1}+t+\frac{S-\upsilon_2 t}{\upsilon_3}}$$

Здесь $\frac{S}{\upsilon_1}$ – время прохождения первого участка, $ S-\upsilon_2 t$ – расстояние, пройденное на третьем участке.

Наша цель – получить отношение $\frac{S}{t}$.

Из (1)

$$S=\upsilon_2 t+\upsilon_3 t-\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S$$

$$S+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S=(\upsilon_2 +\upsilon_3 )t$$

$$\frac{S}{t}=\frac{\upsilon_2 +\upsilon_3}{1+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}}=\frac{(\upsilon_2 +\upsilon_3) \upsilon_1}{\upsilon_1 +\upsilon_3}=\frac{(10 +5) 20}{20+5}=12$$

Ответ: 12 км/ч.

Задача 9. Мальчику разрешили погулять по лесу сорок пять минут. В течение 20 минут он шёл с постоянной скоростью на север, затем в течение 15 минут он с той же скоростью шёл на запад. Вспомнив о времени прогулки, он поторопился вернуться назад, и побежал по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шёл до этого. Успеет ли мальчик вернуться к намеченному сроку? Ответ обосновать.

По теореме Пифагора

$$(\upsilon t_1)^2+(\upsilon t_2)^2=(2\upsilon t_3)^2$$

$$t_1^2+t_2^2=4t_3^2$$

$$t_3=\frac{\sqrt{ t_1^2+t_2^2}}{2}=\frac{\sqrt{ 225+400}}{2}=12,5$$

Так как 35 минут уже прошло (то есть на возвращение оставалось 10 минут), то мальчик опоздает на 2,5 минуты.

Ответ: не успеет.