Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Олимпиадная физика

Подготовка к олимпиадам. Средняя скорость, 8 класс.

Задача 1. Велосипедист время t ехал со скоростью \upsilon_1=20 км/ч, а затем время 4t со скоростью \upsilon_1=40 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}\]

Все время равно t_p=t+4t=5t.

Весь путь равен

    \[S=\upsilon_1\cdot t+\upsilon_2\cdot 4t=20t+160t=180t\]

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{180t }{5t}=36\]

Ответ: 36 км/ч

Задача 2. Велосипедист расстояние S ехал со скоростью \upsilon_1 = 20 км/ч, а затем расстояние 5S со скоростью  \upsilon_2=60 км/ч, определите среднюю скорость велосипедиста.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}\]

Весь путь равен S_p=S+5S=6S.

Все время равно

    \[t_p=t_1+t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{5S}{\upsilon_2}=S\frac{\upsilon_2+5\upsilon_1}{\upsilon_1\upsilon_2}\]

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_p}=\frac{6S \upsilon_1\upsilon_2}{S(5\upsilon_1+\upsilon_2)}=\frac{6\cdot20\cdot60}{100+60}=45\]

Ответ: 45 км/ч

 

Задача 3. Автомобиль половину пути ехал со скоростью \upsilon, а вторую половину пути со скоростью, в 4 раза большей первой. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}\]

Весь путь равен 2S – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно t_p=t_1+t_2.

Определим отрезки времени t_1 и t_2:

    \[t_1=\frac{S}{\upsilon}\]

    \[t_2=\frac{S}{4\upsilon}\]

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{\upsilon}+\frac{S}{4\upsilon}}=1,6\upsilon\]

Ответ: \upsilon_{sr}=1,6\upsilon.

 

Задача 4. Первую половину пути автобус шел со скоростью в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути оказалась 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

Эта задача аналогична предыдущей.

Средняя скорость рассчитывается как весь путь, отнесенный ко всему времени движения.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_p}\]

Весь путь равен 2S – так его удобней будет делить пополам.

Все время равно t_p=t_1+t_2.

Определим отрезки времени t_1 и t_2:

    \[t_1=\frac{S}{8\upsilon}\]

    \[t_2=\frac{S}{\upsilon}\]

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}=\frac{2S }{\frac{S}{8\upsilon}+\frac{S}{\upsilon}}=\frac{16}{9}\upsilon=16\]

Откуда \upsilon=9 км/ч.

Ответ: \upsilon=9 км/ч.

Задача 5. Автомобиль проехал расстояние L. Первую часть пути автомобиль ехал со скоростью в два раза меньше средней, а вторую часть пути – со скоростью в три раза больше средней. Найдите длину первой части пути.

Рисунок 1

Обозначим первую часть пути S. Тогда длина второй –  L-S.

Пусть время, затраченное на первую часть пути t_1:

    \[t_1=\frac{S}{\frac{\upsilon_{sr}}{2}}=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}\]

Тогда на второй участок автомобиль потратит время t_2:

    \[t_2=\frac{L-S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}\]

Тогда общее время движения

    \[t_1+t_2=\frac{2S}{\upsilon_{sr}}+\frac{L}{3\upsilon_{sr}}-\frac{S}{3\upsilon_{sr}}=\frac{L}{3\upsilon_{sr}}+\frac{5S}{3\upsilon_{sr}}\]

Путь L можно определить через среднюю скорость

    \[L=\upsilon_{sr}( t_1+t_2)\]

Тогда

    \[L=\frac{L}{3}+\frac{5S}{3}\]

Или

    \[\frac{5S}{3}=\frac{2L}{3}\]

    \[S=0,4L\]

Ответ: S=0,4L.

Задача 6. Восьмиклассник ходит в школу из дома с постоянной скоростью \upsilon_1=2 м/с. Однажды, выйдя вовремя, чтобы прийти к началу урока,  он решает вернуться с полпути домой, так как вспомнил, что забыл дома дневник. Успеет ли мальчик в школу к началу урока, если с этого момента будет бежать со скоростью 14,4 км/ч.

Переведем для начала скорость в м/с:

    \[\upsilon_2=\frac{14400}{3600}=4\]

Пусть все расстояние до школы равно 2S. Тогда обычно парень затрачивает время

    \[t_1=\frac{2S}{\upsilon_1}\]

Поскольку он возвращался с половины пути, то эту половину он прошел как обычно, затратив время \frac{S}{\upsilon_1}, а потом бежал эту половину назад и еще весь путь до школы, затратив время \frac{3S}{\upsilon_2}:

    \[t_2=\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}\]

Сравним эти два времени:

    \[\frac{2S}{\upsilon_1} <> \frac{S}{\upsilon_1}+\frac{3S}{\upsilon_2}\]

Очевидно, что можно сравнивать

    \[\frac{S}{\upsilon_1} <> \frac{3S}{\upsilon_2}=\frac{3S}{2\upsilon_1}\]

Правая часть больше, следовательно, юноша опоздает.

Ответ: не успеет.

Задача 7. В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня. Но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы успеть в город по расписанию, водителю пришлось ехать оставшуюся часть пути со скоростью в два раза больше запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

Рисунок 2

Без поломки автомобиль проехал бы свой путь за час. Обозначим этот промежуток времени \tau. Пусть время t автомобиль двигался до поломки. Тогда \frac{t}{3} он чинился. После ремонта он двигался еще какое-то время t_1:

    \[t+\frac{t}{3}+ t_1=\tau\]

Время t_1 можно записать выражением. Это оставшийся автомобилисту путь, деленный на скорость. Весь путь – l, на первом участке прошли \upsilon t, следовательно:

    \[t_1=\frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }\]

Тогда наше первое уравнение после подстановки в него t_1 изменится:

    \[\frac{4t}{3}+ \frac{l-\upsilon t }{2\upsilon }=\tau\]

    \[\frac{4t}{3}+ \frac{l}{2\upsilon }-\frac{t}{2}=\tau\]

А \tau, в свою очередь, \tau=\frac{l}{\upsilon}:

    \[\frac{5t}{6}+ \frac{l}{2\upsilon }=\frac{l}{\upsilon}\]

Откуда

    \[\frac{5t}{3}=\frac{l}{\upsilon}=\tau\]

    \[t=\frac{3}{5}\tau\]

То есть до поломки автомобиль был в дороге 36 минут, следовательно, часы показывали 12.36, когда он сломался.

Ответ: 12.36.

Задача 8. Первую половину пути Баба-Яга летела со скоростью 20 км/ч. Затем погода испортилась, и половину всего времени движения Яга пролетела со скоростью 10 км/ч. В довершение бед у неё сломалась метла, и пришлось оставшееся время идти пешком со скоростью  5 км/ч. Найти среднюю скорость бабушки.

Пусть все время движения 2t, а весь путь 2S.

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{2t}\]

Здесь нам нужно определить либо путь бабушки, либо время ее движения. То есть имеется  два способа решить задачу.

Первый способ, определить путь.

    \[2S=S+\upsilon_2 t+\upsilon_3(t-\frac{S}{\upsilon_1})~~~~~~~~~~~~(1)\]

Здесь S – первая половина, пройденная со скоростью 20 км/ч, t – половина времени, это время бабушка летела со скоростью \upsilon_2=10 км/ч. На последнюю часть ушло время t-\frac{S}{\upsilon_1}, скорость на этом участке \upsilon_3.

Второй способ, определить время:

    \[2t=\frac{S}{\upsilon_1}+t+\frac{S-\upsilon_2 t}{\upsilon_3}}\]

Здесь \frac{S}{\upsilon_1} – время прохождения первого участка, S-\upsilon_2 t – расстояние, пройденное на третьем участке.

Наша цель – получить отношение \frac{S}{t}.

Из (1)

    \[S=\upsilon_2 t+\upsilon_3 t-\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S\]

    \[S+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}S=(\upsilon_2 +\upsilon_3 )t\]

    \[\frac{S}{t}=\frac{\upsilon_2 +\upsilon_3}{1+\frac{\upsilon_3}{\upsilon_1}}=\frac{(\upsilon_2 +\upsilon_3) \upsilon_1}{\upsilon_1 +\upsilon_3}=\frac{(10 +5) 20}{20+5}=12\]

Ответ: 12 км/ч.

Задача 9. Мальчику разрешили погулять по лесу сорок пять минут. В течение 20 минут он шёл с постоянной скоростью на север, затем в течение 15 минут он с той же скоростью шёл на запад. Вспомнив о времени прогулки, он поторопился вернуться назад, и побежал по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шёл до этого. Успеет ли мальчик вернуться к намеченному сроку? Ответ обосновать.

Рисунок 3

По теореме Пифагора

    \[(\upsilon t_1)^2+(\upsilon t_2)^2=(2\upsilon t_3)^2\]

    \[t_1^2+t_2^2=4t_3^2\]

    \[t_3=\frac{\sqrt{ t_1^2+t_2^2}}{2}=\frac{\sqrt{ 225+400}}{2}=12,5\]

Так как 35 минут уже прошло (то есть на возвращение оставалось 10 минут), то мальчик опоздает на 2,5 минуты.

Ответ: не успеет.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *