Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

С помощью этой статьи мы научимся определять сопротивления бесконечных цепочек сопротивлений, вспомним бородатые анекдоты от математиков, освоим метод подсчета сопротивлений сложных схем с применением “плохой” и “хорошей” симметрии.

Задача 1. На рисунке показана схема электрической цепи. Через какой резистор течёт наименьший ток? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

Рисунок 1

Там, где в цепи присутствует параллельное соединение проводников, ток разветвляется, а значит, токи параллельных ветвей меньше, чем ток в неразветвленной части цепи. Из этих двух токов меньше будет тот, что потечет через большее сопротивление, следовательно, через резистор №3.

Ответ: 3.

Задача 2. Найдите общее сопротивление участка цепи, состоящего из резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке. $R=1$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 2

Определяем сопротивление параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R}+\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}$

Откуда

$R_{\parallel}=R$

Общее сопротивление цепи равно $R_{\parallel}+3R=4R$ .

Ответ: $4R$ .

Задача 3. Найдите общее сопротивление бесконечной цепочки, схема которой изображена на рисунке, если $R=100$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 3

При расчете таких цепей важно 1) выделить постоянно повторяющийся рефрен (группу элементов) и 2) помнить, что цепь бесконечна, поэтому удаление одного фрагмента ничего в целом не поменяет.

Тогда у нас повторяется фрагмент

Рисунок 4

Обозначим сопротивление всей цепи, следующей за этим фрагментом, $R_x$ .

Рисунок 5

Тогда полное сопротивление цепи можно записать

$R_{poln}=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$

Но мы же помним, что полное сопротивление цепи не изменится, если малый фрагмент удалить. Поэтому

$R_x=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$

Тогда

$R_x=3R+\frac{RR_x}{R+R_x}$

$(R_x-3R)(R+R_x)=RR_x$

${R_x}^2-3RR_x- 3R^2=0$

$R=\frac{3R \pm\sqrt{9R^2+4\cdot3R^2}}{2}=1,5R\pm\frac{\sqrt{21}}{2}R$

Возьмем положительный корень:

$R=150+50\sqrt{21}=379$

Ответ: 379 Ом.

Задача 4. Определите полное сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи, параметры которой указаны на рисунке. $r=2$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 6

По формуле для резисторов, соединенных параллельно, получаем:

$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{4r}+\ldots=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \right)$

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей прогрессии. Вспоминаем анекдот про бармена, к которому подходили математики и брали : первый – кружку пива, второй – полкружки, третий – четверть, и т.д.… «А, не морочьте мне голову!» – сказал им бармен, -«Я знаю, вам две на всех». Так и у нас:

$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{2}{r}$

$R_{\parallel}=\frac{r}{2}=1$

Ответ: 1 Ом.

Задача 5. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев $R=8$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 7

Расставим токи в цепи, применяя «хорошую» и «плохую» симметрию цепи: сначала обозначим через $I$ токи в верхних сегментах (рыжим). В центральных проводах ток, опять же, в силу симметрии схемы, не потечет.

Рисунок 8

Тогда можно сказать, что в параллельной ветви потекут такие же токи $I$ – помечены синим.

Рисунок 9

Следовательно, можно сказать, что помеченные зеленым токи обязаны быть величиной $2I$ .

Рисунок 10

Теперь можно найти падение напряжения от входа до центра: $U=2I\cdot R+IR=3IR$ . Таким образом, в ветке, соединяющей вход и центр, ток должен быть таким, чтобы падение напряжения тоже было $3IR$ , то есть $3I$ . Тогда в нижних ветках в силу симметрии тоже текут токи $3I$ .