Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

[latexpage]

С помощью этой статьи мы научимся определять сопротивления бесконечных цепочек сопротивлений, вспомним бородатые анекдоты от математиков, освоим метод подсчета сопротивлений сложных схем с применением “плохой” и “хорошей” симметрии.

Задача 1. На рисунке показана схема электрической цепи. Через какой резистор течёт наименьший ток? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

Рисунок 1

Там, где в цепи присутствует параллельное соединение проводников, ток разветвляется, а значит, токи параллельных ветвей меньше, чем ток в неразветвленной части цепи. Из этих двух токов меньше будет тот, что потечет через большее сопротивление, следовательно, через резистор №3.

Ответ: 3.

Задача 2. Найдите общее сопротивление участка цепи, состоящего из резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке.  $R=1$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 2

Определяем сопротивление параллельного соединения:

$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R}+\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}$$

Откуда

$$R_{\parallel}=R$$

Общее сопротивление цепи равно $ R_{\parallel}+3R=4R$.

Ответ: $4R$.

Задача 3. Найдите общее сопротивление бесконечной цепочки, схема которой изображена на рисунке, если  $R=100$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 3

При расчете таких цепей важно 1) выделить постоянно повторяющийся рефрен (группу элементов) и 2) помнить, что цепь бесконечна, поэтому удаление одного фрагмента ничего в целом не поменяет.

Тогда у нас повторяется фрагмент

Рисунок 4

Обозначим сопротивление всей цепи, следующей за этим фрагментом, $R_x$.

Рисунок 5

Тогда полное сопротивление цепи можно записать

$$R_{poln}=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$$

Но мы же помним, что полное сопротивление цепи не изменится, если малый фрагмент удалить. Поэтому

$$R_x=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$$

Тогда

$$R_x=3R+\frac{RR_x}{R+R_x}$$

$$(R_x-3R)(R+R_x)=RR_x$$

$${R_x}^2-3RR_x- 3R^2=0$$

$$R=\frac{3R \pm\sqrt{9R^2+4\cdot3R^2}}{2}=1,5R\pm\frac{\sqrt{21}}{2}R$$

Возьмем положительный корень:

$$R=150+50\sqrt{21}=379$$

Ответ: 379 Ом.

Задача 4. Определите полное сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи, параметры которой указаны на рисунке.  $r=2$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 6

По формуле для резисторов, соединенных параллельно, получаем:

$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{4r}+\ldots=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \right)$$

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей прогрессии. Вспоминаем анекдот про бармена, к которому подходили математики и брали : первый – кружку пива, второй – полкружки, третий – четверть, и т.д.… «А, не морочьте мне голову!» – сказал им бармен, -«Я знаю, вам две на всех». Так и у нас:

$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{2}{r}$$

$$ R_{\parallel}=\frac{r}{2}=1$$

Ответ: 1 Ом.

Задача 5. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев  $R=8$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 7

Расставим токи в цепи, применяя «хорошую» и «плохую» симметрию цепи: сначала обозначим через $I$ токи в верхних сегментах (рыжим). В центральных проводах ток, опять же, в силу симметрии схемы, не потечет.

Рисунок 8

Тогда можно сказать, что в параллельной ветви потекут такие же токи $I$ – помечены синим.

Рисунок 9

Следовательно, можно сказать, что помеченные зеленым токи обязаны быть величиной $2I$.

Рисунок 10

Теперь можно найти падение напряжения от входа до центра: $U=2I\cdot R+IR=3IR$. Таким образом, в ветке, соединяющей вход и центр, ток должен быть таким, чтобы падение напряжения тоже было $3IR$, то есть $3I$. Тогда в нижних ветках в силу симметрии тоже текут токи $3I$.

Рисунок 11

Обозначим выходной ток: $8I$ (просто складываем все токи, втекающие в узел, по первому закону Кирхгофа).

Рисунок 12

Следовательно, сопротивление может быть найдено как падение напряжения, деленное на ток. Падение напряжения мы определим по нижним ветвям:

$$R=\frac{U}{9I}=\frac{6IR}{8I}=\frac{3R}{4}=0,75\cdot8=6$$

Ответ: 6 Ом.

Задача 6. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев  $R=1$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 13

Аналогично предыдущей задаче, расставим токи так, чтобы выполнялась симметрия и падения напряжений в параллельных ветвях были бы равны:

Рисунок 14

Теперь пройдем по центральным проволочкам (ток в них обозначен зеленым), чтобы посчитать падение напряжения:

$$U=2IR\cdot 2=4IR$$

Выходной ток получаем сложением втекающих в этот узел токов: $5I$.

Таким образом, общее сопротивление сетки

$$R=\frac{U}{5I}=\frac{4IR}{5I}=0,8R=0,8$$

Ответ: 0,8 Ом.