С помощью этой статьи мы научимся определять сопротивления бесконечных цепочек сопротивлений, вспомним бородатые анекдоты от математиков, освоим метод подсчета сопротивлений сложных схем с применением “плохой” и “хорошей” симметрии.
Задача 1. На рисунке показана схема электрической цепи. Через какой резистор течёт наименьший ток? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

Рисунок 1
Там, где в цепи присутствует параллельное соединение проводников, ток разветвляется, а значит, токи параллельных ветвей меньше, чем ток в неразветвленной части цепи. Из этих двух токов меньше будет тот, что потечет через большее сопротивление, следовательно, через резистор №3.
Ответ: 3.
Задача 2. Найдите общее сопротивление участка цепи, состоящего из резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 2
Определяем сопротивление параллельного соединения:
Откуда
Общее сопротивление цепи равно .
Ответ: .
Задача 3. Найдите общее сопротивление бесконечной цепочки, схема которой изображена на рисунке, если Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 3
При расчете таких цепей важно 1) выделить постоянно повторяющийся рефрен (группу элементов) и 2) помнить, что цепь бесконечна, поэтому удаление одного фрагмента ничего в целом не поменяет.
Тогда у нас повторяется фрагмент

Рисунок 4
Обозначим сопротивление всей цепи, следующей за этим фрагментом, .

Рисунок 5
Тогда полное сопротивление цепи можно записать
Но мы же помним, что полное сопротивление цепи не изменится, если малый фрагмент удалить. Поэтому
Тогда
Возьмем положительный корень:
Ответ: 379 Ом.
Задача 4. Определите полное сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи, параметры которой указаны на рисунке. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 6
По формуле для резисторов, соединенных параллельно, получаем:
В скобках имеем сумму бесконечно убывающей прогрессии. Вспоминаем анекдот про бармена, к которому подходили математики и брали : первый – кружку пива, второй – полкружки, третий – четверть, и т.д.… «А, не морочьте мне голову!» – сказал им бармен, -«Я знаю, вам две на всех». Так и у нас:
Ответ: 1 Ом.
Задача 5. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 7
Расставим токи в цепи, применяя «хорошую» и «плохую» симметрию цепи: сначала обозначим через токи в верхних сегментах (рыжим). В центральных проводах ток, опять же, в силу симметрии схемы, не потечет.

Рисунок 8
Тогда можно сказать, что в параллельной ветви потекут такие же токи – помечены синим.

Рисунок 9
Следовательно, можно сказать, что помеченные зеленым токи обязаны быть величиной .

Рисунок 10
Теперь можно найти падение напряжения от входа до центра: . Таким образом, в ветке, соединяющей вход и центр, ток должен быть таким, чтобы падение напряжения тоже было
, то есть
. Тогда в нижних ветках в силу симметрии тоже текут токи
.

Рисунок 11
Обозначим выходной ток: (просто складываем все токи, втекающие в узел, по первому закону Кирхгофа).

Рисунок 12
Следовательно, сопротивление может быть найдено как падение напряжения, деленное на ток. Падение напряжения мы определим по нижним ветвям:
Ответ: 6 Ом.
Задача 6. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 13
Аналогично предыдущей задаче, расставим токи так, чтобы выполнялась симметрия и падения напряжений в параллельных ветвях были бы равны:

Рисунок 14
Теперь пройдем по центральным проволочкам (ток в них обозначен зеленым), чтобы посчитать падение напряжения:
Выходной ток получаем сложением втекающих в этот узел токов: .
Таким образом, общее сопротивление сетки
Ответ: 0,8 Ом.
Добрый день. Автором этих задач я не являюсь, поэтому не считаю себя вправе менять...
Здравствуйте. Укажите пожалуйста в условии 6-ой задачи, что в равнодействующую...
Я просто потрясен объемом материала.Трудно представить,что все это сделано одним...
Спасибо, Азат. Суть решения от этого не изменилась, ответ...
В задаче №3 в решении арифметическая ошибка при подсчете t2. Написано у вас что...