[latexpage]
С помощью этой статьи мы научимся определять сопротивления бесконечных цепочек сопротивлений, вспомним бородатые анекдоты от математиков, освоим метод подсчета сопротивлений сложных схем с применением “плохой” и “хорошей” симметрии.
Задача 1. На рисунке показана схема электрической цепи. Через какой резистор течёт наименьший ток? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

Рисунок 1
Там, где в цепи присутствует параллельное соединение проводников, ток разветвляется, а значит, токи параллельных ветвей меньше, чем ток в неразветвленной части цепи. Из этих двух токов меньше будет тот, что потечет через большее сопротивление, следовательно, через резистор №3.
Ответ: 3.
Задача 2. Найдите общее сопротивление участка цепи, состоящего из резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке. $R=1$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 2
Определяем сопротивление параллельного соединения:
$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R}+\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}$$
Откуда
$$R_{\parallel}=R$$
Общее сопротивление цепи равно $ R_{\parallel}+3R=4R$.
Ответ: $4R$.
Задача 3. Найдите общее сопротивление бесконечной цепочки, схема которой изображена на рисунке, если $R=100$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 3
При расчете таких цепей важно 1) выделить постоянно повторяющийся рефрен (группу элементов) и 2) помнить, что цепь бесконечна, поэтому удаление одного фрагмента ничего в целом не поменяет.
Тогда у нас повторяется фрагмент

Рисунок 4
Обозначим сопротивление всей цепи, следующей за этим фрагментом, $R_x$.

Рисунок 5
Тогда полное сопротивление цепи можно записать
$$R_{poln}=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$$
Но мы же помним, что полное сопротивление цепи не изменится, если малый фрагмент удалить. Поэтому
$$R_x=R+\frac{RR_x}{R+R_x}+2R$$
Тогда
$$R_x=3R+\frac{RR_x}{R+R_x}$$
$$(R_x-3R)(R+R_x)=RR_x$$
$${R_x}^2-3RR_x- 3R^2=0$$
$$R=\frac{3R \pm\sqrt{9R^2+4\cdot3R^2}}{2}=1,5R\pm\frac{\sqrt{21}}{2}R$$
Возьмем положительный корень:
$$R=150+50\sqrt{21}=379$$
Ответ: 379 Ом.
Задача 4. Определите полное сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи, параметры которой указаны на рисунке. $r=2$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 6
По формуле для резисторов, соединенных параллельно, получаем:
$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{4r}+\ldots=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \right)$$
В скобках имеем сумму бесконечно убывающей прогрессии. Вспоминаем анекдот про бармена, к которому подходили математики и брали : первый – кружку пива, второй – полкружки, третий – четверть, и т.д.… «А, не морочьте мне голову!» – сказал им бармен, -«Я знаю, вам две на всех». Так и у нас:
$$\frac{1}{R_{\parallel}}=\frac{2}{r}$$
$$ R_{\parallel}=\frac{r}{2}=1$$
Ответ: 1 Ом.
Задача 5. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев $R=8$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 7
Расставим токи в цепи, применяя «хорошую» и «плохую» симметрию цепи: сначала обозначим через $I$ токи в верхних сегментах (рыжим). В центральных проводах ток, опять же, в силу симметрии схемы, не потечет.

Рисунок 8
Тогда можно сказать, что в параллельной ветви потекут такие же токи $I$ – помечены синим.

Рисунок 9
Следовательно, можно сказать, что помеченные зеленым токи обязаны быть величиной $2I$.

Рисунок 10
Теперь можно найти падение напряжения от входа до центра: $U=2I\cdot R+IR=3IR$. Таким образом, в ветке, соединяющей вход и центр, ток должен быть таким, чтобы падение напряжения тоже было $3IR$, то есть $3I$. Тогда в нижних ветках в силу симметрии тоже текут токи $3I$.

Рисунок 11
Обозначим выходной ток: $8I$ (просто складываем все токи, втекающие в узел, по первому закону Кирхгофа).

Рисунок 12
Следовательно, сопротивление может быть найдено как падение напряжения, деленное на ток. Падение напряжения мы определим по нижним ветвям:
$$R=\frac{U}{9I}=\frac{6IR}{8I}=\frac{3R}{4}=0,75\cdot8=6$$
Ответ: 6 Ом.
Задача 6. Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев $R=1$ Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

Рисунок 13
Аналогично предыдущей задаче, расставим токи так, чтобы выполнялась симметрия и падения напряжений в параллельных ветвях были бы равны:

Рисунок 14
Теперь пройдем по центральным проволочкам (ток в них обозначен зеленым), чтобы посчитать падение напряжения:
$$U=2IR\cdot 2=4IR$$
Выходной ток получаем сложением втекающих в этот узел токов: $5I$.
Таким образом, общее сопротивление сетки
$$R=\frac{U}{5I}=\frac{4IR}{5I}=0,8R=0,8$$
Ответ: 0,8 Ом.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...