Разделы сайта

Категория:

...

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

07.08.2018 06:27:24 | Автор: Анна

С помощью этой статьи мы научимся определять сопротивления бесконечных цепочек сопротивлений, вспомним бородатые анекдоты от математиков, освоим метод подсчета сопротивлений сложных схем с применением "плохой" и "хорошей" симметрии.

Задача 1.

На рисунке показана схема электрической цепи. Через какой резистор течёт наименьший ток? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.


Рисунок 1

Там, где в цепи присутствует параллельное соединение проводников, ток разветвляется, а значит, токи параллельных ветвей меньше, чем ток в неразветвленной части цепи. Из этих двух токов меньше будет тот, что потечет через большее сопротивление, следовательно, через резистор №3.

Ответ: 3.

Задача 2.

Найдите общее сопротивление участка цепи, состоящего из резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке.  Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.


Рисунок 2

Определяем сопротивление параллельного соединения:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Откуда

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Общее сопротивление цепи равно Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..

Ответ: Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..

Задача 3.

Найдите общее сопротивление бесконечной цепочки, схема которой изображена на рисунке, если  Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.


Рисунок 3

При расчете таких цепей важно 1) выделить постоянно повторяющийся рефрен (группу элементов) и 2) помнить, что цепь бесконечна, поэтому удаление одного фрагмента ничего в целом не поменяет.

Тогда у нас повторяется фрагмент


Рисунок 4

Обозначим сопротивление всей цепи, следующей за этим фрагментом, Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..


Рисунок 5

Тогда полное сопротивление цепи можно записать

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Но мы же помним, что полное сопротивление цепи не изменится, если малый фрагмент удалить. Поэтому

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Тогда

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Возьмем положительный корень:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Ответ: 379 Ом.

Задача 4.

Определите полное сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи, параметры которой указаны на рисунке.  Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.


Рисунок 6

По формуле для резисторов, соединенных параллельно, получаем:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей прогрессии. Вспоминаем анекдот про бармена, к которому подходили математики и брали : первый – кружку пива, второй – полкружки, третий – четверть, и т.д.… «А, не морочьте мне голову!» - сказал им бармен, -«Я знаю, вам две на всех». Так и у нас:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Ответ: 1 Ом.

 

Задача 5.

Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев  Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.


Рисунок 7

Расставим токи в цепи, применяя «хорошую» и «плохую» симметрию цепи: сначала обозначим через Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. токи в верхних сегментах (рыжим). В центральных проводах ток, опять же, в силу симметрии схемы, не потечет.


Рисунок 8

Тогда можно сказать, что в параллельной ветви потекут такие же токи Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. - помечены синим.


Рисунок 9

Следовательно, можно сказать, что помеченные зеленым токи обязаны быть величиной Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..


Рисунок 10

Теперь можно найти падение напряжения от входа до центра: Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.. Таким образом, в ветке, соединяющей вход и центр, ток должен быть таким, чтобы падение напряжения тоже было Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс., то есть Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.. Тогда в нижних ветках в силу симметрии тоже текут токи Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..


Рисунок 11

Обозначим выходной ток: Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. (просто складываем все токи, втекающие в узел, по первому закону Кирхгофа).


Рисунок 12

Следовательно, сопротивление может быть найдено как падение напряжения, деленное на ток. Падение напряжения мы определим по нижним ветвям:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Ответ: 6 Ом.

Задача 6.

Определить общее сопротивление проволочной сетки, если сопротивление каждого из звеньев  Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс. Ом. Ответ выразить в Ом, округлив до целых.

 


Рисунок 13

Аналогично предыдущей задаче, расставим токи так, чтобы выполнялась симметрия и падения напряжений в параллельных ветвях были бы равны:


Рисунок 14

Теперь пройдем по центральным проволочкам (ток в них обозначен зеленым), чтобы посчитать падение напряжения:

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Выходной ток получаем сложением втекающих в этот узел токов: Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс..

Таким образом, общее сопротивление сетки

Подготовка к олимпиадам: смешанное соединение проводников, 8 класс.

Ответ: 0,8 Ом.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *