Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила упругости

Подготовка к олимпиадам: сила упругости, 7 класс

На олимпиадах для 7 класса встречаются задачи на силу упругости, где системы, кроме пружин, могут включать в себя разные блоки (и подвижные, и нет). Да и сами пружины соединяются между собой по-разному.

Задача 1. Если пружину растягивать силой F_1=30 Н, её длина будет равна L_1=28 см, а если сжимать силой F_2=30 Н, то её длина будет равна L_2=22 см. Найдите длину пружины L в недеформированном состоянии и коэффициент k жесткости пружины.

Запишем силу упругости для обоих случаев:

    \[F_1=k(l_1-l_0)\]

    \[F_2=k(l_0-l_2)\]

Откуда

    \[l_1-l_0= l_0-l_2\]

    \[l_0=\frac{l_1+l_2}{2}=\frac{28+22}{2}=25\]

Тогда жесткость пружины равна

    \[k=\frac{F_1}{l_1-l_0}=\frac{30}{(28-25)\cdot10^{-2}}=1000\]

Ответ: 25 см, 1000 Н/м.

 

Задача 2. Пружины, жесткость каждой из которых k=10 Н/м, соединены, как показано на рисунке. С какой силой F нужно растягивать систему, чтобы точка приложения силы опустилась на \Delta x=10 см?

К задаче 2.

Под действием силы F нижняя и верхняя пружины растянутся на

    \[\Delta x_1=\frac{F}{k}\]

Средние две пружины соединены параллельно, каждая из них растягивается силой \frac{F}{2 }, поэтому такая система имеет вдвое большую жесткость:

    \[\Delta x_2=\frac{F}{2k}\]

И растянется на \frac{\Delta x_1}{2}:

    \[\Delta x_2=\frac{\Delta x_1}{2}\]

Поэтому вся система полностью растянется на 2,5\Delta x_1. Следовательно,

    \[2,5\Delta x_1=\Delta x\]

    \[\Delta x_1=\frac{=\Delta x }{2,5}=\frac{10}{2,5}=4\]

Тогда сила

    \[F=k\Delta x_1=10\cdot0,04=0,4\]

Ответ: 0,4 Н.

Задача 3. Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу F. На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

К задаче 3.

Пружину, как видно из расставленных на рисунке сил, растягивает сила 2F. Растяжение пружины равно

    \[\Delta x_1=\frac{2F}{k}\]

Если блок опустится на \Delta x_1, то справа высвободится кусок нити такой же длины  (показано синим). Но и слева тоже высвободится аналогичный кусок. Тогда конец нити опускается на

    \[\Delta x= 2\Delta x_1=2\frac{2F}{k}=\frac{4F}{k}\]

Но, следовательно, жесткость системы

    \[k'=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{4}\]

Жесткость всей системы меньше жесткости пружины вчетверо.

Ответ: k'=\frac{k}{4}.

Задача 4. Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу F. На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

Задача та же, но рисунок другой:

К задаче 4.

Нижнюю пружину растягивает сила F, а верхнюю – 2F. Если нижняя растянется на \Delta x_1, то верхняя – на 2\Delta x_1, таким образом высвобождая по куску нити справа и слева длиной 2\Delta x_1. Следовательно, точка A опустится на 4\Delta x_1 за счет высвободившейся нити и на \Delta x_1 – за счет растяжения нижней пружины. Всего на 5\Delta x_1. Тогда

    \[\Delta x= 5\Delta x_1=\frac{5F}{k}\]

И, следовательно, жесткость системы

    \[k'=\frac{F}{\Delta x }=\frac{k}{5}\]

Ответ: k'=\frac{k}{5}.

 

Задача 5. В спортивном зале есть тренажер, состоящий из двух пружин, подвешенных к потолку. Жесткости пружин равны k_1 и k_2, длина пружин одинаковая и равна L=40 см. Если потянуть за пружину в точке А с силой F_1=360 Н вниз, то нижняя пружина коснется пола. Если потянуть за точку В с силой F_2=240 Н вниз, то эта точка коснется пола. Определите жесткости пружин, если известно, что высота потолка в зале H=2 м.

К задаче 5.

Когда будем тянуть за точку A, то растягивать мы будем только верхнюю пружину, и растянем ее так, что ее длина достигнет 1м 60см, и тогда нерастянутая нижняя пружина коснется пола.  То есть удлинение верхней составит 120 см.

    \[L+\Delta l_1=H-L\]

    \[\Delta l_1=H-2L=1,2\]

    \[k_1=\frac{F_1}{\Delta l_1}=\frac{360}{1,2}=300\]

Когда будем тянуть за точку B, будут растягиваться обе пружины.

    \[\frac{F_2}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}=H-2L\]

    \[\frac{240}{300}+\frac{240}{k_2}=1,2\]

Откуда

    \[k_2=\frac{240}{0,4}=600\]

Ответ: k_1=300 Н/м, k_2=600 Н/м.

Задача 6. Какую силу надо приложить к невесомому блоку, подвешенному на двух пружинах, имеющих коэффициенты жесткости k=10 Н/м и 2k чтобы сместить его вниз на расстояние x=5 см?

К задаче 6.

Здесь надо обратить внимание на то, что пружины имеют разную жесткость, и поэтому под действием одной и той же силы растянутся по-разному. Так как блок подвижный, то на обе пружины действуют силы \frac{F}{2}:

    \[\Delta x_1=\frac{F}{2k_1}=\frac{F}{2k}\]

    \[\Delta x_2=\frac{F}{2k_2}=\frac{F}{4k}=\frac{\Delta x_1}{2}\]

Если блок опускается на x, то каждая из точек нитей опускается на x, поэтому

    \[2x=\Delta x_1+\Delta x_2\]

    \[x=\frac{\Delta x_1+\Delta x_2}{2}=\frac{F}{4k}+\frac{F}{8k}=\frac{3F}{8k}\]

Тогда

    \[F=\frac{8kx}{3}=\frac{8\cdot10\cdot0,05}{3}=\frac{4}{3}\]

Ответ: F=\frac{4}{3} Н.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *