[latexpage]
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…
Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Рисунок 1
Сначала запишем условие несжимаемости:
$$h_1 S=h_2\cdot 4S$$
$$h_1 =4h_2$$
На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:
$$p_0+\rho_k g h=p_0+\rho g \cdot 5h_2$$
Тогда
$$h_2=\frac{\rho_k h}{5\rho}=\frac{800\cdot 0,2}{5000}=0,032$$
$$h_1=4h_2=0,128$$
Ответ: 3,2 см, 12,8 см.
Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой $H_1=20$ см, а в правый высотой $H_2=25$ см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?

Рисунок 2

Рисунок 3
Условие несжимаемости:
$$x_1S+x_2S=x_3S$$
Откуда
$$x_1+x_2=x_3$$
Теперь условие равновесия:
$$\rho_k g h_1=\rho g (x_3+x_1)$$
$$\rho_k g h_2=\rho g (x_3+x_2)$$
Откуда
$$x_1=\frac{\rho_k h_1}{\rho}-x_3$$
$$x_2=\frac{\rho_k h_2}{\rho}-x_3$$
Тогда можно подставить все в первое уравнение:
$$\frac{\rho_k h_1}{\rho}-x_3+\frac{\rho_k h_2}{\rho}-x_3=x_3$$
Или
$$\frac{\rho_k (h_1+h_2)}{\rho}=3x_3$$
$$x_3=\frac{\rho_k (h_1+h_2)}{3\rho}=\frac{800 (0,25+0,2)}{3000}=0,12$$
Ответ: 12 см.
Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?
Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа через силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:

Рисунок 4
Сила, действующая на дно, с одной стороны:
$$m_1g=F_1$$
Где $m_1$ – масса всего содержимого стакана (воды и льда).
С другой стороны,
$$F_1=(p_0+\rho g h_1)S$$
Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:
$$F_2=(p_0+\rho g h_2)S$$
Масса содержимого не изменилась, поэтому
$$F_1=F_2$$
$$(p_0+\rho g h_1)S=(p_0+\rho g h_2)S$$
И
$$h_1=h_2$$
Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.
Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?
Запишем силу на дно в первом случае:
$$m_1g=F_1$$
$$F_1=\rho g h_1 S$$
Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой
$$N=m_d g-F_a$$
Для второго случая (масса содержимого не изменилась)
$$m_1g=F_2$$
Но изменилась сила, действующая на дно:
$$F_2=\rho g h_2S+N$$
Тогда
$$\rho g h_1 S=\rho g h_2S+N$$
$$h_1-h_2=\frac{N}{\rho g S}$$
Так как правая часть, очевидно, положительное число, то $ h_1-h_2>0$, то есть уровень понизился.
Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?
Записываем силу на дно в первом случае:
$$mg=F_1$$
$$F_1=\rho_1 g h_1 S$$
Во втором случае
$$mg=F_2$$
$$F_2=\rho_2 g h_2 S$$
Масса содержимого не изменилась, следовательно,
$$F_1=F_2$$
$$\rho_1 g h_1 S=\rho_2 g h_2 S$$
Или
$$\frac{h_2}{h_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}$$
И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.
Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на $\Delta F = 1$ Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см$^2$?
Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:
$$\Delta F =F_A$$
Записываем силы на дно сначала:
$$F_1=mg$$
$$F_1=\rho g h_1 S$$
После погружения гири сила давления на дно изменилась:
$$F_2=\Delta F +mg$$
$$F_2=\rho g h_2 S$$
Тогда
$$\Delta F +\rho g h_1 S=\rho g h_2 S$$
Откуда
$$\Delta F =\rho g (h_2-h_1)S$$
$$\Delta h=\frac{\Delta F }{\rho g S }=\frac{1}{1000\cdot10\cdot25\cdot10^{-4}}=0,04$$
Ответ: на 4 см.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...