Подготовка к олимпиадам: сила Архимеда и сообщающиеся сосуды, 8 класс

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…

Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Рисунок 1

Сначала запишем условие несжимаемости:

$$h_1 S=h_2\cdot 4S$$

$$h_1 =4h_2$$

На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:

$$p_0+\rho_k g h=p_0+\rho g \cdot 5h_2$$

Тогда

$$h_2=\frac{\rho_k h}{5\rho}=\frac{800\cdot 0,2}{5000}=0,032$$

$$h_1=4h_2=0,128$$

Ответ: 3,2 см, 12,8 см.

Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой $H_1=20$ см, а в правый высотой $H_2=25$ см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?

Рисунок 2

Рисунок 3

Условие несжимаемости:

$$x_1S+x_2S=x_3S$$

Откуда

$$x_1+x_2=x_3$$

Теперь условие равновесия:

$$\rho_k g h_1=\rho g (x_3+x_1)$$

$$\rho_k g h_2=\rho g (x_3+x_2)$$

Откуда

$$x_1=\frac{\rho_k  h_1}{\rho}-x_3$$

$$x_2=\frac{\rho_k  h_2}{\rho}-x_3$$

Тогда можно подставить все в первое уравнение:

$$\frac{\rho_k  h_1}{\rho}-x_3+\frac{\rho_k  h_2}{\rho}-x_3=x_3$$

Или

$$\frac{\rho_k  (h_1+h_2)}{\rho}=3x_3$$

$$x_3=\frac{\rho_k  (h_1+h_2)}{3\rho}=\frac{800 (0,25+0,2)}{3000}=0,12$$

Ответ: 12 см.

Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?

Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа через силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:

Рисунок 4

Сила, действующая на дно, с одной стороны:

$$m_1g=F_1$$

Где $m_1$ – масса всего содержимого стакана (воды и льда).

С другой стороны,

$$F_1=(p_0+\rho g h_1)S$$

Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:

$$F_2=(p_0+\rho g h_2)S$$

Масса содержимого не изменилась, поэтому

$$F_1=F_2$$

$$(p_0+\rho g h_1)S=(p_0+\rho g h_2)S$$

И

$$h_1=h_2$$

Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.

Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?

Запишем силу на дно в первом случае:

$$m_1g=F_1$$

$$F_1=\rho g h_1 S$$

Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой

$$N=m_d g-F_a$$

Для второго случая (масса содержимого не изменилась)

$$m_1g=F_2$$

Но изменилась сила, действующая на дно:

$$F_2=\rho g h_2S+N$$

Тогда

$$\rho g h_1 S=\rho g h_2S+N$$

$$h_1-h_2=\frac{N}{\rho g S}$$

Так как правая часть, очевидно, положительное число, то $ h_1-h_2>0$, то есть уровень понизился.

Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?

Записываем силу на дно в первом случае:

$$mg=F_1$$

$$F_1=\rho_1 g h_1 S$$

Во втором случае

$$mg=F_2$$

$$F_2=\rho_2 g h_2 S$$

Масса содержимого не изменилась, следовательно,

$$F_1=F_2$$

$$\rho_1 g h_1 S=\rho_2 g h_2 S$$

Или

$$\frac{h_2}{h_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}$$

И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.

Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на $\Delta F = 1$ Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см$^2$?

Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:

$$\Delta F =F_A$$

Записываем силы на дно сначала:

$$F_1=mg$$

$$F_1=\rho g h_1 S$$

После погружения гири сила давления на дно изменилась:

$$F_2=\Delta F +mg$$

$$F_2=\rho g h_2 S$$

Тогда

$$\Delta F  +\rho g h_1 S=\rho g h_2 S$$

Откуда

$$\Delta F =\rho g (h_2-h_1)S$$

$$\Delta h=\frac{\Delta F }{\rho g S }=\frac{1}{1000\cdot10\cdot25\cdot10^{-4}}=0,04$$

Ответ: на 4 см.