Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Архимеда, Сообщающиеся сосуды

Подготовка к олимпиадам: сила Архимеда и сообщающиеся сосуды, 8 класс

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…

 

Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Рисунок 1

Сначала запишем условие несжимаемости:

    \[h_1 S=h_2\cdot 4S\]

    \[h_1 =4h_2\]

На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:

    \[p_0+\rho_k g h=p_0+\rho g \cdot 5h_2\]

Тогда

    \[h_2=\frac{\rho_k h}{5\rho}=\frac{800\cdot 0,2}{5000}=0,032\]

    \[h_1=4h_2=0,128\]

Ответ: 3,2 см, 12,8 см.

 

Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой H_1=20 см, а в правый высотой H_2=25 см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?

Рисунок 2

Условие несжимаемости:

    \[x_1S+x_2S=x_3S\]

Откуда

    \[x_1+x_2=x_3\]

Теперь условие равновесия:

    \[\rho_k g h_1=\rho g (x_3+x_1)\]

    \[\rho_k g h_2=\rho g (x_3+x_2)\]

Откуда

    \[x_1=\frac{\rho_k  h_1}{\rho}-x_3\]

    \[x_2=\frac{\rho_k  h_2}{\rho}-x_3\]

Тогда можно подставить все в первое уравнение:

    \[\frac{\rho_k  h_1}{\rho}-x_3+\frac{\rho_k  h_2}{\rho}-x_3=x_3\]

Или

    \[\frac{\rho_k  (h_1+h_2)}{\rho}=3x_3\]

    \[x_3=\frac{\rho_k  (h_1+h_2)}{3\rho}=\frac{800 (0,25+0,2)}{3000}=0,12\]

Ответ: 12 см.

Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?

Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа серез силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:

Рисунок 3

Сила, действующая на дно, с одной стороны:

    \[m_1g=F_1\]

Где m_1 – масса всего содержимого стакана (воды и льда).

С другой стороны,

    \[F_1=(p_0+\rho g h_1)S\]

Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:

    \[F_2=(p_0+\rho g h_2)S\]

Масса содержимого не изменилась, поэтому

    \[F_1=F_2\]

    \[(p_0+\rho g h_1)S=(p_0+\rho g h_2)S\]

И

    \[h_1=h_2\]

Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.

Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?

Запишем силу на дно в первом случае:

    \[m_1g=F_1\]

    \[F_1=\rho g h_1 S\]

Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой

    \[N=m_d g-F_a\]

Для второго случая (масса содержимого не изменилась)

    \[m_1g=F_2\]

Но изменилась сила, действующая на дно:

    \[F_2=\rho g h_2S+N\]

Тогда

    \[\rho g h_1 S=\rho g h_2S+N\]

    \[h_1-h_2=\frac{N}{\rho g S}\]

Так как правая часть, очевидно, положительное число, то h_1-h_2>0, то есть уровень понизился.

Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?

Записываем силу на дно в первом случае:

    \[mg=F_1\]

    \[F_1=\rho_1 g h_1 S\]

Во втором случае

    \[mg=F_2\]

    \[F_2=\rho_2 g h_2 S\]

Масса содержимого не изменилась, следовательно,

    \[F_1=F_2\]

    \[\rho_1 g h_1 S=\rho_2 g h_2 S\]

Или

    \[\frac{h_2}{h_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\]

И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.

Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на \Delta F = 1 Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см^2?

Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:

    \[\Delta F =F_A\]

Записываем силы на дно сначала:

    \[F_1=mg\]

    \[F_1=\rho g h_1 S\]

После погружения гири сила давления на дно изменилась:

    \[F_2=\Delta F +mg\]

    \[F_2=\rho g h_2 S\]

Тогда

    \[\Delta F  +\rho g h_1 S=\rho g h_2 S\]

Откуда

    \[\Delta F =\rho g (h_2-h_1)S\]

    \[\Delta h=\frac{\Delta F }{\rho g S }=\frac{1}{1000\cdot10\cdot25\cdot10^{-4}}=0,04\]

Ответ: на 4 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *