Подготовка к олимпиадам: сила Архимеда и сообщающиеся сосуды, 8 класс

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…

Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Рисунок 1

Сначала запишем условие несжимаемости:

На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:

Тогда

Ответ: 3,2 см, 12,8 см.

Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой см, а в правый высотой см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?

Рисунок 2

Условие несжимаемости:

Откуда

Теперь условие равновесия:

Откуда

Тогда можно подставить все в первое уравнение:

Или

Ответ: 12 см.

Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?

Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа серез силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:

Рисунок 3

Сила, действующая на дно, с одной стороны:

Где – масса всего содержимого стакана (воды и льда).

С другой стороны,

Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:

Масса содержимого не изменилась, поэтому

И

Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.

Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?

Запишем силу на дно в первом случае:

Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой

Для второго случая (масса содержимого не изменилась)

Но изменилась сила, действующая на дно:

Тогда

Так как правая часть, очевидно, положительное число, то , то есть уровень понизился.

Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?

Записываем силу на дно в первом случае:

Во втором случае

Масса содержимого не изменилась, следовательно,

Или

И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.

Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на  Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см?

Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:

Записываем силы на дно сначала:

После погружения гири сила давления на дно изменилась:

Тогда

Откуда

Ответ: на 4 см.