Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика, Работа и мощность

Подготовка к олимпиадам: работа и мощность, 8 класс.

В этой статье мы познакомимся с методом виртуальных перемещений, который позволяет вычислить работу или силу довольно просто: по изменению потенциальной энергии системы. Также будем вычислять работу как площадь под графиком.

Задача 1. Гирю массой  поднимают за веревку силой  на высоту . Определить работу силы  и силы тяжести.

Работа силы равна

   

Работа силы тяжести отрицательна:

   

Ответ: .

Задача 2. Груз массой  кг подняли на высоту  м по гладкой наклонной плоскости с углом , действуя с  силой  Н. Найти работу всех сил, действующих на тело.

Так как угол , то при перемещении по вертикали на по плоскости мы перемещаем тело на – гипотенуза вдвое длиннее катета, лежащего против такого угла. Поэтому работа силы тяжести равна

   

Работа силы реакции опоры равна нулю (перемещение тела перпендикулярно направлению действия силы), а работа силы равна

   

Ответ: , .

 

Задача 3. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы перетащить доску длиной    с гладкой половины стола на шершавую, на которой на доску действует максимальная сила трения?

Когда доска будет въезжать на шершавую поверхность, сила трения начнет расти и будет изменяться от нуля (край доски поравнялся с шершавой поверхностью и вот-вот заедет на нее) до постоянной силы трения – такой она станет тогда, когда вся доска заедет на шершавую поверхность. Построим график изменения силы трения от длины доски:

Рисунок 1

Работа будет равна площади под графиком, а это – ни что иное, как площадь треугольника:

   

Ответ:

Задача 4. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить из бутылки наполовину раскрошенную пробку, если для извлечения целой пробки надо было совершить работу ?

Рисунок 2

Нарисуем, как изменялась сила по мере вытаскивания целой пробки:

Рисунок 3

Сначала эта сила максимальна (вся пробка трется о горлышко), потом постепенно уменьшается с уменьшением поверхности контакта пробки с бутылкой. Работа – площадь под синим графиком.

Теперь построим график изменения силы в случае, если от пробки осталась лишь половина. Поверхность контакта половины пробки с бутылкой вдвое меньше, чем целой. Поэтому сила будет вдвое меньше начальной силы, с которой мы тянули целую пробку. И эта сила будет постоянной, пока верхний край половины пробки не поравняется с краем горлышка. А уж затем эта сила начнет уменьшаться: полпробки будет вылезать из горлышка. Тогда график будет таким (рыжий цвет):

Видно, что под рыжим графиком площадь на четверть меньше, чем под синим:

   

Ответ:

Задача 5. В комнате стоят 6 одинаковых бочек, которые необходимо придвинуть к стенке. В первом случае все бочки расположены на одной прямой, параллельной стене, на расстоянии  от стены. Во втором случае на расстоянии  от стены стоит первая бочка, а остальные бочки стоят за ней на одной прямой, перпендикулярной к стенке, на равном расстоянии  друг от друга. Сила трения днища бочки о пол составляет 0,1 от веса бочки. В каком случае работа по перемещению бочек к стене больше и во сколько раз? Приложенная сила направлена горизонтально у днища бочки. Диаметр бочки значительно меньше .

В первом случае все понятно: каждую бочку двигаем на , всего бочек – 6, поэтому

   

Во втором случае первую бочку мы двигаем на расстояние , а вторую – на , третью – уже на , и т.д.

Тогда вся работа

   

Определяем отношение работ:

   

Ответ: 3,5

Задача 6. На дне стакана с жидкостью, плотность которой равномерно убывает с высотой от до ,  лежит тонкая спица, имеющая плотность . Высота жидкости . Какую работу надо совершить, чтобы поднять центр тяжести спицы на высоту  над поверхностью жидкости? Объем спицы .

Пока спица находится в жидкости, на нее действует сила Архимеда:

   

Здесь – плотность на некоторой глубине.

Все время на спицу действует сила тяжести:

   

Пусть спица находится на некоторой глубине. Тогда равнодействующая сил, приложенных к спице, равна

   

Нарисуем зависимость этой силы от глубины, на дне вместо подставим , затем, у поверхности, будет , а в воздухе силы Архимеда не будет (мы ее не учитываем), поэтому, когда спицу из воды вынем, то будем совершать работу уже против полной силы тяжести.

Рисунок 4

Площадь под этим графиком и есть искомая работа.

   

Ответ: .

Задача 7. Канат длиной 5 м и массой 8 кг лежит на земле. Один его конец подняли на высоту, равную двум длинам каната. Какую работу при этом совершили?

Здесь, опять же, сила переменна. Пока часть каната на земле, сила изменяется от нуля (весь канат еще лежит) дол – весь уже в воздухе. После этого мы поднимаем канат еще на , при этом сила уже не меняется и равна . Построим график этой силы:

Рисунок 5

Глядя на этот график, определяем работу: .

Ответ: .

 

Задача 8. Бассейн площадью  м заполнен водой до уровня  м и разделен пополам подвижной вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвинули так, что она разделила площадь бассейна в отношении 1:3. Какую работу  пришлось при этом совершить? Вода не проникала через перегородку и не переливалась через край бассейна.

Чтобы вычислить работу в этом случае, нужно определить во-первых, на сколько перегородку передвинули, во-вторых, какую силу при этом преодолевали. Начнем с расстояния. Пусть длина бассейна . Перегородка стояла посередине, а оказалась в от края, то есть передвинулась на .

Рисунок 6

Для определения силы потребуется узнать, какие силы давления действуют на эту перегородку справа и слева. Чтобы узнать силу давления, определим новые уровни воды слева и справа от перегородки. До передвижения справа и слева от перегородки располагалось ровно по половине объема воды. После передвижения перегородки объем остался прежним, но ровно вдвое изменилась длина области слева (), а это значит, ровно вдвое выросла глубина воды слева:

   

Длина области справа выросла в полтора раза, следовательно, глубина тоже уменьшилась в полтора раза:

   

В конце передвижения разность сил давления равна

   

Где – ширина бассейна.

Поскольку нам неизвестна ширина бассейна (ее можно, конечно, определит через площадь, но зависимость все равно очень сложная), придется начинать сначала. Решим задачу энергетическим путем.

По закону сохранения энергии

   

В нашем случае

   

Вначале центр масс находился на высоте , затем в левой части он оказался на высоте , а справа – на высоте . То есть

   

– масса половины воды в бьассейне.

   

Ответ: Дж.

Задача 9. Жил был человек, у которого были Жигули, на которых ему удавалось разгоняться по ровной дороге только до 200 км/ч. Он решил поставить на них мотор от какой-нибудь иномарки. В ближайшем автосервисе его просьбу удовлетворили и поставили мотор от Запорожца. После этого даже на ровной дороге он не смог выжать больше 100 км/ч. Это не устроило клиента, и он поехал в другой автосервис, в который вела уходящая вверх дорога, на которой ему удалось ехать со скоростью не более 50 км/ч. Оставив машину наверху, хозяин не поставил машину на ручной тормоз и ушел. В результате машина поехала. До какой максимальной скорости смог разогнаться автомобиль с выключенным мотором под горку вниз? Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля. Трения в осях нет. Массу машины считать постоянной.

Запишем силу сопротивления для всех трех случаев:

   

   

   

Для движения по ровной поверхности

   

Для движения вверх

   

Поскольку движение происходит под каким-то углом к горизонту, то работаем не против полной силы тяжести, а против ее части, что я и показала знаком «звездочка». При движении вниз угол наклона тот же, поэтому уже эта часть силы тяжести работает на нас.

Для движения вниз:

   

Еще запишем мощность двигателя при движении с включенным мотором:

   

   

Приравняем мощности:

   

   

   

   

   

Ответ: 132 км/ч

Задача 10. На гладкой  горке лежит цепочка длиной  м и массы  кг. Какую силу  нужно приложить к верхнему концу цепочки, чтобы она не скользила?  Расстояние по высоте между концами цепочки  м.

Решим задачу методом виртуальных перемещений. Что будет результатом перемещения такой цепочки вверх на ? То, что все ее элементы подвинутся на такое расстояние: первый сместится, второй – займет место первого, третий – второго, и т.д. А раз все элементы подвинутся, то, может, проще передвинуть нижний элемент вверх – переставить его? Определим, какая работа была бы совершена при виртуальном перемещении малого кусочка цепи на высоту .

   

   

Тогда

   

Ответ: .

Задача 11. Из легких жестких стержней, соединенных шарнирно и образующих три одинаковых ромба, собрана система, удерживающая груз массой . Определите массу груза, если сила натяжения нити, удерживающей систему в равновесии, равна  Н.

Рисунок 7

Решим задачу методом виртуальных перемещений. Здесь совершенная работа приведет к увеличению потенциальной энергии системы.

Обозначим силы, действующие на ромб со стороны нити (силы натяжения). Потом приподнимем верхнюю точку крепления нити на – малую величину. Верхний ромб станет «короче» на  . Пусть средний и нижний  также станут «короче» ровно на столько же. Тогда груз приподнимется на . Запишем работу c учетом направлений сил натяжения (сила натяжения нити вверху направлена вниз, ее работа отрицательна)

   

Получим, что

   

   

Ответ: кг

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *