Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Подготовка к олимпиадам: правило моментов, 8 класс

В этой статье рассмотрим различные системы из нитей. блоков и рычагов. Эти системы будут как находиться в равновесии, так и грозиться из него выйти: в этом случае будем заниматься предсказанием последствий.

Задача 1. Однородный стержень АВ массой m подвешен горизонтально на двух вертикальных нитях. В точке С на расстоянии 1/4 длины стержня от конца А к стержню подвешен груз массой М. Определить силы натяжения нитей.

Рисунок 1

Условие равновесия:

   

Уравнение моментов относительно точки крепления груза:

   

Подставляем в условие равновесия:

   

   

   

Ответ: .

Кто за то, что ответ правильный? Вот и я против. А масса стержня?
Правильное решение с учетом массы стержня:

Рисунок 1*

Тогда относительно точки

   

   

Относительно точки :

   

   

Правильный ответ:  .

Задача 2. При взвешивании на неравноплечих весах, на одной чашке весов масса тела оказалась равна  кг, а на другой –  кг. Какова истинная масса тела? В свободном состоянии весы уравновешены.

Запишем уравнение моментов для первого взвешивания:

   

И для второго:

   

Тогда из первого

   

А из второго

   

Приравняем правые части:

   

Откуда

   

   

Ответ: 3,5 кг.

Есть еще один очень хороший способ взвешивания на неравноплечих весах. Первое взвешивание производим, подвесив тело на одно плечо, гирьки – на другое. Затем тело убираем, и, не изменяя массу гирь на втором плече, на первое вместо тела набираем гирь известной массы столько, чтобы снова было достигнуто равновесие. Тогда масса этих гирь будет аккурат равна массе взвешиваемого тела.

Задача 3. Так называемый «китайский ворот» представляет собой два цилиндрических вала радиусами см и см, насаженных на общую ось, закрепленную горизонтально (на рисунке показан вид сбоку). На валы в противоположных направлениях намотана веревка, на которой висит подвижный блок такого радиуса, что свободные участки веревки практически вертикальны. К оси блока прикреплен груз массой m = 10 кг. Ворот снабжен ручкой, конец которой находится на расстоянии от оси ворота. Какую силу необходимо прикладывать к концу ворота для того, чтобы равномерно поднимать груз, если веревка и блок очень легкие, а трение в осях и проскальзывания веревки нет?

Рисунок 2

Составим уравнение равновесия сил для нижнего блока:

   

   

Теперь составим уравнение моментов для верхнего. При этом сделаем это относительно точки, где приложена сила реакция опоры – так мы избавимся от неизвестной нам силы в уравнении:

   

   

Ответ: 12,5 Н.

Задача 4. Система, состоящая из однородных стержней, трех невесомых нитей, и блока, находится в равновесии.  Трение в оси блока отсутствует. Все нити вертикальны. Масса верхнего стержня      кг. Найдите массу  нижнего стержня.

Рисунок 3

Для нижнего стержня запишем уравнение моментов относительно центра. Пусть – его длина:

   

То есть . Теперь запишем условие равновесия:

   

Займемся верхним стрежнем. Мы не знаем силу , поэтому составим уравнение моментов относительно точки ее приложения, чтобы избавиться от нее. За обозначим длину одного отрезка стержня:

   

Или

   

Подставим найденную ранее силу:

   

   

Ответ: 4 кг.

Задача 5. Невесомый рычаг AC установлен на упоре так, что BC в 2 раза больше AB. К рычагу с помощью ниток прикреплены невесомый блок и массивное неоднородное тело (см. рис.). Слева к блоку подвешивают груз так, что система находится в равновесии. Найдите отношение массы груза к массе тела.

Рисунок 4

Запишем уравнения равновесия обоих тел:

   

   

Условие равновесия рычага относительно упора

   

Откуда

   

Тогда

   

Ответ: .

Задача 6. Система из длинных рычагов блока и грузов находится в равновесии на двух опорах. Концы рычагов соединены нитями, к которым прикреплен груз  и через блок груз   кг. Определите массу  . Массой рычагов можно пренебречь.

Рисунок 5

После расстановки сил запишем условие равновесия системы «блок-груз »

   

И условие равновесия груза :

   

Далее пишем правила моментов. Удобно записать их для точек приложения сил и , чтобы эти силы исчезли из уравнений.

Для точки приложения  :

   

   

Для точки приложения :

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,6 кг.

Задача 7. При каких значениях  возможно равновесие рычага массой ?  Построить график зависимости силы ,  с которой рычаг действует на верхний груз.

Расставим силы на рычаг. На рисунке это все силы, кроме . Силы, действующие на груз , изобразим на выносном чертеже.

Рисунок 6

Тогда условием равновесия груза будет являться

   

Записываем правила моментов относительно точек приложения сил реакции опоры, чтобы от них избавиться:

   

   

Неизвестных у нас больше, чем уравнений. Поэтому нужно провести анализ ситуации. Положим , следовательно, . Что будет с рычагом, если нить не натянута? Тогда

   

– это такое значение массы , когда наступает описанная выше ситуация.

   

Подставим :

   

   

Теперь рассмотрим ситуацию, когда – велико. Тогда рычаг начнет вращаться по часовой стрелке, груз повиснет: , сила реакции станет равной нулю: , уравнение моментов запишется:

   

   

Так это уравнение может выглядеть лишь в случае, когда стремится к бесконечности.

Поэтому ответ: .

Чтобы построить график, избавимся в уравнении моментов от силы :

   

   

   

   

   

То есть сила реакции не зависит от . Строим график:

Рисунок 7

Задача 8. Четыре одинаковых ледяных бруска длиной  сложены так, как показано на рисунке. Каким может быть максимальное расстояние , при условии, что все бруски расположены горизонтально? Считайте, что все бруски гладкие, и что сила тяжести приложена к центру соответствующего бруска.

Рисунок 8

Расставляем силы. После этого записываем условие равновесия верхнего «кирпичика»:

   

Для темного кирпичика запишем правило моментов относительно точки приложения силы :

   

   

   

   

То есть каждый брусочек можно выдвинуть на .

Задача 9. Изображенная на рисунке система из рычага и блоков находится в равновесии. Точки подвеса делят рычаг в отношении a:b. Найдите отношение масс грузов, пренебрегая массами рычага, блоков, трением.

Рисунок 9

Расставляем силы. Для стержня запишем уравнение моментов относительно точки .

   

Условие равновесия стержня:

   

   

Теперь подставим это в уравнение моментов:

   

   

   

   

   

Это и есть ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *