Подготовка к олимпиадам: плотность вещества, 7 класс.

[latexpage]

В статье дана подборка задач по теме “Плотность”, которые вы можете встретить на олимпиадах уровня школьной или районной. На них неплохо потренироваться перед тем, как браться за что-то посложнее.

Задача 1. Стеклянный стакан имеет форму куба с длиной ребра  $D=7,0$ см. Внутренняя часть стакана также является кубом с длиной ребра  $d=6,9$ см. После того, как стакан доверху заполнили водой и поставили на весы, их показания оказались равными  $M=350$ г. Определите плотность вещества, из которого изготовлен стакан. Ответ выразите в   г/см$^3$, округлив до десятых. Плотность воды $\rho_0=1$ г/см$^3$.

Давайте найдем объем воды, которая поместится в стакан:

$$V_0=d^3=6,9^3$$

Найдем объем стекла стакана:

$$V_{st}=V-V_0=D^3-d^3=7^3-6,9^3$$

Тогда масса стакана с водой сложится из массы стекла и воды в нем:

$$M=m_{st}+m_0=V_{st}\cdot\rho_{st}+V_0\rho_0$$

Откуда плотность стекла стакана равна:

$$ V_{st}\cdot\rho_{st}=M- V_0\rho_0$$

$$\rho_{st}=\frac{M- V_0\rho_0}{ V_{st}}=\frac{350- 6,9^3\cdot1}{ 7^3-6,9^3}=\frac{21,5}{14,5}=1,48$$

Ответ: 1,5 г/см$^3$.

Задача 2. Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м? Решить задачу в предположении, что у них схожее телосложение.

Так как коэффициент подобия равен 2, то объемы великана и карлика при схожем телосложении отличаются в 8 раз (в $2^3$). Тогда при одной и той же плотности их массы тоже будут отличаться в восемь раз.

Ответ: в 8 раз.

Задача 3. В бочку объёмом  90 л, которая была на две трети объёма заполнена мёдом, залез Винни-Пух. При этом уровень мёда поднялся до краев и  9 кг меда вытекли наружу. Из бочки осталась торчать только голова Винни-Пуха, объём которой равен одной десятой объёма медведя. Определите массу Винни-Пуха, если его средняя плотность  1000 кг/м$^3$. Плотность мёда  1500 кг/м$^3$. Ответ дать в кг. Округлить до целых.

Мед в бочке занимал 60 л – это две трети от 90 л. Когда Пух влез, то вылилось 9 кг меда. Не литров, а килограммов! Определим, сколько это по объему:

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{9}{1500}=0,006$$

Шесть тысячных метра кубического – это 6 литров. Следовательно, $0,9V$ Пуха заняли 30 литров и еще 6 – всего 36 л. Тогда:

$$0,9V=36$$

$$V=40$$

Теперь найдем массу Пуха, умножив его объем на плотность:

$$m=\rho V=1000\cdot0,04=40$$

Ответ: 40 кг.

Задача 4. В одной стране геолог нашел чёрный метеорит с вкраплениями золота. Плотность чёрного метеоритного вещества оказалась $\rho_m=5000$ кг/м$^3$. Плотность золота $\rho_z=19800$ кг/м$^3$. Масса всего метеорита  $m=2$ кг, а его средняя плотность  $\rho_{sr}=6000$ кг/м$^3$. На чёрном рынке геологу за чёрный метеорит сходу предложили 6000 долларов. И геолог согласился на сделку. Во сколько раз реальная стоимость золота из метеорита больше суммы, полученной геологом? В то время тройская унция золота стоила 1700 долларов. А одна тройская унция равна $m_u=31,1$ грамма. Ответ округлить до целых.

Масса метеорита складывается из массы черного вещества и массы золота:

$$m=m_m+m_z=\rho_m V_m+\rho_z V_z$$

Средняя плотность вещества метеорита равна

$$\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{m}{V_1+V_2}=\frac{m}{\frac{m_m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_z}}$$

Следовательно,

$$\frac{m_m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_z}=\frac{m}{\rho_{sr}}$$

Нам надо узнать массу золота:

$$\frac{m_z}{\rho_z}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m_m}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m-m_z}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_m}$$

$$\frac{m_z}{\rho_z}-\frac{m_z}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m}{\rho_m}$$

Откуда

$$m_z\frac{\rho_m- \rho_z }{\rho_z \rho_m }=m\frac{\rho_m-\rho_{sr}}{\rho_{sr}\rho_m}$$

$$m_z=m\frac{(\rho_m-\rho_{sr})\rho_z }{\rho_{sr}(\rho_m-\rho_z)}= 2\frac{(5000-6000)19800 }{6000(5000- 19800)}=0,446$$

То есть 446 г. Значит, все золото метеорита составляло

$$N=\frac{m_z}{m_u}=\frac{446}{31,1}=14,34$$

унции. Стоимость этого золота по тем временам составила бы

$$P=1700N=1700\cdot14,34=24376,5$$

долларов. Продешевил геолог, можно было выручить в 4 раза ($\frac{24376,5}{6000}=4,06$) больше.

Ответ: в 4 раза.

Задача 5. В одном галлоне $V_g=3,79$ литра. Один баррель легкой нефти весит $m=111$ кг. Плотность нефти  $\rho=698$ кг/м$^3$. Во сколько раз баррель больше галлона? Ответ округлить до целого.

Определим, сколько занимает баррель по объему:

$$V_b=\frac{m}{\rho}=\frac{111}{698}=0,159$$

Или 159 литров. Чтобы узнать, во сколько раз баррель больше галлона, разделим объем барреля на объем галлона:

$$\frac{V_b}{V_g}=\frac{159}{3,79}=41,95$$

Ответ: в 42 раза.