Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Плотность вещества

Подготовка к олимпиадам: плотность вещества, 7 класс.

В статье дана подборка задач по теме “Плотность”, которые вы можете встретить на олимпиадах уровня школьной или районной. На них неплохо потренироваться перед тем, как браться за что-то посложнее.

Задача 1. Стеклянный стакан имеет форму куба с длиной ребра  D=7,0 см. Внутренняя часть стакана также является кубом с длиной ребра  d=6,9 см. После того, как стакан доверху заполнили водой и поставили на весы, их показания оказались равными  M=350 г. Определите плотность вещества, из которого изготовлен стакан. Ответ выразите в   г/см^3, округлив до десятых. Плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Давайте найдем объем воды, которая поместится в стакан:

    \[V_0=d^3=6,9^3\]

Найдем объем стекла стакана:

    \[V_{st}=V-V_0=D^3-d^3=7^3-6,9^3\]

Тогда масса стакана с водой сложится из массы стекла и воды в нем:

    \[M=m_{st}+m_0=V_{st}\cdot\rho_{st}+V_0\rho_0\]

Откуда плотность стекла стакана равна:

    \[V_{st}\cdot\rho_{st}=M- V_0\rho_0\]

    \[\rho_{st}=\frac{M- V_0\rho_0}{ V_{st}}=\frac{350- 6,9^3\cdot1}{ 7^3-6,9^3}=\frac{21,5}{14,5}=1,48\]

Ответ: 1,5 г/см^3.

Задача 2. Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м? Решить задачу в предположении, что у них схожее телосложение.

Так как коэффициент подобия равен 2, то объемы великана и карлика при схожем телосложении отличаются в 8 раз (в 2^3). Тогда при одной и той же плотности их массы тоже будут отличаться в восемь раз.

Ответ: в 8 раз.

Задача 3. В бочку объёмом  90 л, которая была на две трети объёма заполнена мёдом, залез Винни-Пух. При этом уровень мёда поднялся до краев и  9 кг меда вытекли наружу. Из бочки осталась торчать только голова Винни-Пуха, объём которой равен одной десятой объёма медведя. Определите массу Винни-Пуха, если его средняя плотность  1000 кг/м^3. Плотность мёда  1500 кг/м^3. Ответ дать в кг. Округлить до целых.

Мед в бочке занимал 60 л – это две трети от 90 л. Когда Пух влез, то вылилось 9 кг меда. Не литров, а килограммов! Определим, сколько это по объему:

    \[V=\frac{m}{\rho}=\frac{9}{1500}=0,006\]

Шесть тысячных метра кубического – это 6 литров. Следовательно, 0,9V Пуха заняли 30 литров и еще 6 – всего 36 л. Тогда:

    \[0,9V=36\]

    \[V=40\]

Теперь найдем массу Пуха, умножив его объем на плотность:

    \[m=\rho V=1000\cdot0,04=40\]

Ответ: 40 кг.

Задача 4. В одной стране геолог нашел чёрный метеорит с вкраплениями золота. Плотность чёрного метеоритного вещества оказалась \rho_m=5000 кг/м^3. Плотность золота \rho_z=19800 кг/м^3. Масса всего метеорита  m=2 кг, а его средняя плотность  \rho_{sr}=6000 кг/м^3. На чёрном рынке геологу за чёрный метеорит сходу предложили 6000 долларов. И геолог согласился на сделку. Во сколько раз реальная стоимость золота из метеорита больше суммы, полученной геологом? В то время тройская унция золота стоила 1700 долларов. А одна тройская унция равна m_u=31,1 грамма. Ответ округлить до целых.

Масса метеорита складывается из массы черного вещества и массы золота:

    \[m=m_m+m_z=\rho_m V_m+\rho_z V_z\]

Средняя плотность вещества метеорита равна

    \[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{m}{V_1+V_2}=\frac{m}{\frac{m_m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_z}}\]

Следовательно,

    \[\frac{m_m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_z}=\frac{m}{\rho_{sr}}\]

Нам надо узнать массу золота:

    \[\frac{m_z}{\rho_z}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m_m}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m-m_z}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m}{\rho_m}+\frac{m_z}{\rho_m}\]

    \[\frac{m_z}{\rho_z}-\frac{m_z}{\rho_m}=\frac{m}{\rho_{sr}}-\frac{m}{\rho_m}\]

Откуда

    \[m_z\frac{\rho_m- \rho_z }{\rho_z \rho_m }=m\frac{\rho_m-\rho_{sr}}{\rho_{sr}\rho_m}\]

    \[m_z=m\frac{(\rho_m-\rho_{sr})\rho_z }{\rho_{sr}(\rho_m-\rho_z)}= 2\frac{(5000-6000)19800 }{6000(5000- 19800)}=0,446\]

То есть 446 г. Значит, все золото метеорита составляло

    \[N=\frac{m_z}{m_u}=\frac{446}{31,1}=14,34\]

унции. Стоимость этого золота по тем временам составила бы

    \[P=1700N=1700\cdot14,34=24376,5\]

долларов. Продешевил геолог, можно было выручить в 4 раза (\frac{24376,5}{6000}=4,06) больше.

Ответ: в 4 раза.

Задача 5. В одном галлоне V_g=3,79 литра. Один баррель легкой нефти весит m=111 кг. Плотность нефти  \rho=698 кг/м^3. Во сколько раз баррель больше галлона? Ответ округлить до целого.

Определим, сколько занимает баррель по объему:

    \[V_b=\frac{m}{\rho}=\frac{111}{698}=0,159\]

Или 159 литров. Чтобы узнать, во сколько раз баррель больше галлона, разделим объем барреля на объем галлона:

    \[\frac{V_b}{V_g}=\frac{159}{3,79}=41,95\]

Ответ: в 42 раза.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *