[latexpage]
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «плотность». Задачи все не новые, взяты из старых знакомых задачников, но содержат другие цифры.
Задача 1. Болванка из железа имеет объём, в два раза больший, чем болванка из меди. Определите массу медной болванки, если железная тяжелее медной на $\Delta m=100$ г. Ответ выразить в г, округлив до целых. Плотность меди $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность железа $\rho_2=7800$ кг/м$^3$.
Запишем массу железной болванки:
$$m_{Fe}=2V\cdot\rho_{Fe}$$
И массу медной:
$$m_{Cu}=V\rho_{Cu}$$
Тогда разность их масс составляет 100 г:
$$\Delta m= m_{Fe}- m_{Cu}=2V\cdot\rho_{Fe}- V\rho_{Cu}$$
Откуда объем:
$$V=\frac{\Delta m }{2\cdot\rho_{Fe}- \rho_{Cu}}=\frac{100}{2\cdot7,8- 8,9}=14,9$$
Получили объем в см$^3$, определяем массу медной болванки:
$$m_{Cu}=V\rho_{Cu}=14,9\cdot8,9=133$$
Ответ: 133 г.
Задача 2. Металлическая плита из сплава золота с медью имеет объём $V=1000$ см$^3$. Масса плиты $m=11$ кг. Определите процентное содержание золота по объёму в плите. Ответ выразите в процентах, округлив до целых. Плотность меди $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность золота $\rho_2=19300$ кг/м$^3$.
Масса плиты сложится из двух масс – золота $m_2$ и меди $m_1$:
$$m=m_1+m_2$$
И, аналогично, объем тоже будет суммой объемов:
$$V=V_1+V_2$$
Тогда распишем первое уравнение и подставим в него какой-нибудь объем из второго:
$$m=\rho_1V_1+\rho_2 V_2=\rho_1(V-V_2)+\rho_2 V_2$$
$$11000=8,9(1000-V_2)+19,3V_2$$
$$10,4V_2=2100$$
$$V_2=202$$
Тогда в процентах
$$\frac{V_2}{V}\cdot 100\%=\frac{202}{1000}\cdot 100\%=20,2$$
Ответ: 20%
Задача 3. Металлическая плита из сплава золота с медью имеет объём $V=1000$ см$^3$. Масса плиты $m=10$ кг. Определите процентное содержание золота по массе. Ответ выразить в процентах, округлив до целых. Плотность меди $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность золота $\rho_2=19300$ кг/м$^3$.
Масса плиты сложится из двух масс – золота $m_2$ и меди $m_1$:
$$m=m_1+m_2$$
И, аналогично, объем тоже будет суммой объемов:
$$V=V_1+V_2$$
Тогда распишем первое уравнение и подставим в него какой-нибудь объем из второго:
$$m=\rho_1V_1+\rho_2 V_2=\rho_1(V-V_2)+\rho_2 V_2$$
$$10000=8,9(1000-V_2)+19,3V_2$$
$$10,4V_2=1100$$
$$V_2=105,8$$
Определим массу золота и его процентное содержание:
$$m_2=\rho_2V_2=19,3\cdot 105,8=2041$$
Тогда в процентах
$$\frac{m_2}{m}\cdot 100\%=\frac{2041}{10000}\cdot 100\%=20,4$$
Ответ: 20%
Задача 4. Масса стакана, заполненного водой, равна $m_1=260$ г. Когда в этот стакан с водой поместили камушек массой $m=28,8$ г, и часть воды вылилась, то масса стакана, воды и камушка стала равной $m_2=276,8$ г. Определите плотность вещества камня $\rho$. Ответ выразить в кг/м$^3$, округлив до целых. Плотность воды в $\rho_0=1000$ кг/м$^3$.
Определяем, сколько воды вылилось:
$$\Delta m=m_1+m-m_2=260+28,8-276,8=12$$
Эта масса воды занимала объем 12 см$^3$, который потом занял камень и вытеснил воду. То есть объем камня – 12 см$^3$. Тогда и плотность нехитро найти:
$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{28,8}{12}=2,4$$
Или 2400 кг/м$^3$.
Задача 5. Модель статуи из гипса имеет объем $V=200$ см$^3$. Какой массы получится сама статуя, если она в $k=10$ раз больше модели и сделана из железа? Плотность железа $\rho_z=7800$ кг/м$^3$. Ответ выразить в кг, округлив до целых.
Объем статуи больше в $k^3$ раз, то есть в 1000:
$$V_{orig}=1000V=10^3\cdot 200\cdot10^{-6}=0,2$$
Определим теперь массу:
$$m=\rho_z V_{orig}=7800\cdot0,2=1560$$
Ответ: 1560 кг.
Комментариев - 3
В 5-ой задаче ответ 15,6 кг. Ошибки в решении предлагаю поискать автору сайта! Всего доброго!
Согласен, в пятой задаче опечатка! Ответ 15,6 кг
В условии задачи дан коэффициент подобия. Понятно, что у статуи не только высота больше, но и все остальные измерения. Объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия. Отсюда отличие в 1000 раз объемов фигур. Ответ верен.