Подготовка к олимпиадам: плотность, 8 класс.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «плотность». Задачи все не новые, взяты из старых знакомых задачников, но содержат другие цифры.

Задача 1. Болванка из железа имеет объём, в два раза больший, чем болванка из меди. Определите массу медной болванки, если железная тяжелее медной на  $\Delta m=100$ г. Ответ выразить в г, округлив до целых. Плотность меди  $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность железа  $\rho_2=7800$ кг/м$^3$.

Запишем массу железной болванки:

$$m_{Fe}=2V\cdot\rho_{Fe}$$

И массу медной:

$$m_{Cu}=V\rho_{Cu}$$

Тогда разность их масс составляет 100 г:

$$\Delta m= m_{Fe}- m_{Cu}=2V\cdot\rho_{Fe}- V\rho_{Cu}$$

Откуда объем:

$$V=\frac{\Delta m }{2\cdot\rho_{Fe}- \rho_{Cu}}=\frac{100}{2\cdot7,8- 8,9}=14,9$$

Получили объем в см$^3$, определяем массу медной болванки:

$$m_{Cu}=V\rho_{Cu}=14,9\cdot8,9=133$$

Ответ: 133 г.

Задача 2. Металлическая плита из сплава золота с медью имеет объём  $V=1000$ см$^3$. Масса плиты  $m=11$ кг. Определите процентное содержание золота по объёму в плите. Ответ выразите в процентах, округлив до целых. Плотность меди $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность золота $\rho_2=19300$ кг/м$^3$.

Масса плиты сложится из двух масс –  золота $m_2$ и меди $m_1$:

$$m=m_1+m_2$$

И, аналогично, объем тоже будет суммой объемов:

$$V=V_1+V_2$$

Тогда распишем первое уравнение и подставим в него какой-нибудь объем из второго:

$$m=\rho_1V_1+\rho_2 V_2=\rho_1(V-V_2)+\rho_2 V_2$$

$$11000=8,9(1000-V_2)+19,3V_2$$

$$10,4V_2=2100$$

$$V_2=202$$

Тогда в процентах

$$\frac{V_2}{V}\cdot 100\%=\frac{202}{1000}\cdot 100\%=20,2$$

Ответ: 20%

Задача 3. Металлическая плита из сплава золота с медью имеет объём  $V=1000$ см$^3$. Масса плиты  $m=10$ кг. Определите процентное содержание золота по массе. Ответ выразить в процентах, округлив до целых. Плотность меди $\rho_1=8900$ кг/м$^3$. Плотность золота $\rho_2=19300$ кг/м$^3$.

Масса плиты сложится из двух масс –  золота $m_2$ и меди $m_1$:

$$m=m_1+m_2$$

И, аналогично, объем тоже будет суммой объемов:

$$V=V_1+V_2$$

Тогда распишем первое уравнение и подставим в него какой-нибудь объем из второго:

$$m=\rho_1V_1+\rho_2 V_2=\rho_1(V-V_2)+\rho_2 V_2$$

$$10000=8,9(1000-V_2)+19,3V_2$$

$$10,4V_2=1100$$

$$V_2=105,8$$

Определим массу золота и его процентное содержание:

$$m_2=\rho_2V_2=19,3\cdot 105,8=2041$$

Тогда в процентах

$$\frac{m_2}{m}\cdot 100\%=\frac{2041}{10000}\cdot 100\%=20,4$$

Ответ: 20%

Задача 4. Масса стакана, заполненного водой, равна  $m_1=260$ г. Когда в этот стакан с водой поместили камушек массой  $m=28,8$ г, и часть воды вылилась, то масса стакана, воды и камушка стала равной  $m_2=276,8$ г. Определите плотность вещества камня $\rho$. Ответ выразить в кг/м$^3$, округлив до целых. Плотность воды в $\rho_0=1000$ кг/м$^3$.

Определяем, сколько воды вылилось:

$$\Delta m=m_1+m-m_2=260+28,8-276,8=12$$

Эта масса воды занимала объем 12 см$^3$, который потом занял камень и вытеснил воду. То есть объем камня – 12 см$^3$. Тогда и плотность нехитро найти:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{28,8}{12}=2,4$$

Или 2400 кг/м$^3$.

Задача 5. Модель статуи из гипса имеет объем  $V=200$ см$^3$. Какой массы получится сама статуя, если она в $k=10$ раз больше модели и сделана из железа? Плотность железа  $\rho_z=7800$ кг/м$^3$. Ответ выразить в кг, округлив до целых.

Объем статуи больше в $k^3$ раз, то есть в 1000:

$$V_{orig}=1000V=10^3\cdot 200\cdot10^{-6}=0,2$$

Определим теперь массу:

$$m=\rho_z V_{orig}=7800\cdot0,2=1560$$

Ответ: 1560 кг.