Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Плотность вещества

Подготовка к олимпиадам: плотность, 7 класс.

В статье дана подборка задач по теме “Плотность”, которые вы можете встретить на олимпиадах уровня региональной. Здесь задачки потруднее, если что-нибудь будет непонятно – спрашивайте.

Задача 1. При изготовлении кирпича мастера допустили брак, и внутри кирпича образовалась полость. Во сколько раз объем кирпича больше объема внутренней полости, если средняя плотность бракованного кирпича в 1,5 раза меньше нормального? Ответ округлить до целых. Снаружи бракованный кирпич выглядит как нормальный.

Масса кирпича будет равна объему материала кирпича, умноженному на плотность этого материала:

    \[m=\rho\cdot V\]

Также можно найти массу кирпича, зная его среднюю плотность:

    \[m=\rho_{sr}\cdotV_p=\rho_{sr}\cdot(V+V_0)\]

Где V_p – полный объем, V_0 – объем полости.

Приравняем обе массы:

    \[\rho\cdot V=\rho_{sr}\cdot(V+V_0)\]

    \[\rho\cdot V=\frac{\rho}{1,5}\cdot(V+V_0)\]

    \[V-\frac{2}{3} V=\frac{ V_0}{1,5}\]

    \[2V_0=V\]

То есть объем полости вдвое меньше объема материала, иными словами,

    \[V_0=\frac{1}{3}V_p\]

Или

    \[\frac{ V_p }{ V_0}=3\]

Ответ: 3

Задача 2. При изготовлении кирпича мастера замесили 3 массы сухой смеси плотностью  1500 кг/м^3 и 2 массы воды плотностью  1000 кг/м^3. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м^3, округлив до целых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

    \[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{3m+2m}{V_1+V_2}=\frac{5m}{\frac{3m}{\rho_1}+\frac{2m}{\rho_2}}=\frac{5m\cdot1500}{6m}=1250\]

Ответ: 1250 кг/м^3.

Задача 3. При изготовлении кирпича мастера замесили 2 объема сухой смеси плотностью  1500 кг/м^3 и 3 объёма воды плотностью  1000 кг/м^3. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м^3, округлив до целых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

    \[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{2V\rho_1+3V\rho_2}{2V+3V}=\frac{2\cdot1500+3\cdot1000}{5}=\frac{6000}{5}=1200\]

Ответ: 1200 кг/м^3.

Задача 4. Однородная деталь из сплава с плотностью  2000 кг/м^3 имеет массу m_1=32 кг. А её точная копия, но в 2 раза меньших размеров, сделанная из сплава с плотностью  4000 кг/м^3, оказалась массой m_2=7 кг. Есть подозрение, что внутри копии существует скрытая полость. Какой у неё объём? Ответ дать в см^3.

Объем детали можно определить:

    \[V_d=\frac{m}{\rho_d}\]

Коэффициент подобия равен 2, поэтому объем копии меньше в 2^3=8 раз:

    \[V_k=\frac{m}{8\rho_d}\]

Масса копии тогда должна быть:

    \[m_k=V_k\cdot \rho_k=\frac{m\rho_k}{8\rho_d}=\frac{32\cdot4000}{8\cdot2000}=8\]

Но масса копии меньше ровно на 1 кг. Следовательно, вместо этого 1 кг материала это место заняла полость. Если найдем объем 1 кг материала копии, то найдем объем полости:

    \[V_1=V_0=\frac{1}{\rho_2}=\frac{1}{4000}=0,00025\]

Мы получили ответ в метрах кубических. В сантиметрах это будет в 10^6 раз больше, то есть 250 см^3.

Ответ: 250 см^3.

Задача 5. Средняя плотность каши с маслом в 2 раза больше, чем масла и в три раза меньше, чем просто каши. Чему равно отношение массы каши к массе масла? Ответ округлите до десятых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем. Запишем среднюю плотность каши с маслом:

    \[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{m_k+m_m}{V_k+V_m}=\frac{ m_k+m_m }{\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}}\]

Тогда сумма масс каши и масла равна:

    \[m_k+m_m=\left(\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}\right)\rho_{sr}=\frac{m_k}{\rho_k}\rho_{sr}+\frac{m_m}{\rho_m}\rho_{sr}\]

Тогда, перенося в разные стороны слагаемые, содержащие массы каши и масла, получим:

    \[m_k-\frac{\rho_{sr} }{\rho_k} m_k=\frac{\rho_{sr}}{\rho_m}m_m-m_m\]

    \[m_k(1-\frac{1}{3})=m_m(2-1)\]

Отношение масс будет равно:

    \[\frac{m_k}{m_m}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1,5\]

Ответ: 1,5.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *