Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Олимпиадная физика, Относительность движения

Подготовка к олимпиадам: относительность движения. 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «относительность движения».

Задача 1. Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск  t_1=1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на  \Delta t=15 с меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе? Ответ выразить в секундах, округлив до целых.

Если длина эскалатора l, а скорость человека \upsilon, то

    \[l=(\upsilon+\upsilon_e)t_1\]

\upsilon_e – скорость эскалатора.

Для второй ситуации

    \[l=(2\upsilon+\upsilon_e)(t_1-15)\]

Найти нам надо величину \frac{l}{\upsilon_e } – это и будет временем пассивного спуска.

Приравняем правые части:

    \[(\upsilon+\upsilon_e)t_1=(2\upsilon+\upsilon_e)(t_1-15)\]

Откуда

    \[2\upsilon=\upsilon_e\]

Подставим в первое уравнение:

    \[l=(\frac{\upsilon_e}{2}+\upsilon_e)t_1\]

Или

    \[\frac{l}{\upsilon_e }=90\]

Ответ: 90 с.

Задача 2. Собака в лесу погналась за зайцем. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние, которое собака пробегает за 5 скачков, равно расстоянию, которое заяц пробегает за 6 скачков? Начальное расстояние между собакой и зайцем равно 40 скачков собаки, а скачки собака и заяц делают одновременно.

Одно и то же расстояние собака преодолевает за 5 скачков, или за 5 единиц времени. Заяц – за шесть. Следовательно, скорость собаки

    \[\upsilon_s=\frac{l}{t_s}\]

Скорость зайца –

    \[\upsilon_z=\frac{l}{t_z}\]

Или

    \[\frac{\upsilon_s }{\upsilon_z}=\frac{ t_z }{ t_s}=\frac{6}{5}\]

скорость зайца – \upsilon_z=\frac{5}{6}\upsilon_s, а скорость сближения собаки и зайца равна

    \[\upsilon=\upsilon_s-\frac{5}{6}\upsilon_s=\frac{1}{6}\upsilon_s\]

Время погони –

    \[t=\frac{S}{\upsilon}=\frac{40}{\frac{1}{6}\upsilon_s }=\frac{240}{\upsilon_s }\]

Таким образом, придется 240 скачков собаке пробежать.

Ответ: 240.

Задача 3. В море при штиле навстречу друг другу плывут два мальчика. Скорость первого  \upsilon_1=1 км/ч, скорость второго  \upsilon_2=2 км/ч. Одновременно между ними плавает дельфин со скоростью  U=10 км/ч. Подплыв к одному из мальчиков, он тотчас поворачивает обратно к другому. Так он и плавает между сближающимися мальчиками. Определите путь, который проделает дельфин за время, в течение которого расстояние между мальчиками сократилось от  S_1=1 км до  S_2=400 м. Ответ выразить в км, округлив до целых.

Мальчики сближаются со скоростью 3 км/ч. В общей сложности проплыли они вместе 600 м. Посчитаем, сколько времени это отняло:

    \[t=\frac{S}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{0,6}{3}=0,2\]

Все это время дельфин шнырял туда-сюда, поэтому проплыл

    \[l=Ut=10\cdot0,2=2\]

Ответ: 2 км.

Задача 4. По дороге, параллельной железнодорожным путям, едет велосипедист со скоростью  u=14,4 км/ч. Его догоняет поезд длинной  L=120 м и обгоняет за  t_0=6 с. Определите скорость поезда \upsilon. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Поезд протаскивает свою длину мимо велосипедиста. Сближаются поезд и велосипедист со скоростью

    \[\upsilon-u=\upsilon-\frac{14400}{3600}=\upsilon-4\]

Тогда

    \[\upsilon-4=\frac{L}{t_0}=20\]

Тогда

    \[\upsilon=24\]

Ответ: 24 м/с.

Задача 5. Вдоль железной дороги через каждые  100 м расставлены столбики с номерами         1, 2, …, 10, 1, 2, …, 10, …. Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Известно, что скорость поезда меньше 100 км/ч. С какой максимальной скоростью мог ехать поезд? Ответ дать в м/мин, округлив до целых.

Поезд мог проехать 100 м – тогда машинист увидел бы следующий по порядку столбик. Если поезд проехал 1100 м – то машинист увидел столбик следующего километра. Он также мог увидеть столбик с цифрой 2 и через 2100 м, или через 3100. Определим скорость в каждом случае (кроме первого случая – для поезда маловато):

    \[\upsilon_1=\frac{1100}{120}=9,1\]

Это 33 км/ч.

    \[\upsilon_2=\frac{2100}{120}=17,5\]

Это 63 км/ч.

    \[\upsilon_3=\frac{3100}{120}=25,8\]

Это 93 км/ч.

Видимо, это и есть максимальная скорость, меньшая 100 км/ч.

Ответ: 93 км/ч.

Задача 6. Два автомобиля стартуют одновременно и движутся по прямолинейной дороге к финишу. Первый автомобиль первую половину времени своего движения до финиша движется со скоростью \upsilon_1=100 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью  \upsilon_2=160 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения имеет скорость  \upsilon_3=120 км/ч, а вторую половину времени – скорость  \upsilon_4=140 км/ч. Какое максимальное расстояние L будет между автомобилями в процессе движения, если длина трассы S=32,5 км? Ответ выразить в км, округлив до десятых.

Весь путь первого автомобиля

    \[S_1=\upsilon_1\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_2\cdot\frac{t}{2}=50t+80t=130t\]

Весь путь второго

    \[S_2=\upsilon_3\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_4\cdot\frac{t}{2}=60t+70t=130t\]

Таким образом, они финишируют одновременно.

    \[130t=32,5\]

    \[t=0,25\]

    \[\frac{t}{2}=0,125\]

На первой половине времени расстояние между автомобилями увеличивается постоянно. А на второй – постоянно уменьшается. Поэтому максимальное расстояние между ними – как раз по истечении первой половины времени.

    \[l=(\upsilon_3-\upsilon_1) \frac{t}{2}=20\cdot0,125=2,5\]

Ответ: 2,5 км.

Задача 7. Петя ездит в школу на автобусе, который всегда ходит точно по расписанию. Его дом стоит на обочине дороги между остановками A и B на расстоянии  S=400 м от остановки A. Расстояние между остановками  L=900 м. Автобус едет в направлении от A к B с постоянной скоростью  u=10 м/с. Найдите, за какой минимальный промежуток времени Петя может добраться до пункта B, если он ходит со скоростью  \upsilon=2 м/с, а время, в течение которого автобус стоит на остановке, пренебрежимо мало по сравнению с нахождением Пети в пути. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Петя может идти от дома вдоль дороги до остановки A, а потом ехать на автобусе до B. Или он может идти сразу к остановке B. Тогда в первом случае время равно

    \[t_1=\frac{S}{\upsilon}+\frac{L}{u}=200+90=290\]

Во втором случае

    \[t_2=\frac{L-S}{\upsilon}=250\]

Во втором случае мальчик быстрее попадет на остановку B.

Ответ: 250 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *