Подготовка к олимпиадам: относительность движения. 8 класс.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «относительность движения».

Задача 1. Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск  $t_1=1$ мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на  $\Delta t=15$ с меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе? Ответ выразить в секундах, округлив до целых.

Если длина эскалатора $l$, а скорость человека $\upsilon$, то

$$l=(\upsilon+\upsilon_e)t_1$$

$\upsilon_e$ – скорость эскалатора.

Для второй ситуации

$$l=(2\upsilon+\upsilon_e)(t_1-15)$$

Найти нам надо величину $\frac{l}{\upsilon_e }$ – это и будет временем пассивного спуска.

Приравняем правые части:

$$(\upsilon+\upsilon_e)t_1=(2\upsilon+\upsilon_e)(t_1-15)$$

Откуда

$$2\upsilon=\upsilon_e$$

Подставим в первое уравнение:

$$l=(\frac{\upsilon_e}{2}+\upsilon_e)t_1$$

Или

$$\frac{l}{\upsilon_e }=90$$

Ответ: 90 с.

Задача 2. Собака в лесу погналась за зайцем. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние, которое собака пробегает за 5 скачков, равно расстоянию, которое заяц пробегает за 6 скачков? Начальное расстояние между собакой и зайцем равно 40 скачков собаки, а скачки собака и заяц делают одновременно.

Одно и то же расстояние собака преодолевает за 5 скачков, или за 5 единиц времени. Заяц – за шесть. Следовательно, скорость собаки

$$\upsilon_s=\frac{l}{t_s}$$

Скорость зайца –

$$\upsilon_z=\frac{l}{t_z}$$

Или

$$\frac{\upsilon_s }{\upsilon_z}=\frac{ t_z }{ t_s}=\frac{6}{5}$$

скорость зайца – $\upsilon_z=\frac{5}{6}\upsilon_s$, а скорость сближения собаки и зайца равна

$$\upsilon=\upsilon_s-\frac{5}{6}\upsilon_s=\frac{1}{6}\upsilon_s$$

Время погони –

$$t=\frac{S}{\upsilon}=\frac{40}{\frac{1}{6}\upsilon_s }=\frac{240}{\upsilon_s }$$

Таким образом, придется 240 скачков собаке пробежать.

Ответ: 240.

Задача 3. В море при штиле навстречу друг другу плывут два мальчика. Скорость первого  $\upsilon_1=1$ км/ч, скорость второго  $\upsilon_2=2$ км/ч. Одновременно между ними плавает дельфин со скоростью  $U=10$ км/ч. Подплыв к одному из мальчиков, он тотчас поворачивает обратно к другому. Так он и плавает между сближающимися мальчиками. Определите путь, который проделает дельфин за время, в течение которого расстояние между мальчиками сократилось от  $S_1=1$ км до  $S_2=400$ м. Ответ выразить в км, округлив до целых.

Мальчики сближаются со скоростью 3 км/ч. В общей сложности проплыли они вместе 600 м. Посчитаем, сколько времени это отняло:

$$t=\frac{S}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{0,6}{3}=0,2$$

Все это время дельфин шнырял туда-сюда, поэтому проплыл

$$l=Ut=10\cdot0,2=2$$

Ответ: 2 км.

Задача 4. По дороге, параллельной железнодорожным путям, едет велосипедист со скоростью  $u=14,4$ км/ч. Его догоняет поезд длинной  $L=120$ м и обгоняет за  $t_0=6$ с. Определите скорость поезда $\upsilon$. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Поезд протаскивает свою длину мимо велосипедиста. Сближаются поезд и велосипедист со скоростью

$$\upsilon-u=\upsilon-\frac{14400}{3600}=\upsilon-4$$

Тогда

$$\upsilon-4=\frac{L}{t_0}=20$$

Тогда

$$\upsilon=24$$

Ответ: 24 м/с.

Задача 5. Вдоль железной дороги через каждые  100 м расставлены столбики с номерами         1, 2, …, 10, 1, 2, …, 10, …. Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Известно, что скорость поезда меньше 100 км/ч. С какой максимальной скоростью мог ехать поезд? Ответ дать в м/мин, округлив до целых.

Поезд мог проехать 100 м – тогда машинист увидел бы следующий по порядку столбик. Если поезд проехал 1100 м – то машинист увидел столбик следующего километра. Он также мог увидеть столбик с цифрой 2 и через 2100 м, или через 3100. Определим скорость в каждом случае (кроме первого случая – для поезда маловато):

$$\upsilon_1=\frac{1100}{120}=9,1$$

Это 33 км/ч.

$$\upsilon_2=\frac{2100}{120}=17,5$$

Это 63 км/ч.

$$\upsilon_3=\frac{3100}{120}=25,8$$

Это 93 км/ч.

Видимо, это и есть максимальная скорость, меньшая 100 км/ч.

Ответ: 93 км/ч.

Задача 6. Два автомобиля стартуют одновременно и движутся по прямолинейной дороге к финишу. Первый автомобиль первую половину времени своего движения до финиша движется со скоростью $\upsilon_1=100$ км/ч, а вторую половину времени – со скоростью  $\upsilon_2=160$ км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения имеет скорость  $\upsilon_3=120$ км/ч, а вторую половину времени – скорость  $\upsilon_4=140$ км/ч. Какое максимальное расстояние $L$ будет между автомобилями в процессе движения, если длина трассы $S=32,5$ км? Ответ выразить в км, округлив до десятых.

Весь путь первого автомобиля

$$S_1=\upsilon_1\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_2\cdot\frac{t}{2}=50t+80t=130t$$

Весь путь второго

$$S_2=\upsilon_3\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_4\cdot\frac{t}{2}=60t+70t=130t$$

Таким образом, они финишируют одновременно.

$$130t=32,5$$

$$t=0,25$$

$$\frac{t}{2}=0,125$$

На первой половине времени расстояние между автомобилями увеличивается постоянно. А на второй – постоянно уменьшается. Поэтому максимальное расстояние между ними – как раз по истечении первой половины времени.

$$l=(\upsilon_3-\upsilon_1) \frac{t}{2}=20\cdot0,125=2,5$$

Ответ: 2,5 км.

Задача 7. Петя ездит в школу на автобусе, который всегда ходит точно по расписанию. Его дом стоит на обочине дороги между остановками A и B на расстоянии  $S=400$ м от остановки A. Расстояние между остановками  $L=900$ м. Автобус едет в направлении от A к B с постоянной скоростью  $u=10$ м/с. Найдите, за какой минимальный промежуток времени Петя может добраться до пункта B, если он ходит со скоростью  $\upsilon=2$ м/с, а время, в течение которого автобус стоит на остановке, пренебрежимо мало по сравнению с нахождением Пети в пути. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Петя может идти от дома вдоль дороги до остановки $A$, а потом ехать на автобусе до $B$. Или он может идти сразу к остановке $B$. Тогда в первом случае время равно

$$t_1=\frac{S}{\upsilon}+\frac{L}{u}=200+90=290$$

Во втором случае

$$t_2=\frac{L-S}{\upsilon}=250$$

Во втором случае мальчик быстрее попадет на остановку $B$.

Ответ: 250 с.