Подготовка к олимпиадам: относительность движения. 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «относительность движения».

Задача 1. Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск   мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на   с меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе? Ответ выразить в секундах, округлив до целых.

Если длина эскалатора , а скорость человека , то

– скорость эскалатора.

Для второй ситуации

Найти нам надо величину – это и будет временем пассивного спуска.

Приравняем правые части:

Откуда

Подставим в первое уравнение:

Или

Ответ: 90 с.

Задача 2. Собака в лесу погналась за зайцем. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние, которое собака пробегает за 5 скачков, равно расстоянию, которое заяц пробегает за 6 скачков? Начальное расстояние между собакой и зайцем равно 40 скачков собаки, а скачки собака и заяц делают одновременно.

Одно и то же расстояние собака преодолевает за 5 скачков, или за 5 единиц времени. Заяц – за шесть. Следовательно, скорость собаки

Скорость зайца –

Или

скорость зайца – , а скорость сближения собаки и зайца равна

Время погони –

Таким образом, придется 240 скачков собаке пробежать.

Ответ: 240.

Задача 3. В море при штиле навстречу друг другу плывут два мальчика. Скорость первого   км/ч, скорость второго   км/ч. Одновременно между ними плавает дельфин со скоростью   км/ч. Подплыв к одному из мальчиков, он тотчас поворачивает обратно к другому. Так он и плавает между сближающимися мальчиками. Определите путь, который проделает дельфин за время, в течение которого расстояние между мальчиками сократилось от   км до   м. Ответ выразить в км, округлив до целых.

Мальчики сближаются со скоростью 3 км/ч. В общей сложности проплыли они вместе 600 м. Посчитаем, сколько времени это отняло:

Все это время дельфин шнырял туда-сюда, поэтому проплыл

Ответ: 2 км.

Задача 4. По дороге, параллельной железнодорожным путям, едет велосипедист со скоростью   км/ч. Его догоняет поезд длинной   м и обгоняет за   с. Определите скорость поезда . Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Поезд протаскивает свою длину мимо велосипедиста. Сближаются поезд и велосипедист со скоростью

Тогда

Тогда

Ответ: 24 м/с.

Задача 5. Вдоль железной дороги через каждые  100 м расставлены столбики с номерами         1, 2, …, 10, 1, 2, …, 10, …. Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Известно, что скорость поезда меньше 100 км/ч. С какой максимальной скоростью мог ехать поезд? Ответ дать в м/мин, округлив до целых.

Поезд мог проехать 100 м – тогда машинист увидел бы следующий по порядку столбик. Если поезд проехал 1100 м – то машинист увидел столбик следующего километра. Он также мог увидеть столбик с цифрой 2 и через 2100 м, или через 3100. Определим скорость в каждом случае (кроме первого случая – для поезда маловато):

Это 33 км/ч.

Это 63 км/ч.

Это 93 км/ч.

Видимо, это и есть максимальная скорость, меньшая 100 км/ч.

Ответ: 93 км/ч.

Задача 6. Два автомобиля стартуют одновременно и движутся по прямолинейной дороге к финишу. Первый автомобиль первую половину времени своего движения до финиша движется со скоростью  км/ч, а вторую половину времени – со скоростью   км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения имеет скорость   км/ч, а вторую половину времени – скорость   км/ч. Какое максимальное расстояние  будет между автомобилями в процессе движения, если длина трассы  км? Ответ выразить в км, округлив до десятых.

Весь путь первого автомобиля

Весь путь второго

Таким образом, они финишируют одновременно.

На первой половине времени расстояние между автомобилями увеличивается постоянно. А на второй – постоянно уменьшается. Поэтому максимальное расстояние между ними – как раз по истечении первой половины времени.

Ответ: 2,5 км.

Задача 7. Петя ездит в школу на автобусе, который всегда ходит точно по расписанию. Его дом стоит на обочине дороги между остановками A и B на расстоянии   м от остановки A. Расстояние между остановками   м. Автобус едет в направлении от A к B с постоянной скоростью   м/с. Найдите, за какой минимальный промежуток времени Петя может добраться до пункта B, если он ходит со скоростью   м/с, а время, в течение которого автобус стоит на остановке, пренебрежимо мало по сравнению с нахождением Пети в пути. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Петя может идти от дома вдоль дороги до остановки , а потом ехать на автобусе до . Или он может идти сразу к остановке . Тогда в первом случае время равно

Во втором случае

Во втором случае мальчик быстрее попадет на остановку .

Ответ: 250 с.