Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Тепловой баланс

Подготовка к олимпиадам: мощность теплопередачи-1

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «мощность теплопередачи». Формулы мы будем использовать те же, это и классические формулы теплового баланса, и формулы для определения мощности теплопередачи, которые вы найдете в прошлой статье.

 

Задача 1. Для работы паровой установки расходуется  m=210 кг угля за  \tau=1 ч. Охлаждение машины осуществляется водой, которая на входе имеет температуру T_1=17^{\circ} C, а на выходе T_2=27^{\circ} C. Определите расход воды, если на её нагревание идет \eta=24\% общего количества теплоты. Ответ выразить в кг/c, округлив до целых. Удельная теплоёмкость воды в С_v=4200 Дж/кг\cdot ^{\circ} С, удельная теплота сгорания угля  q=30 МДж/кг.

На нагрев воды нужно потратить

    \[Q=c_v m_v \Delta t\]

Это тепло даст уголь, сгорая:

    \[Q=\eta m q\]

Скорость протекания воды будет

    \[\upsilon=\frac{m_v}{\tau}\]

Приравняем теплоты, выразим массу воды и подставим в последнее выражение:

    \[\eta m q=c_v m_v \Delta t\]

    \[m_v=\frac{\eta m q }{ c_v \Delta t }\]

    \[\upsilon=\frac{\eta m q }{ c_v \Delta t \tau }=\frac{0,24\cdot 210\cdot30\cdot10^6 }{ 4200\cdot10\cdot 3600}=10\]

Ответ: 10 м/с.

Задача 2. Весной хозяева решили протопить дачный домик. Для этого они включили электрический нагреватель, в результате чего температура воздуха в домике установилась t_1=12^{\circ} C. После включения дополнительного нагревателя в два раза большей мощности, температура в домике возросла до t_2=20^{\circ} C. Найти температуру атмосферного воздуха на дачном участке t_0, считая её постоянной. Ответ выразить в ^{\circ} С, округлив до целых.

Сначала работал один нагреватель:

    \[N=k(t_1-t_0)\]

А потом – два, причем мощность второго больше вдвое:

    \[3N= k(t_2-t_0)\]

Разделим второе на первое:

    \[3=\frac{ t_2-t_0}{ t_1-t_0}\]

Откуда

    \[t_0=\frac{3t_1-t_2}{2}=\frac{3\cdot12-20}{2}=8\]

Ответ: t_0=8^{\circ}.

Задача 3. Во время войны Пруссии и Дании (1864 г.) в ночном бою «при удачном попадании в бронированный борт броненосца видели сверкание внезапно раскалившегося ядра» (то есть нагрев больше, чем на \Delta T=700^{\circ} C). Оценить, какую скорость имели перед ударом железные ядра, если в тепло переходит почти \eta=80\% кинетической энергии. Известно, что половина из этой части расходуется на нагрев борта броненосца. Известно также, что передняя половина ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть. Удельная теплоёмкость железа  c_{Fe}=460  Дж/кг\cdot ^{\circ} С. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

По условию

    \[Q=\eta \cdot E_k=\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{2}\]

Только половина этого тепла пойдет на нагрев ядра (половина греет борт корабля):

    \[\frac{Q}{2}=\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{4}\]

Половина массы ядра нагреется на \Delta T=700^{\circ} C, а вторая половина – на \frac{\Delta T }{3}:

    \[\frac{Q}{2}= c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\frac{\Delta T }{3}+ c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\Delta T\]

Подставляем количество теплоты:

    \[\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{4}= c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\frac{\Delta T }{3}+ c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\Delta T\]

    \[\upsilon^2=\frac{ 8c_{Fe}\Delta T }{3\eta }\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{ 8c_{Fe}\Delta T }{3\eta }}=\sqrt{\frac{ 8\cdot460\cdot700 }{3\cdot0,8}}=1036\]

Ответ: 1036 м/с.

Задача 4.  Есть заполненный водой электрический чайник при температуре 20^{\circ} C. Его включают и нагревают до 30^{\circ} C, на это уходит  \tau_1=40 с. Затем воду быстро выливают, и вместо неё наливают такое же количество воды при температуре 20^{\circ} C. Однако теперь для того, чтобы нагреть до 30^{\circ} C, уходит уже  \tau_2=30 с. После этого опять воду быстро выливают, и наливают такое же количество воды при 10^{\circ} C. Сколько понадобится времени, чтобы нагреть её до 20^{\circ} C? Потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что температура воды и стенок чайника уравниваются очень быстро. Ответ выразить в c, округлив до целых.

Сначала греем и воду (на 10 градусов), и чайник:

    \[N\tau_1=cm\Delta t+Q_{ch}\]

Во второй раз чайник уже нагрет, и греем только воду (снова на 10 градусов):

    \[N\tau_2=cm\Delta t\]

В третий раз теплый чайник отдаст излишек  теплоты воде:

    \[N\tau_3=cm\Delta t-Q_{ch}\]

Определим Q_{ch}:

    \[\frac{\tau_2}{\tau_1}=\frac{ cm\Delta t }{ cm\Delta t + Q_{ch}}\]

Откуда по соотношению времен понимаем, что

    \[Q_{ch}}=\frac{1}{3} cm\Delta t\]

Тогда

    \[N\tau_3=cm\Delta t- \frac{1}{3} cm\Delta t=\frac{2}{3} cm\Delta t=\frac{2}{3} N\tau_2\]

    \[\tau_3=\frac{2}{3}\tau_2=20\]

Ответ: 20 с.

Задача 5. Для отопления дома горячая вода температуры t_1=80^{\circ} C подается в радиаторы по трубе площадью поперечного сечения  S_1=60 cм^2 со скоростью  \upsilon_1=2 м/с. При ремонте старую трубу заменили на новую с площадью поперечного сечения  S_2=55 cм^2. Какой должна быть скорость движения воды температуры t_2=85^{\circ} C по новой трубе, чтобы температура t_0=25^{\circ} C в доме не изменилась? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

До ремонта количество теплоты, отдаваемое водой, равно:

    \[Q_1=cm_1\Delta t_1\]

Масса воды

    \[m_1=\rho V=\rho l S_1\]

Расход воды

    \[\frac{m_1}{t}=\frac{\rho l S_1 }{t}=\rho S_1 \upsilon_1\]

Поэтому за время t дом получает количество тепла, равное

    \[\frac{Q_1}{t}=\frac{ cm_1\Delta t_1}{t}=c \rho S_1 \upsilon_1\Delta t_1\]

После ремонта

    \[\frac{Q_2}{t}=\frac{ cm_2\Delta t_2}{t}=c \rho S_2 \upsilon_2\Delta t_2\]

При сравнении чисел в (1) и (2) понимаем, что \upsilon_1=\upsilon_2.

Ответ: 2 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *