Подготовка к олимпиадам: мощность теплопередачи-1

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «мощность теплопередачи». Формулы мы будем использовать те же, это и классические формулы теплового баланса, и формулы для определения мощности теплопередачи, которые вы найдете в прошлой статье.

Задача 1. Для работы паровой установки расходуется  $m=210$ кг угля за  $\tau=1$ ч. Охлаждение машины осуществляется водой, которая на входе имеет температуру $T_1=17^{\circ}$ C, а на выходе $T_2=27^{\circ}$ C. Определите расход воды, если на её нагревание идет $\eta=24\%$ общего количества теплоты. Ответ выразить в кг/c, округлив до целых. Удельная теплоёмкость воды в $С_v=4200$ Дж/кг$\cdot ^{\circ}$ С, удельная теплота сгорания угля  $q=30$ МДж/кг.

На нагрев воды нужно потратить

$$Q=c_v m_v \Delta t$$

Это тепло даст уголь, сгорая:

$$Q=\eta m q$$

Скорость протекания воды будет

$$\upsilon=\frac{m_v}{\tau}$$

Приравняем теплоты, выразим массу воды и подставим в последнее выражение:

$$\eta m q=c_v m_v \Delta t$$

$$m_v=\frac{\eta m q }{ c_v \Delta t }$$

$$\upsilon=\frac{\eta m q }{ c_v \Delta t \tau }=\frac{0,24\cdot 210\cdot30\cdot10^6 }{ 4200\cdot10\cdot 3600}=10$$

Ответ: 10 м/с.

Задача 2. Весной хозяева решили протопить дачный домик. Для этого они включили электрический нагреватель, в результате чего температура воздуха в домике установилась $t_1=12^{\circ}$ C. После включения дополнительного нагревателя в два раза большей мощности, температура в домике возросла до $t_2=20^{\circ}$ C. Найти температуру атмосферного воздуха на дачном участке $t_0$, считая её постоянной. Ответ выразить в $^{\circ}$ С, округлив до целых.

Сначала работал один нагреватель:

$$N=k(t_1-t_0)$$

А потом – два, причем мощность второго больше вдвое:

$$3N= k(t_2-t_0)$$

Разделим второе на первое:

$$3=\frac{ t_2-t_0}{ t_1-t_0}$$

Откуда

$$t_0=\frac{3t_1-t_2}{2}=\frac{3\cdot12-20}{2}=8$$

Ответ: $t_0=8^{\circ}$.

Задача 3. Во время войны Пруссии и Дании (1864 г.) в ночном бою «при удачном попадании в бронированный борт броненосца видели сверкание внезапно раскалившегося ядра» (то есть нагрев больше, чем на $\Delta T=700^{\circ}$ C). Оценить, какую скорость имели перед ударом железные ядра, если в тепло переходит почти $\eta=80\%$ кинетической энергии. Известно, что половина из этой части расходуется на нагрев борта броненосца. Известно также, что передняя половина ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть. Удельная теплоёмкость железа  $c_{Fe}=460$  Дж/кг$\cdot ^{\circ}$ С. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

По условию

$$Q=\eta \cdot E_k=\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{2}$$

Только половина этого тепла пойдет на нагрев ядра (половина греет борт корабля):

$$\frac{Q}{2}=\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{4}$$

Половина массы ядра нагреется на $\Delta T=700^{\circ}$ C, а вторая половина – на $\frac{\Delta T }{3}$:

$$\frac{Q}{2}= c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\frac{\Delta T }{3}+ c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\Delta T$$

Подставляем количество теплоты:

$$\eta \cdot \frac{m \upsilon^2}{4}= c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\frac{\Delta T }{3}+ c_{Fe}\frac{m}{2}\cdot\Delta T$$

$$\upsilon^2=\frac{ 8c_{Fe}\Delta T }{3\eta }$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{ 8c_{Fe}\Delta T }{3\eta }}=\sqrt{\frac{ 8\cdot460\cdot700 }{3\cdot0,8}}=1036$$

Ответ: 1036 м/с.

Задача 4.  Есть заполненный водой электрический чайник при температуре $20^{\circ}$ C. Его включают и нагревают до $30^{\circ}$ C, на это уходит  $\tau_1=40$ с. Затем воду быстро выливают, и вместо неё наливают такое же количество воды при температуре $20^{\circ}$ C. Однако теперь для того, чтобы нагреть до $30^{\circ}$ C, уходит уже  $\tau_2=30$ с. После этого опять воду быстро выливают, и наливают такое же количество воды при $10^{\circ}$ C. Сколько понадобится времени, чтобы нагреть её до $20^{\circ}$ C? Потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что температура воды и стенок чайника уравниваются очень быстро. Ответ выразить в c, округлив до целых.

Сначала греем и воду (на 10 градусов), и чайник:

$$N\tau_1=cm\Delta t+Q_{ch}$$

Во второй раз чайник уже нагрет, и греем только воду (снова на 10 градусов):

$$N\tau_2=cm\Delta t$$

В третий раз теплый чайник отдаст излишек  теплоты воде:

$$N\tau_3=cm\Delta t-Q_{ch}$$

Определим $ Q_{ch}$:

$$\frac{\tau_2}{\tau_1}=\frac{ cm\Delta t }{ cm\Delta t + Q_{ch}}$$

Откуда по соотношению времен понимаем, что

$$Q_{ch}}=\frac{1}{3} cm\Delta t$$

Тогда

$$N\tau_3=cm\Delta t- \frac{1}{3} cm\Delta t=\frac{2}{3} cm\Delta t=\frac{2}{3} N\tau_2$$

$$\tau_3=\frac{2}{3}\tau_2=20$$

Ответ: 20 с.

Задача 5. Для отопления дома горячая вода температуры $t_1=80^{\circ}$ C подается в радиаторы по трубе площадью поперечного сечения  $S_1=60$ cм$^2$ со скоростью  $\upsilon_1=2$ м/с. При ремонте старую трубу заменили на новую с площадью поперечного сечения  $S_2=55$ cм$^2$. Какой должна быть скорость движения воды температуры $t_2=85^{\circ}$ C по новой трубе, чтобы температура $t_0=25^{\circ}$ C в доме не изменилась? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

До ремонта количество теплоты, отдаваемое водой, равно:

$$Q_1=cm_1\Delta t_1$$

Масса воды

$$m_1=\rho V=\rho l S_1$$

Расход воды

$$\frac{m_1}{t}=\frac{\rho l S_1 }{t}=\rho S_1 \upsilon_1$$

Поэтому за время $t$ дом получает количество тепла, равное

$$\frac{Q_1}{t}=\frac{ cm_1\Delta t_1}{t}=c \rho S_1 \upsilon_1\Delta t_1$$

После ремонта

$$\frac{Q_2}{t}=\frac{ cm_2\Delta t_2}{t}=c \rho S_2 \upsilon_2\Delta t_2$$

При сравнении чисел в (1) и (2) понимаем, что $\upsilon_1=\upsilon_2$.

Ответ: 2 м/с