Подготовка к олимпиадам: графические задачи на тепловой баланс, 8 класс.

[latexpage]

В задачах на тепловой баланс иногда часть информации дана в виде графика, и нужно уметь эту информацию извлечь из такой графической формы и перевести в числовую, такую, которую можно использовать для расчетов.

Задача 1. В небольшой чайник налита доверху теплая вода при температуре $t_1=30^{\circ}$ С. Чайник остывает на $\Delta t_0=1^{\circ}$ С за время  $\tau=5$ мин. Для того чтобы чайник не остыл, в него капают горячую воду с температурой $t_2=45^{\circ}$ С. Масса одной капли к $m_k=0,2$ г. На сколько градусов подогреется вода за одну минуту, если начать капать втрое чаще? Считать, что температура воды в чайнике выравнивается очень быстро. Лишняя вода выливается из носика. В чайник входит  $m=0,3$ кг воды. Температура окружающего воздуха $t_0=20^{\circ}$  С. Ответ выразить в $^{\circ}$ С, округлив до десятых.

Чайник за 300 с (5 минут) теряет $Q=cm\Delta t_0$ тепла. Капли должны компенсировать эти потери. При этом горячая вода остынет на $15^{\circ}$. Определим необходимую  массу горячей воды:

$$c m_v(t_2-t_1)= cm\Delta t_0$$

$$m_v=\frac{ m\Delta t_0}{ t_2-t_1}=\frac{ 0,3}{ 15}=0,02$$

Найдем, сколько это капель:

$$nm_k=m_v$$

$$n =\frac{ m_v }{ m_k}=\frac{0,02}{0,0002}=100$$

Эти капли должны попасть в чайник в течение 5 мин, следовательно, по 20 кап/мин. Капать втрое чаще – это по 60 кап/мин. Причем те же 20 будут покрывать потери тепла, и только добавочные $n_1=40$ – греть чайник. Тогда посчитаем, на сколько градусов нагреется чайник в этом случае:

$$c m_{v1}(t_2-t_1)= cm\Delta t$$

$$\Delta t=\frac{ m_{v1}(t_2-t_1)}{m}=\frac{ n_1m_k }(t_2-t_1)}{ m}=\frac{ 40\cdot0,0002(45-30)}{0,3}=0,4$$

Ответ: $\Delta t=0,4^{\circ}$.

Задача 2. В ведре находится смесь воды со льдом. Масса смеси  $M=10$ кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру смеси. Получившийся график зависимости $t(\tau)$ температуры от времени изображён на рисунке. Известны удельная теплоёмкость воды  $c=4200$ Дж/кг$\cdot^{\circ}$ С и теплота плавления льда  $\lambda=340$ кДж/кг. Определите, сколько льда было в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоёмкостью ведра пренебречь. Ответ выразить в  кг, округлив до десятых.

Рисунок 1

Температура не меняется, следовательно, лед тает. На это ушло 50 минут. На то, чтобы нагреть потом содержимое на $2^{\circ}$, ушло 10 минут при той же мощности теплопередачи. Поэтому на плавление пошло впятеро больше энергии, нежели чем на нагрев 10 кг воды на $2^{\circ}$, откуда

$$\lambda m_l=5 c m \Delta t$$

$$\frac{m_l}{m}=\frac{5c \Delta t }{\lambda }=\frac{5\cdot 4200\cdot 2}{340000}=0,123$$

Или $m_l=1,23$ кг.

Ответ: 1,2 кг.

Задача 3. В сосуде с водой плавает кусок льда массой  $m=0,5$ кг. Система находится в тепловом равновесии. Сколько тёплой воды при температуре $t=30^{\circ}$ С нужно добавить в сосуд, чтобы объём выступающей из воды части льда уменьшился в $n=2,4$ раза? Ответ выразить в кг, округлив до сотых.

Удельная теплоёмкость воды в $c=4200$ Дж/кг$\cdot^{\circ}$ С. Удельная теплота плавления льда  $\lambda=330$ кДж/кг.

Объем выступающей части всегда находится в одном и том же отношении к части подводной. Это следует из закона Архимеда. Поэтому то, что выступающая часть стала меньше в 2,4 раза, говорит о том, что весь объем уменьшился во столько же раз, а значит, и масса льда тоже сократилась в 2,4 раза. Тогда растаяло

$$m_l=m-\frac{m}{n}=0,5-\frac{0,5}{2,4}=0,292$$

На плавление такого количества льда нужно тепла

$$c m_v \Delta t=m_l\lambda$$

$$ m_v=\frac{ m_l\lambda }{ c \Delta t }=\frac{0,292\cdot330000}{4200\cdot30}=0,764$$

Ответ: $m_v=0,76$ кг.

Задача 4. На рисунке показано распределение температуры вдоль тонкого однородного теплоизолированного стержня длиной  $L=90$ см в некоторый момент времени. Какая температура стержня установится через достаточно долгое время? Ответ выразить в $^{\circ}$ C, округлив до целых.

Рисунок 2

Все количество теплоты, которым мы располагаем – это площадь под графиком (умноженная на некоторый коэффициент). Правая и левая части стержня будут остывать, отдавая тепло центральной части. При этом, если правая и левая остывают на градус, центральная должна нагреться на 2 градуса (теплообмена с окружающей средой нет, и тепло не теряется). Поэтому, чтобы не распределять теплоту «вручную», рискуя ошибиться,  просто определим имеющееся тепло и разделим его на все три части поровну. Воспользуемся при этом методом “теплового банка” – охладим все части стержня до нуля, поместив тепло в такой “банк”, а потом раздадим “всем сестрам по серьгам” – поровну каждой части стержня:

$$Q=cm_1\Delta t_1+ cm_1\Delta t_2+ cm_1\Delta t_3=cm(\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3)=cm(200+100+200)=500cm$$

$$\frac{Q}{3}=\frac{500cm}{3}$$

Тогда

$$\Delta t=\frac{500}{3}=167$$

Ответ: 167 градусов.