Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Равнопеременное движение

Подготовка к олимпиадам. 9 класс. Равноускоренное движение

Продолжаю серию статей, содержащих задачи  для подготовки  к олимпиадам. В этой статье преимущественно задачи на равноускоренное движение.

Задача 1. Мальчик четверть времени всего движения ехал на велосипеде со скоростью \upsilon=17 км/ч, а оставшийся участок шёл пешком со скоростью u=5~ км/ч. Какова его средняя скорость на всём пути? Ответ выразить в~ км/ч, округлив до целых.

Решение.

Пусть t— время, в течение которого мальчик двигался на велосипеде. Тогда 4t— общее время движения мальчика, а 3t— время, в течение которого он шёл пешком. Путь, пройденный мальчиком, равен

    \[S=\upsilon  t+u\cdot 3t.\]

Средняя скорость по определению есть весь путь, делённый на всё время движения. Тогда

    \[\upsilon _{sr}=\frac{S}{4t}=\frac{\upsilon }{4}+\frac{3u}{4}=8\]

Ответ: 8 км/ч.

 

Задача 2.Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Тормозной путь составил S=50 м, а скорость на середине тормозного пути была \upsilon =10 м/с. Сколько времени продолжалось торможение? Ответ выразить в  с, округлив до целых.

Решение.

Пусть \upsilon _0 — начальная скорость электрички, a — её ускорение. Тогда по формуле “без времени”

    \[\upsilon _0^2=2a\cdot S.\]

Для скорости в середине тормозного пути по той же формуле

    \[\upsilon ^2=2a\cdot \frac{S}{2}=\frac{\upsilon _0^2}{2}\]

Таким образом, начальная скорость электрички равна

    \[\upsilon _0=\sqrt {2}\upsilon.\]

Тормозной путь, пройденный электричкой, выражается через среднюю скорость

    \[S=\frac{\upsilon _0}{2}\cdot t,\]

откуда время торможения равно

    \[t=\frac{2S}{ \upsilon _0}=\sqrt {2}\frac{S}{ \upsilon }\approx1,41\frac{S}{ \upsilon }\approx 7\]

Ответ: 7 с.

Задача 3. Электричка отправилась точно по расписанию. Мимо выбежавшего на перрон пассажира как раз проезжает начало предпоследнего вагона. Он проезжает мимо остолбеневшего пассажира за t_1=8  с, а последний вагон~— за t_2=6~ с. На сколько опоздал пассажир? Ответ выразить в  с, округлив до целых. Считать, что электричка двигалась с постоянным ускорением, а двери электрички закрываются непосредственно перед отправлением за очень малый промежуток времени.

Решение.

Пусть L~— длина одного вагона электрички, \upsilon _0~— скорость электрички в момент появления пассажира на перроне, a~— её ускорение. Тогда для предпоследнего и последнего вагонов можно записать

    \[L=\upsilon _0\cdot t_1+\frac{a\cdot t_1^2}{2}=(\upsilon _0+ a\cdot t_1) \cdot t_2+\frac{a\cdot t_2^2}{2},\]

откуда

    \[\upsilon _0\cdot(t_1-t_2)=\frac{a}{2}\cdot(t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2).\]

Скорость электрички в момент прибытия пассажира равна \upsilon _0=a\cdot t. Получаем отсюда, что искомое время опоздания равно

    \[t=\frac{\upsilon _0}{a}=\frac{t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2}{2(t_1-t_2)}=17\]

Ответ: 17 с.

 

Задача 4. Поезд отошёл от станции и в течение t=20 с двигался равноускоренно. Найдите путь S, пройденный поездом за t=20 с, если известно, что за десятую секунду (n=10) он прошёл путь S_n=4,75 м. Ответ выразите в  м, округлив до целых. С каким ускорением при этом двигался поезд? Ответ выразите в м/c^2, округлив до десятых.

Решение.

Обозначим \tau=1с. Скорость перед началом десятой секунды равна

    \[\upsilon _{0}=a\cdot(n-1)\cdot\tau.\]

Путь за n-ю секунду можно записать как

    \[S_{n}=\upsilon _0\cdot \tau+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=a\cdot(n-1)\cdot\tau^{2}+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}\cdot (2n-1),\]

откуда ускорение поезда равно

    \[a=\frac{2S_n}{\tau^{2}\cdot (2n-1)}=0,5.\]

Путь, пройденный поездом, равен

    \[S=\frac{a\cdot t^{2}}{2}=\frac{S_n}{(2n-1)}\cdot \frac{t^2}{\tau^{2}}=100.\]

Ответ:  S=100 м,  a= 0,5 м/c^2.

 

Задача  5. Трамвай тормозит, двигаясь с постоянным ускорением. На каком расстоянии от места включения тормоза скорость трамвая станет равной \upsilon=24 км/ч, если в момент начала торможения его скорость была равна \upsilon_0=36 км/ч, а тормозной путь трамвая составил S=45 м? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Пусть x— искомое расстояние. Тогда по формуле “без времени”

    \[x=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon^2}{2a},~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

где a— ускорение трамвая.

Общий тормозной путь найдем по формуле

    \[S=\frac{\upsilon_0^2}{2a}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделив соотношение (1) на (2), получаем, что

    \[\frac{x}{S}=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon^2}{\upsilon_0^2}=1-\frac{\upsilon^2}{\upsilon_0^2},\]

откуда искомое расстояние равно

    \[x=\left(1-\frac{\upsilon^2}{\upsilon_0^2} \right) \cdot S=25.\]

Ответ: 25 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *