Подготовка к олимпиадам. 9 класс. Равноускоренное движение

Продолжаю серию статей, содержащих задачи для подготовки к олимпиадам. В этой статье преимущественно задачи на равноускоренное движение.

Задача 1. Мальчик четверть времени всего движения ехал на велосипеде со скоростью $\upsilon=17$ км/ч, а оставшийся участок шёл пешком со скоростью $u=5~$ км/ч. Какова его средняя скорость на всём пути? Ответ выразить в $~$ км/ч, округлив до целых.

Решение.

Пусть $t$ — время, в течение которого мальчик двигался на велосипеде. Тогда $4t$ — общее время движения мальчика, а $3t$ — время, в течение которого он шёл пешком. Путь, пройденный мальчиком, равен

$S=\upsilon t+u\cdot 3t.$

Средняя скорость по определению есть весь путь, делённый на всё время движения. Тогда

$\upsilon _{sr}=\frac{S}{4t}=\frac{\upsilon }{4}+\frac{3u}{4}=8$

Ответ: 8 км/ч.

Задача 2.Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Тормозной путь составил $S=50$ м, а скорость на середине тормозного пути была $\upsilon =10$ м/с. Сколько времени продолжалось торможение? Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

Пусть $\upsilon _0$ — начальная скорость электрички, $a$ — её ускорение. Тогда по формуле “без времени”

$\upsilon _0^2=2a\cdot S.$

Для скорости в середине тормозного пути по той же формуле

$\upsilon ^2=2a\cdot \frac{S}{2}=\frac{\upsilon _0^2}{2}$

Таким образом, начальная скорость электрички равна

$\upsilon _0=\sqrt {2}\upsilon.$

Тормозной путь, пройденный электричкой, выражается через среднюю скорость

$S=\frac{\upsilon _0}{2}\cdot t,$

откуда время торможения равно

$t=\frac{2S}{ \upsilon _0}=\sqrt {2}\frac{S}{ \upsilon }\approx1,41\frac{S}{ \upsilon }\approx 7$

Ответ: 7 с.

Задача 3. Электричка отправилась точно по расписанию. Мимо выбежавшего на перрон пассажира как раз проезжает начало предпоследнего вагона. Он проезжает мимо остолбеневшего пассажира за $t_1=8$ с, а последний вагон $~$ — за $t_2=6~$ с. На сколько опоздал пассажир? Ответ выразить в с, округлив до целых. Считать, что электричка двигалась с постоянным ускорением, а двери электрички закрываются непосредственно перед отправлением за очень малый промежуток времени.

Решение.

Пусть $L~$ — длина одного вагона электрички, $\upsilon _0~$ — скорость электрички в момент появления пассажира на перроне, $a~$ — её ускорение. Тогда для предпоследнего и последнего вагонов можно записать

$L=\upsilon _0\cdot t_1+\frac{a\cdot t_1^2}{2}=(\upsilon _0+ a\cdot t_1) \cdot t_2+\frac{a\cdot t_2^2}{2},$

откуда

$\upsilon _0\cdot(t_1-t_2)=\frac{a}{2}\cdot(t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2).$

Скорость электрички в момент прибытия пассажира равна $\upsilon _0=a\cdot t$ . Получаем отсюда, что искомое время опоздания равно

$t=\frac{\upsilon _0}{a}=\frac{t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2}{2(t_1-t_2)}=17$

Ответ: 17 с.

Задача 4. Поезд отошёл от станции и в течение $t=20$ с двигался равноускоренно. Найдите путь $S$ , пройденный поездом за $t=20$ с, если известно, что за десятую секунду $(n=10)$ он прошёл путь $S_n=4,75$ м. Ответ выразите в м, округлив до целых. С каким ускорением при этом двигался поезд? Ответ выразите в м/ $c^2$ , округлив до десятых.

Решение.

Обозначим $\tau=1$ с. Скорость перед началом десятой секунды равна

$\upsilon _{0}=a\cdot(n-1)\cdot\tau.$

Путь за $n$ -ю секунду можно записать как

$S_{n}=\upsilon _0\cdot \tau+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=a\cdot(n-1)\cdot\tau^{2}+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}\cdot (2n-1),$

откуда ускорение поезда равно

$a=\frac{2S_n}{\tau^{2}\cdot (2n-1)}=0,5.$

Путь, пройденный поездом, равен

$S=\frac{a\cdot t^{2}}{2}=\frac{S_n}{(2n-1)}\cdot \frac{t^2}{\tau^{2}}=100.$

Ответ: $S=100$ м, $a= 0,5$ м/ $c^2$ .

Задача 5. Трамвай тормозит, двигаясь с постоянным ускорением. На каком расстоянии от места включения тормоза скорость трамвая станет равной $\upsilon=24$ км/ч, если в момент начала торможения его скорость была равна $\upsilon_0=36$ км/ч, а тормозной путь трамвая составил $S=45$ м? Ответ выразить в м, округлив до целых.