Подготовка к олимпиадам, 8 класс. Средняя скорость

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «средняя скорость».

Задача 1. От дома до озера рыбак ехал  $t_1=15$ мин на велосипеде со скоростью  $\upsilon=16$ км/ч, потом  $t_2=20$ мин отдыхал, и ещё  $t_3=15$ мин шёл пешком со скоростью  $u=4$ км/ч. С какой средней скоростью он преодолел этот путь? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{\upsilon\cdot t_1+u\cdot t_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{16\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=6$$

Ответ: 6 км/ч

Задача 2. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью  $\upsilon_1=15$ км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью  $\upsilon_2=11$ км/ч, а затем до конца шёл пешком со скоростью  $\upsilon_3=4$км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста на всем пути. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Примем весь путь за $2S$, а оставшееся время – за $t$.

Определим среднюю скорость на второй половине пути:

$$\upsilon_{sr2}=\frac{S}{t}=\frac{\upsilon_2\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_3\cdot\frac{t}{2}}{t}=11\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{2}=7,5$$

Теперь можно найти среднюю скорость на всем пути:

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1}=\frac{2S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_{sr2}}}=\frac{2}{\frac{1}{2\cdot15}+\frac{1}{2\cdot7,5}}=\frac{30}{3}=10$$

Ответ: 10 км/ч.

Задача 3. Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью $\upsilon_1$, а оставшуюся часть пути со скоростью  $\upsilon_2=50$ км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всём пути  $\upsilon_{sr}=37,5$ км/ч. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

По определению средней скорости

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{2S}{3\upsilon_2}}$$

Тогда

$$\frac{1}{3\upsilon_1}+\frac{2}{3\upsilon_2}=\frac{1}{\upsilon_{sr}}$$

$$\frac{1}{3\upsilon_1}=\frac{1}{\upsilon_{sr}}-\frac{2}{3\upsilon_2}=\frac{2}{75}-\frac{1}{150}=\frac{1}{75}$$

Откуда $\upsilon_1=25$ км/ч

Задача 4. На учениях самолёт и вертолёт одновременно вылетают с военного аэродрома в сторону одной и той же цели, расстояние до которой  S=30 км и летят вдоль одной прямой. Самолёт, быстро выполнив задание, возвращается по прежнему пути назад, и встречает вертолёт в момент, когда тот пролетел лишь некоторую часть расстояния до цели. На каком расстоянии от аэродрома встретились самолёт и вертолёт, если вертолёт летел в n=5 раз медленнее самолёта? Ответ выразить в км, округлив до целых.

Так как самолет летит быстрее в 5 раз, то к моменту, когда он пролетит 30 км, вертолет будет в 6 км от базы. С этого момента они двигаются навстречу друг другу, и оставшиеся между ними 24 км разделят в отношении 1:5, то есть вертолет пролетит 4 км, а самолет – 20. Таким образом, встреча будет в 10 км от аэродрома.

Ответ: 10 км.

Задача 5. Катер двигался вниз по течению реки. Зависимость его скорости $\upsilon$ от времени $t$ приведена на рисунке.

Рисунок 1

Сколько времени он плыл с выключенным мотором, если весь путь катер преодолел за время  $\tau=16$ мин со средней скоростью $4u$, где $u$ – скорость течения реки? Ответ выразить в мин, округлив до целых.

Весь путь катера составляет $S=4u\cdot\tau$. Иначе его путь можно представить в виде двух слагаемых – пути с работающим мотором и с выключенным: $S=5u(16-x)+ux$.

$$ 4u\cdot\tau=5u(16-x)+ux$$

$$64u=80u-5ux+ux$$

$$16u=4ux$$

$$x=4$$

Ответ: 4 минуты.