Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Олимпиадная физика

Подготовка к олимпиадам, 8 класс. Средняя скорость

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «средняя скорость».

Задача 1. От дома до озера рыбак ехал  t_1=15 мин на велосипеде со скоростью  \upsilon=16 км/ч, потом  t_2=20 мин отдыхал, и ещё  t_3=15 мин шёл пешком со скоростью  u=4 км/ч. С какой средней скоростью он преодолел этот путь? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{\upsilon\cdot t_1+u\cdot t_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{16\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=6\]

Ответ: 6 км/ч

Задача 2. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью  \upsilon_1=15 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью  \upsilon_2=11 км/ч, а затем до конца шёл пешком со скоростью  \upsilon_3=4км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста на всем пути. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Примем весь путь за 2S, а оставшееся время – за t.

Определим среднюю скорость на второй половине пути:

    \[\upsilon_{sr2}=\frac{S}{t}=\frac{\upsilon_2\cdot\frac{t}{2}+\upsilon_3\cdot\frac{t}{2}}{t}=11\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{2}=7,5\]

Теперь можно найти среднюю скорость на всем пути:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1}=\frac{2S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_{sr2}}}=\frac{2}{\frac{1}{2\cdot15}+\frac{1}{2\cdot7,5}}=\frac{30}{3}=10\]

Ответ: 10 км/ч.

Задача 3. Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью \upsilon_1, а оставшуюся часть пути со скоростью  \upsilon_2=50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всём пути  \upsilon_{sr}=37,5 км/ч. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

По определению средней скорости

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{2S}{3\upsilon_2}}\]

Тогда

    \[\frac{1}{3\upsilon_1}+\frac{2}{3\upsilon_2}=\frac{1}{\upsilon_{sr}}\]

    \[\frac{1}{3\upsilon_1}=\frac{1}{\upsilon_{sr}}-\frac{2}{3\upsilon_2}=\frac{2}{75}-\frac{1}{150}=\frac{1}{75}\]

Откуда \upsilon_1=25 км/ч

Задача 4. На учениях самолёт и вертолёт одновременно вылетают с военного аэродрома в сторону одной и той же цели, расстояние до которой  S=30 км и летят вдоль одной прямой. Самолёт, быстро выполнив задание, возвращается по прежнему пути назад, и встречает вертолёт в момент, когда тот пролетел лишь некоторую часть расстояния до цели. На каком расстоянии от аэродрома встретились самолёт и вертолёт, если вертолёт летел в n=5 раз медленнее самолёта? Ответ выразить в км, округлив до целых.

Так как самолет летит быстрее в 5 раз, то к моменту, когда он пролетит 30 км, вертолет будет в 6 км от базы. С этого момента они двигаются навстречу друг другу, и оставшиеся между ними 24 км разделят в отношении 1:5, то есть вертолет пролетит 4 км, а самолет – 20. Таким образом, встреча будет в 10 км от аэродрома.

Ответ: 10 км.

Задача 5. Катер двигался вниз по течению реки. Зависимость его скорости \upsilon от времени t приведена на рисунке.

Рисунок 1

Сколько времени он плыл с выключенным мотором, если весь путь катер преодолел за время  \tau=16 мин со средней скоростью 4u, где u – скорость течения реки? Ответ выразить в мин, округлив до целых.

Весь путь катера составляет S=4u\cdot\tau. Иначе его путь можно представить в виде двух слагаемых – пути с работающим мотором и с выключенным: S=5u(16-x)+ux.

    \[ 4u\cdot\tau=5u(16-x)+ux\]

    \[64u=80u-5ux+ux\]

    \[16u=4ux\]

    \[x=4\]

Ответ: 4 минуты.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *