Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Плотность вещества

Подготовка к олимпиадам. 8 класс, плотность.

Здесь рассмотрим как простые задачи, так и уже продвинутые, предлагавшиеся на олимпиаде Максвелла, на финале. Все они так или иначе связаны с определением плотности, в том числе средней плотности.

Задача 1. Стеклянную пол-литровую банку  заполнили вареньем. Определите массу  пустой банки, если известно, что масса полной в полтора раза больше массы налитого варенья. Плотность варенья \rho=1500 кг/м^3.

Масса банки – это масса самой банки и варенья в ней:

    \[m=m_0+m_v\]

По условию

    \[m=\frac{3}{2}m_v\]

Следовательно,

    \[\frac{3}{2}m_v= m_0+m_v\]

    \[\frac{1}{2}m_v= m_0\]

Но

    \[m_v=\rho\cdot V\]

Тогда

    \[m_0=\frac{1}{2}\rho\cdot V=\frac{1}{2}\1500\cdot 0,5\cdot10^{-3}=0,375\]

Ответ: масса пустой банки равна 375 г.

Задача 2. Чему равна масса кубика плотностью \rho с ребром a, из которого вырезали кубик с ребром \frac{a}{2}?

Масса целого кубика

    \[m=\rho V=\rho a^3\]

Масса вырезанной части

    \[m_v=\rho V_v=\rho \left(\frac{a}{2}\right)^3=\frac{\rho a^3}{8}\]

Тогда

    \[m_0=m-m_v=\frac{7\rho a^3}{8}\]

Ответ: m_0=\frac{7\rho a^3}{8}.

Задача 3. Эйфелева башня в Париже высотой H=300 м имеет массу M=7200 т. Какую массу будет иметь модель этой башни высотой h=30 см, сделанная из вещества, плотность которого в 3 раза меньше плотности материала башни?

Размеры модели отличаются от оригинала в n раз:

    \[n=\frac{H}{h}=\frac{300}{0,3}=1000\]

Тогда объемы отличаются в n^3 раз. Тогда масса модели с учетом меньшей плотности модели меньше в  3 млрд раз. Разделим массу башни на 3 млрд, получим

    \[m=\frac{M}{n^3}=\frac{7200000}{3\cdot 10^9}=24\cdot10^{-3}\]

Таким образом, масса модели 24 г.

Ответ: 24 г.

 

Задача 4. В стеклянной пробке от графина, имеющей массу  10 г и объем 20 см^3, имеется полость. Определите объем этой полости.

Определим плотность стекла по таблице плотностей: \rho=1500 кг/м^3.

Масса стекла будет равна (V – полный объем, V_0 – объем полости):

    \[m=(V-V_0)\rho\]

    \[V_0=V-\frac{m}{\rho}=20\cdot10^{-6}-\frac{0,01}{1500}=13,3\cdot10^{-6}\]

Ответ: 13,3 см^3.

 

Задача 5. При каждой стирке хозяйка тратит одинаковую массу хозяйственного мыла. После 14 стирок брусок мыла уменьшился в 2 раза, то есть в 2 раза уменьшились его длина, ширина и высота. На сколько еще стирок хватит бруска?

Если все размеры бруска уменьшились в 2 раза, то его объем V уменьшился в 8 раз. То есть v=\frac{V}{8}. Иначе говоря, изменение объема куска составило \frac{7V}{8} – и этого хватило на 14 стирок. Тогда оставшегося хватит на две стирки.

Ответ: на 2.

Задача 6. Кусок сплава из свинца и олова имеет массу 664 г и плотность 8,3 г/см^3. Определите массу свинца в сплаве. Объем сплава равен сумме объемов его составляющих.

Пусть масса олова m_1, объем олова V_1. Массу свинца обозначим m_2, объем V_2.

Тогда масса куска складывается из масс обоих металлов:

    \[m=m_1+m_2\]

А объем – из обоих объемов:

    \[V=V_1+V_2\]

Запишем плотность сплава так:

    \[\rho =\frac{m}{ V}\]

    \[\rho =\frac{m}{ V_1+V_2}=\frac{m}{ \frac{m_1}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}}\]

Так как m_1=m-m_2, то

    \[\rho =\frac{m}{ \frac{m-m_2}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}}=\frac{m\rho_1\rho_2}{m\rho_2-m_2\rho_2+m_2\rho_1}\]

    \[\frac{m\rho_1\rho_2}{\rho}=m\rho_2+m_2(\rho_1-\rho_2)\]

    \[m_2=\frac{m\rho_2(\rho_1-\rho)}{\rho(\rho_1-\rho_2)}\]

Подставим числа:

    \[m_2= \frac{664\cdot11,3(7,3-8,3)}{8,3(7,3-11,3)}=226\]

Тогда m_1=664-226=438 г.

Ответ: 226 г.

Задача 7. Сплав состоит а) по массе  б) по объему из  1/4 олова и 3/4 свинца. Определите плотность этого сплава.

Первый случай: по массе. Тогда

    \[\frac{1}{4}m=m_1\]

    \[\frac{3}{4}m=m_2\]

Где m_1 – масса олова в сплаве, m_2 – масса свинца в сплаве.

Средняя плотность сплава

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{m}{V_1+V_2}=\frac{m}{\frac{m_1}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}}=\frac{m}{\frac{\frac{m}{4}}{\rho_1}+\frac{\frac{3m}{4}}{\rho_2}}=\frac{4\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}\]

Второй случай: по объему. Тогда

    \[\frac{1}{4}V=V_1\]

    \[\frac{3}{4}V=V_2\]

Где V_1 – объем олова в сплаве, V_2 – объем свинца в сплаве.

Средняя плотность сплава

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{m_1+m_2}{V}=\frac{\rho_1\cdot\frac{1}{4}V +\rho_2\cdot \frac{3}{4}V }{V}=\frac{\rho_1+3\rho_2}{4}\]

Ответ: а) \rho=\frac{4\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}, б) \rho=\frac{\rho_1+3\rho_2}{4}. Плотности можно посмотреть в таблице и подставить.

 

Задача 8. Золотая и серебряная монеты имеют одинаковые массы. Найдите объемы этих монет, если  они отличаются на 0,02 см^3.

Пусть m_1=m_2, m_1 – масса золотой монеты, m_2 – масса серебряной. Тогда

    \[\rho_1 V_1=\rho_2 V_2\]

    \[V_2=\frac{\rho_1}{\rho_2}V_1\]

Если \Delta V=V_2-V_1 (так как объем серебряной, очевидно, больше), то

    \[\Delta V=\frac{\rho_1}{\rho_2}V_1-V_1\]

    \[V_1 \frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_2}=\Delta V\]

Откуда

    \[V_1=\frac{\Delta V \rho_2}{\rho_1-\rho_2}=\frac{2\cdot10^{-8}\cdot 10500}{19300-10500}=2,4\cdot10^{-8}\]

Следовательно,

    \[V_2=\frac{\Delta V \rho_1}{\rho_1-\rho_2}=\frac{2\cdot10^{-8}\cdot 19300}{19300-10500}=4,4\cdot10^{-8}\]

Ответ: V_1=2,4\cdot10^{-8} м^3, V_2=4,4\cdot10^{-8} м^3.

 

Задача 9. Археологи обнаружили топор неандертальца, состоящий из деревянной ручки и каменного тесла. Известно, что дерево имеет плотность r_1 = 500 кг/м^3 и масса ручки топора  составляет шестую  часть от массы топора, а объём – половину от объёма топора. Найдите плотность камня r_2.

Найдем плотность ручки \rho_1:

    \[\rho_1=\frac{m_1}{V_1}=\frac{\frac{m}{6}}{\frac{V}{2}}=\frac{2m}{6V}=\frac{m}{3V}\]

Определим плотность тесла:

    \[\rho_2=\frac{m_2}{V_2}=\frac{\frac{5m}{6}}{\frac{V}{2}}=\frac{10m}{6V}=\frac{5m}{3V}=5\rho_1=5\cdot 500=2500\]

Ответ: \rho_2=2500 кг/м^3.

Задача 10. Высота уровня воды в цилиндрической бочке составляет h_1=1 м. В бочку аккуратно засыпали маленькие шарики. Оказалось, что вода точно покрывает шарики. При этом плотность образовавшейся «смеси» равна \rho= 4070 кг/м^3. Высота уровня воды в бочке с шариками составляет h_2 = 1,5 м, плотность воды \rho_0 = 1000 кг/м^3. Найдите \rho_2— плотность материала, из которого сделаны шарики.

Пусть масса воды равна m_1:

    \[m_1=V_1\rho_0=h_1 S\rho_0\]

Тогда, если после добавления шариков высота уровня изменилась, то объем шариков равен

    \[V_2=(h_2-h_1)S\]

Масса шариков равна разности массы всего содержимого и массы воды:

    \[m_2=h_2S\rho-m_1\]

Теперь отыщем плотность материала шариков:

    \[\rho_2=\frac{m_2}{V_2}=\frac{ h_2S\rho-m_1}{(h_2-h_1)S }=\frac{ h_2\rho- h_1 \rho_0}{h_2-h_1 }=\frac{ 1,5\cdot4070- 1 \cdot 1000}{0,5 }=10210\]

Ответ: \rho_2=10210 кг/м^3.

 

 

Задача 11. Сережа решил принять ванну. Он открыл кран, заткнул пробку, но вдруг вспомнил, что не решил задачу по физике. Вернулся он через 50 мин. По графику наполнения ванны определите ее вместимость и количество воды, которая вылилась на пол.

К задаче 11

Вместимость ванны очевидна: 200 л.

Скорость наполнения ванны равна (л/мин):

    \[\upsilon=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{200}{20}=10\]

Тогда объем воды на полу

    \[V=\upsilon(t_1-t_0)=10\cdot 30=300\]

Ответ: 300 л.

 

Задача 12. При производстве варенья в большой бак постепенно наливают сироп. В первую порцию имеющую плотность \rho_1 добавляют вторую, плотность которой \rho_2, затем третью с плотностью \rho_3. На графике показано как изменяется средняя плотность находящегося в баке сиропа по мере заполнения бака. К сожалению, на график капнули готовым вареньем, и часть информации пропала. Найдите массу каждой порции сиропа. Определите, до какого объема V_0 был заполнен бак к тому моменту, когда средняя плотность содержимого составляла \rho_0=1250 кг/м^3?

К задаче 12

На графике хорошо виден первый излом. До него плотность не менялась: это наливали первый сироп. Поэтому массу первого сиропа можно определить:

    \[m_1=\rho_1V_1\]

Здесь V_1=10 л – определили по графику там, где место излома, \rho_{1sr}=\rho_1=1200 кг/м^3  – это и текущая средняя плотность, и одновременно плотность первого сиропа (потому что кроме него пока ничего и нет).

    \[m_1=\rho_1V_1=1200\cdot10\cdot10^{-3}=12\]

Виден также второй излом. Там закончили наливать второй сироп: то есть в баке сумма масс первого и второго сиропов:

    \[m_1+m_2=\rho_{2sr}\cdot V_2\]

\rho_{2sr}=1300 кг/м^3, V_2=20 л.

    \[m_1+m_2=1300\cdot20\cdot10^{-3}=26\]

Тогда

    \[m_2=(m_1+m_2)-m_1=26-12=14\]

Понятно, что, раз далее плотность не меняется, плотность третьего сиропа совпадает со средней плотностью смеси: \rho_3=\rho_{2sr}=1300 кг/м^3.

Тогда

    \[m_1+m_2+m_3=\rho_3 V_3\]

V_3=30 л, находим сумму масс сиропов:

    \[m_1+m_2+m_3=\rho_3 V_3=1300\ cdot30\cdot10^{-3}=39\]

И масса третьего сиропа

    \[m_3=39-26=13\]

Определим плотность второго сиропа – мы этого еще не сделали:

    \[\rho_2=\frac{m_2}{V_2-V_1}=\frac{14}{10\cdot10^{-3}}=1400\]

Осталось найти V_0.

Запишем среднюю плотность на тот момент:

    \[\rho_0=\frac{m}{V_0}\]

А чему равна масса? К этому моменту налили первый сироп и еще немного второго: m=m_1+\rho_2(V_0-V_1).

    \[\rho_0=\frac{ m_1+\rho_2(V_0-V_1)}{V_0}\]

    \[\rho_0 V_0= m_1+\rho_2V_0- \rho_2 V_1\]

    \[(\rho_2-\rho_0) V_0=\rho_2 V_1-m_1\]

    \[V_0=\frac{\rho_2 V_1-m_1}{\rho_2-\rho_0}=\frac{1400\cdot0,01-12}{1400-1250}=13,3\cdot10^{-3}\]

Ответ: m_1=12 кг, m_2=14 кг, m_3=13 кг, \rho_1=1200 кг/м^3,\rho_2=1400 кг/м^3,\rho_1=1300 кг/м^3, V_0=13,3 л.

 

Задача 13. Мензурка была частично заполнена водой (рис. слевa) В неё полностью погрузили камушек на ниточке, не касаясь дна. Часть воды при этом вылилась. Камушек вынули. В мензурке остался новый объем воды (рис. справа). Чему равна плотность камня, если его масса 56 г?

К задаче 13

Камень вытеснил из мензурки объем воды, равный собственному объему. Ну и пусть часть воды вылилась! Если камень потом удалили, то разность объема полной мензурки и того, что в ней осталось после удаления камня, и есть его объем. То есть первый рисунок нам не нужен, а нужен второй. По нему определяем объем камня (мл):

    \[V=60-42=18\]

Тогда плотность камня равна

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{56\cdot10^{-3}}{18\cdot10^{-6}}=3100\]

Ответ: 3100 кг/м^3.

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *