Плотность вещества – задачи посложнее.

[latexpage]

В этой записи подобраны более сложные задачи, связанные с плотностью. Если вы впервые пробуете решать задачи на эту тему, то советую вам начать с более простых задач.

Задача 1. Стакан, заполненный до краев водой, имеет массу $m_1 = 214,6$ г. Когда в этот стакан с водой поместили небольшой камень массой 29,8 г и часть воды вылилась наружу, масса стакана с содержимым оказалась равной $m_2 = 232$ г.  Определить плотность вещества камня.

Представим себе четко, что произошло: когда камень опустили в стакан, то масса стакана стала больше на 29,8 г, но, так как часть воды вылилась, то масса уменьшилась на величину массы вытесненной камнем воды:

$$m_2=m_1+m_k-m_{vod}$$

где $m_k=29,8$- масса камня, $m_{vod}$ – масса вытесненной воды.

То есть, вычтя массу камня из получившейся массы стакана с водой и камнем $m_2$, мы определим, сколько же воды (по массе) осталось в стакане, а сколько воды вылилось можно узнать, вычтя эту разность из первоначальной массы стакана с водой $m_1$:

$$m_1-(m_2-m_k)=m_{vod}$$

$$m_{vod}=214,6-(232-29,8)=12,4$$

Такая масса воды – 12,4 г – занимает объем 12,4 см$^3$ – это можно определить, зная плотность воды: 1000 кг/м$^3$. Понятно, что объем вытесненной воды равен объему камня, и тогда мы легко находим плотность камня:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{29,8}{12,4}=2,4$$

Мы получили плотность камня в г/см$^3$, можно представить ее и в кг/м$^3$ – 2400 кг/м$^3$

Задача 2. В сосуд, заполненный водой, бросают кусок  алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из сосуда, масса его с оставшейся водой и куском сплава увеличилась на 25 г. Когда вместо воды использовали жидкое масло плотностью $0,9$ г/см $^3$ и повторили измерения, то масса сосуда с маслом и куском сплава увеличилась на 26 г. Определите плотность сплава.

Пусть масса сосуда с водой – $m$. Тогда можно записать, что после того, как к $m$ добавили массу сплава $m_s$  и вылилась вытесненная вода массой $m_v$, масса $m$ увеличилась на 25 г:

$$m+25=m+m_s-m_v$$

или $25=m_s-m_v$                                  (*)

То же самое произошло и с маслом, пусть его масса $m_m$:

$$m_m+26=m_m+m_s-m_{vm}$$

или $26=m_s-m_{vm}$, где  $m_{vm}$ – масса вытесненного масла.

Получили систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{25=m_s-m_v}\\{26=m_s-m_{vm}}\end{matrix}$$

и вычтем первое уравнение из второго:

$1=m_v-m_{vm}$                                                     (**)

Масса вытесненной воды в первом случае равна произведению ее плотности на объем:

$$m_v=\rho_v \cdot V$$

Здесь $V$ – объем вытесненной жидкости, он равен объему сплава и одинаков в обоих случаях.

Масса вытесненного масла во втором случае равна произведению его плотности на тот же объем:

$$m_{vm}=\rho_m \cdot V$$

Подставим эти выражения в (**):

$1=\rho_v \cdot V-\rho_m \cdot V$, или $1=V \cdot (\rho_v -\rho_m)$

Из этого выражения мы определим объем сплава, он же – объем вытесненной воды, следовательно, мы узнаем, какова масса вытесненной воды:

$V=\frac {1}{\rho_v -\rho_m}=\frac {1}{1-0,9}=10$ см$^3$ – все величины в этой задаче не соответствуют системе СИ, подставляем граммы, г/см$^3$, см$^3$…

Таким образом, объем сплава (и объем вытесненной воды) равен 10 см$^3$, а такой объем воды весит $m_v=\rho_v \cdot V=1 \cdot 10=10$ грамм.

Тогда можно определить массу сплава из (*):

$m_s=25+m_v=25+10=35$   грамм, откуда плотность сплава равна $\rho_s=\frac{m_s}{V}=\frac{35}{10}=3,5$ г/см$^3$, или 3500 кг/м$^3$

Задача 3. Тщательным совместным растиранием смешано по 100 г парафина,  буры и воска. Какова средняя плотность получившейся смеси, если плотность этих веществ равна соответственно  $0,9$ г/см$^3$, $1,7$ г/см$^3$, и $1,0$ г/см$^3$?

Средняя плотность вычисляется так же, как и средняя скорость, только там мы делим весь путь на все время, а тут – всю массу на весь объем. Таким образом, $\rho=\frac{3m}{V}$, где $m=0,1$ кг.

Определим объем каждой из составляющих:

$V_{par}=\frac{m}{\rho_{par}}$

$V_{vosk}=\frac{m}{\rho_{vosk}}$

$V_{bur}=\frac{m}{\rho_{bur}}$

Полный объем полученной смеси равен $V=V_{par}+V_{vosk}+V_{bur}=\frac{m}{\rho_{par}}+\frac{m}{\rho_{vosk}}+\frac{m}{\rho_{bur}}=m\cdot(\frac{1}{\rho_{par}}+\frac{1}{\rho_{vosk}}+\frac{1}{\rho_{bur}})$

Полученное выражение для объема подставим в $\rho=\frac{3m}{V}$, получим:

$\rho=\frac{3}{\frac{1}{\rho_{par}}+\frac{1}{\rho_{vosk}}+\frac{1}{\rho_{bur}}}=\frac{3}{\frac{1}{0,9}+\frac{1}{1,7}+\frac{1}{1}}=1,11$  г/см$^3$

Задача 4. В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а его средняя плотность $8$ г/см$^3$. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца $2,65$ г/см$^3$, а плотность золота $19,4$ г/см$^3$.

Будем рассуждать так: пусть даны средняя плотность и масса – что это нам дает? Это дает нам возможность найти объем. Это будет общий, суммарный, объем кварца и золотого самородка в нем:

$V=\frac{m}{\rho}=V_{kv}+V_{zol}$

С другой стороны, сумма масс золота и кварца – это масса всего куска:

$m_{kv}+m_{zol}=m$

Тогда средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

$\rho=\frac{m_{kv}+m_{zol}}{V_{kv}+V_{zol}}$

Выразим объемы кварца и золота через плотности и массы:

$V_{kv}=\frac{m_{kv}}{\rho_{kv}}$, $V_{zol}=\frac{m_{zol}}{\rho_{zol}}$, подставим:

$\rho=\frac{m_{kv}+m_{zol}}{\frac{m_{kv}}{\rho_{kv}}+\frac{m_{zol}}{\rho_{zol}}}$

В знаменателе – сумма дробей, приведем эту сумму к общему знаменателю:

$\rho=\frac{(m_{kv}+m_{zol})\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}}{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+{m_{zol}}\cdot{\rho_{kv}}}$

В числителе сумму $m_{kv}+m_{zol}$ можно заменить на $m=100$, в знаменателе вместо $m_{zol}$  подставим $100-m_{kv}$, тогда:

$\rho=\frac{100\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}}{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+(100-m_{kv})\cdot{\rho_{kv}}}$

$100\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}=\rho \cdot{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+\rho \cdot (100-m_{kv})\cdot{\rho_{kv}}}$

После подстановки известных плотностей золота и кварца найдем единственную неизвестную в этом уравнении: массу кварца, получим $m_{kv}=22,54$ г, тогда $m_{zol}=100-22,54=77,46$ г. Задача решена.