Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Плотность вещества

Плотность вещества – задачи посложнее.



В этой записи подобраны более сложные задачи, связанные с плотностью. Если вы впервые пробуете решать задачи на эту тему, то советую вам начать с более простых задач.

Задача 1. Стакан, заполненный до краев водой, имеет массу m_1 = 214,6 г. Когда в этот стакан с водой поместили небольшой камень массой 29,8 г и часть воды вылилась наружу, масса стакана с содержимым оказалась равной m_2 = 232 г.  Определить плотность вещества камня.


 

Представим себе четко, что произошло: когда камень опустили в стакан, то масса стакана стала больше на 29,8 г, но, так как часть воды вылилась, то масса уменьшилась на величину массы вытесненной камнем воды:

    \[m_2=m_1+m_k-m_{vod}\]

где m_k=29,8– масса камня, m_{vod} – масса вытесненной воды.

То есть, вычтя массу камня из получившейся массы стакана с водой и камнем m_2, мы определим, сколько же воды (по массе) осталось в стакане, а сколько воды вылилось можно узнать, вычтя эту разность из первоначальной массы стакана с водой m_1:

    \[m_1-(m_2-m_k)=m_{vod}\]

    \[m_{vod}=214,6-(232-29,8)=12,4\]

Такая масса воды – 12,4 г – занимает объем 12,4 см^3 – это можно определить, зная плотность воды: 1000 кг/м^3. Понятно, что объем вытесненной воды равен объему камня, и тогда мы легко находим плотность камня:

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{29,8}{12,4}=2,4\]

Мы получили плотность камня в г/см^3, можно представить ее и в кг/м^3 – 2400 кг/м^3

Задача 2. В сосуд, заполненный водой, бросают кусок  алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из сосуда, масса его с оставшейся водой и куском сплава увеличилась на 25 г. Когда вместо воды использовали жидкое масло плотностью 0,9 г/см ^3 и повторили измерения, то масса сосуда с маслом и куском сплава увеличилась на 26 г. Определите плотность сплава.


 

Пусть масса сосуда с водой – m. Тогда можно записать, что после того, как к m добавили массу сплава m_s  и вылилась вытесненная вода массой m_v, масса m увеличилась на 25 г:

    \[m+25=m+m_s-m_v\]

или 25=m_s-m_v                                  (*)

То же самое произошло и с маслом, пусть его масса m_m:

    \[m_m+26=m_m+m_s-m_{vm}\]

или 26=m_s-m_{vm}, где  m_{vm} – масса вытесненного масла.

Получили систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{25=m_s-m_v}\\{26=m_s-m_{vm}}\end{matrix}\]

и вычтем первое уравнение из второго:

1=m_v-m_{vm}                                                     (**)

Масса вытесненной воды в первом случае равна произведению ее плотности на объем:

    \[m_v=\rho_v \cdot V\]

Здесь V – объем вытесненной жидкости, он равен объему сплава и одинаков в обоих случаях.

Масса вытесненного масла во втором случае равна произведению его плотности на тот же объем:

    \[m_{vm}=\rho_m \cdot V\]

Подставим эти выражения в (**):

1=\rho_v \cdot V-\rho_m \cdot V, или 1=V \cdot (\rho_v -\rho_m)

Из этого выражения мы определим объем сплава, он же – объем вытесненной воды, следовательно, мы узнаем, какова масса вытесненной воды:

V=\frac {1}{\rho_v -\rho_m}=\frac {1}{1-0,9}=10 см^3 – все величины в этой задаче не соответствуют системе СИ, подставляем граммы, г/см^3, см^3

Таким образом, объем сплава (и объем вытесненной воды) равен 10 см^3, а такой объем воды весит m_v=\rho_v \cdot V=1 \cdot 10=10 грамм.

Тогда можно определить массу сплава из (*):

m_s=25+m_v=25+10=35   грамм, откуда плотность сплава равна \rho_s=\frac{m_s}{V}=\frac{35}{10}=3,5 г/см^3, или 3500 кг/м^3

 



Задача 3. Тщательным совместным растиранием смешано по 100 г парафина,  буры и воска. Какова средняя плотность получившейся смеси, если плотность этих веществ равна соответственно  0,9 г/см^3, 1,7 г/см^3, и 1,0 г/см^3?


 

Средняя плотность вычисляется так же, как и средняя скорость, только там мы делим весь путь на все время, а тут – всю массу на весь объем. Таким образом, \rho=\frac{3m}{V}, где m=0,1 кг.

Определим объем каждой из составляющих:

V_{par}=\frac{m}{\rho_{par}}

V_{vosk}=\frac{m}{\rho_{vosk}}

V_{bur}=\frac{m}{\rho_{bur}}

Полный объем полученной смеси равен V=V_{par}+V_{vosk}+V_{bur}=\frac{m}{\rho_{par}}+\frac{m}{\rho_{vosk}}+\frac{m}{\rho_{bur}}=m\cdot(\frac{1}{\rho_{par}}+\frac{1}{\rho_{vosk}}+\frac{1}{\rho_{bur}})

Полученное выражение для объема подставим в \rho=\frac{3m}{V}, получим:

\rho=\frac{3}{\frac{1}{\rho_{par}}+\frac{1}{\rho_{vosk}}+\frac{1}{\rho_{bur}}}=\frac{3}{\frac{1}{0,9}+\frac{1}{1,7}+\frac{1}{1}}=1,11  г/см^3

Задача 4. В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а его средняя плотность 8 г/см^3. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца 2,65 г/см^3, а плотность золота 19,4 г/см^3.


 

Будем рассуждать так: пусть даны средняя плотность и масса – что это нам дает? Это дает нам возможность найти объем. Это будет общий, суммарный, объем кварца и золотого самородка в нем:

V=\frac{m}{\rho}=V_{kv}+V_{zol}

С другой стороны, сумма масс золота и кварца – это масса всего куска:

m_{kv}+m_{zol}=m

Тогда средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

\rho=\frac{m_{kv}+m_{zol}}{V_{kv}+V_{zol}}

Выразим объемы кварца и золота через плотности и массы:

V_{kv}=\frac{m_{kv}}{\rho_{kv}}V_{zol}=\frac{m_{zol}}{\rho_{zol}}, подставим:

\rho=\frac{m_{kv}+m_{zol}}{\frac{m_{kv}}{\rho_{kv}}+\frac{m_{zol}}{\rho_{zol}}}

В знаменателе – сумма дробей, приведем эту сумму к общему знаменателю:

\rho=\frac{(m_{kv}+m_{zol})\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}}{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+{m_{zol}}\cdot{\rho_{kv}}}

В числителе сумму m_{kv}+m_{zol} можно заменить на m=100, в знаменателе вместо m_{zol}  подставим 100-m_{kv}, тогда:

\rho=\frac{100\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}}{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+(100-m_{kv})\cdot{\rho_{kv}}}

100\cdot {\rho_{zol}} \cdot{\rho_{kv}}=\rho \cdot{{m_{kv}}\cdot{\rho_{zol}}+\rho \cdot (100-m_{kv})\cdot{\rho_{kv}}}

После подстановки известных плотностей золота и кварца найдем единственную неизвестную в этом уравнении: массу кварца, получим m_{kv}=22,54 г, тогда m_{zol}=100-22,54=77,46 г. Задача решена.



Комментариев - 2

  • Ера
    |

    В задаче про кварц и золото в последнем уравненении где взять массу золота?

    Ответить
    • Анна
      |

      Исправила незамеченную опечатку благодаря вам, там будет только масса кварца – единственная неизвестная.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *