В этой записи подобраны более сложные задачи, связанные с плотностью. Если вы впервые пробуете решать задачи на эту тему, то советую вам начать с более простых задач.
Задача 1. Стакан, заполненный до краев водой, имеет массу г. Когда в этот стакан с водой поместили небольшой камень массой 29,8 г и часть воды вылилась наружу, масса стакана с содержимым оказалась равной
г. Определить плотность вещества камня.
Представим себе четко, что произошло: когда камень опустили в стакан, то масса стакана стала больше на 29,8 г, но, так как часть воды вылилась, то масса уменьшилась на величину массы вытесненной камнем воды:
где – масса камня,
– масса вытесненной воды.
То есть, вычтя массу камня из получившейся массы стакана с водой и камнем , мы определим, сколько же воды (по массе) осталось в стакане, а сколько воды вылилось можно узнать, вычтя эту разность из первоначальной массы стакана с водой
:
Такая масса воды – 12,4 г – занимает объем 12,4 см – это можно определить, зная плотность воды: 1000 кг/м
. Понятно, что объем вытесненной воды равен объему камня, и тогда мы легко находим плотность камня:
Мы получили плотность камня в г/см, можно представить ее и в кг/м
– 2400 кг/м
Задача 2. В сосуд, заполненный водой, бросают кусок алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из сосуда, масса его с оставшейся водой и куском сплава увеличилась на 25 г. Когда вместо воды использовали жидкое масло плотностью г/см
и повторили измерения, то масса сосуда с маслом и куском сплава увеличилась на 26 г. Определите плотность сплава.
Пусть масса сосуда с водой – . Тогда можно записать, что после того, как к
добавили массу сплава
и вылилась вытесненная вода массой
, масса
увеличилась на 25 г:
или (*)
То же самое произошло и с маслом, пусть его масса :
или , где
– масса вытесненного масла.
Получили систему уравнений:
и вычтем первое уравнение из второго:
(**)
Масса вытесненной воды в первом случае равна произведению ее плотности на объем:
Здесь – объем вытесненной жидкости, он равен объему сплава и одинаков в обоих случаях.
Масса вытесненного масла во втором случае равна произведению его плотности на тот же объем:
Подставим эти выражения в (**):
, или
Из этого выражения мы определим объем сплава, он же – объем вытесненной воды, следовательно, мы узнаем, какова масса вытесненной воды:
см
– все величины в этой задаче не соответствуют системе СИ, подставляем граммы, г/см
, см
…
Таким образом, объем сплава (и объем вытесненной воды) равен 10 см, а такой объем воды весит
грамм.
Тогда можно определить массу сплава из (*):
грамм, откуда плотность сплава равна
г/см
, или 3500 кг/м
Задача 3. Тщательным совместным растиранием смешано по 100 г парафина, буры и воска. Какова средняя плотность получившейся смеси, если плотность этих веществ равна соответственно г/см
,
г/см
, и
г/см
?
Средняя плотность вычисляется так же, как и средняя скорость, только там мы делим весь путь на все время, а тут – всю массу на весь объем. Таким образом, , где
кг.
Определим объем каждой из составляющих:
Полный объем полученной смеси равен
Полученное выражение для объема подставим в , получим:
г/см
Задача 4. В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а его средняя плотность г/см
. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца
г/см
, а плотность золота
г/см
.
Будем рассуждать так: пусть даны средняя плотность и масса – что это нам дает? Это дает нам возможность найти объем. Это будет общий, суммарный, объем кварца и золотого самородка в нем:
С другой стороны, сумма масс золота и кварца – это масса всего куска:
Тогда средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:
Выразим объемы кварца и золота через плотности и массы:
,
, подставим:
В знаменателе – сумма дробей, приведем эту сумму к общему знаменателю:
В числителе сумму можно заменить на
, в знаменателе вместо
подставим
, тогда:
После подстановки известных плотностей золота и кварца найдем единственную неизвестную в этом уравнении: массу кварца, получим г, тогда
г. Задача решена.
Комментариев - 2
В задаче про кварц и золото в последнем уравненении где взять массу золота?
Исправила незамеченную опечатку благодаря вам, там будет только масса кварца – единственная неизвестная.