Плотность вещества – задачи посложнее.

В этой записи подобраны более сложные задачи, связанные с плотностью. Если вы впервые пробуете решать задачи на эту тему, то советую вам начать с более простых задач.

Задача 1. Стакан, заполненный до краев водой, имеет массу г. Когда в этот стакан с водой поместили небольшой камень массой 29,8 г и часть воды вылилась наружу, масса стакана с содержимым оказалась равной г.  Определить плотность вещества камня.

Представим себе четко, что произошло: когда камень опустили в стакан, то масса стакана стала больше на 29,8 г, но, так как часть воды вылилась, то масса уменьшилась на величину массы вытесненной камнем воды:

где – масса камня, – масса вытесненной воды.

То есть, вычтя массу камня из получившейся массы стакана с водой и камнем , мы определим, сколько же воды (по массе) осталось в стакане, а сколько воды вылилось можно узнать, вычтя эту разность из первоначальной массы стакана с водой :

Такая масса воды – 12,4 г – занимает объем 12,4 см – это можно определить, зная плотность воды: 1000 кг/м. Понятно, что объем вытесненной воды равен объему камня, и тогда мы легко находим плотность камня:

Мы получили плотность камня в г/см, можно представить ее и в кг/м – 2400 кг/м

Задача 2. В сосуд, заполненный водой, бросают кусок  алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из сосуда, масса его с оставшейся водой и куском сплава увеличилась на 25 г. Когда вместо воды использовали жидкое масло плотностью г/см и повторили измерения, то масса сосуда с маслом и куском сплава увеличилась на 26 г. Определите плотность сплава.

Пусть масса сосуда с водой – . Тогда можно записать, что после того, как к добавили массу сплава  и вылилась вытесненная вода массой , масса увеличилась на 25 г:

или                                  (*)

То же самое произошло и с маслом, пусть его масса :

или , где   – масса вытесненного масла.

Получили систему уравнений:

и вычтем первое уравнение из второго:

                                                    (**)

Масса вытесненной воды в первом случае равна произведению ее плотности на объем:

Здесь – объем вытесненной жидкости, он равен объему сплава и одинаков в обоих случаях.

Масса вытесненного масла во втором случае равна произведению его плотности на тот же объем:

Подставим эти выражения в (**):

, или 

Из этого выражения мы определим объем сплава, он же – объем вытесненной воды, следовательно, мы узнаем, какова масса вытесненной воды:

см – все величины в этой задаче не соответствуют системе СИ, подставляем граммы, г/см, см…

Таким образом, объем сплава (и объем вытесненной воды) равен 10 см, а такой объем воды весит грамм.

Тогда можно определить массу сплава из (*):

  грамм, откуда плотность сплава равна г/см, или 3500 кг/м

Задача 3. Тщательным совместным растиранием смешано по 100 г парафина,  буры и воска. Какова средняя плотность получившейся смеси, если плотность этих веществ равна соответственно  г/см, г/см, и г/см?

Средняя плотность вычисляется так же, как и средняя скорость, только там мы делим весь путь на все время, а тут – всю массу на весь объем. Таким образом, , где кг.

Определим объем каждой из составляющих:

Полный объем полученной смеси равен

Полученное выражение для объема подставим в , получим:

 г/см

Задача 4. В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а его средняя плотность г/см. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца г/см, а плотность золота г/см.

Будем рассуждать так: пусть даны средняя плотность и масса – что это нам дает? Это дает нам возможность найти объем. Это будет общий, суммарный, объем кварца и золотого самородка в нем:

С другой стороны, сумма масс золота и кварца – это масса всего куска:

Тогда средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

Выразим объемы кварца и золота через плотности и массы:

, , подставим:

В знаменателе – сумма дробей, приведем эту сумму к общему знаменателю:

В числителе сумму  можно заменить на , в знаменателе вместо   подставим , тогда:

После подстановки известных плотностей золота и кварца найдем единственную неизвестную в этом уравнении: массу кварца, получим г, тогда г. Задача решена.