Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Молекулярно-кинетическая теория, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Плотность смеси газов

Предлагаю три интересные задачи из задачника Иродова. Тема – МКТ, смеси газов, закон Дальтона, уравнение Менделеева-Клапейрона.

Задача 1. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений \Delta p \geqslant 1,1 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом – идеальный газ при температуре t_1=27^{\circ} C  и давлении p_1=1,00 атм. Затем оба баллона нагрели до температуры t_2=107^{\circ} C. Найти давление газа в сосуде, где был вакуум.

Решение. Количество вещества сохраняется. То есть в двух сосудах в конце процесса (\nu_1+\nu_2) столько же вещества, как в одном в начале (\nu). Пусть давление в первоначально пустом сосуде равно p_x, тогда в соседнем – p_x+\Delta p. То есть

    \[\nu_1=\frac{p_xV}{RT_2}\]

    \[\nu_2=\frac{(p_x+\Delta p)V}{RT_2}\]

Тогда

    \[\frac{p_1V}{RT_1}=\frac{p_xV}{RT_2}+\frac{(p_x+\Delta p)V}{RT_2}\]

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_x}{T_2}+\frac{(p_x+\Delta p)}{T_2}\]

    \[\frac{p_1}{T_1}-\frac{\Delta p}{T_2}=\frac{2p_x}{T_2}\]

    \[\frac{p_1T_2}{T_1}-\Delta p=2p_x\]

    \[p_x=\frac{p_1T_2}{2T_1}-\frac{\Delta p}{2}=0,083\]

Ответ: давление составит 0,083 атм, или 8333 Па.

Задача 2. Сосуд объемом 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t=20^{\circ} C  и давлении p=2,0 атм. Масса смеси m=5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в этой смеси.

Решение. По закону Менделеева-Клапейрона

    \[p=p_{H}+p_{He}=\frac{\nu_1 RT}{V}+\frac{\nu_2RT}{V}=\frac{RT}{V}(\nu_H+\nu_{He})\]

    \[\nu_H+\nu_{He}=\frac{pV}{RT}=\frac{m_H}{M_H}+\frac{m_{He}}{M_{He}}\]

    \[\frac{pV}{RT}=\frac{m_H}{M_H}+\frac{0,005-m_{H}}{M_{He}}\]

    \[\frac{pV}{RT}-\frac{0,005}{ M_{He}}=\frac{m_H}{M_H}-\frac{m_{H}}{M_{He}}\]

    \[m_H=\frac{\frac{pV}{RT}-\frac{0,005}{ M_{He}}}{\frac{1}{M_H}-\frac{1}{M_{He}}}=\frac{\frac{2\cdot 10^5\cdot0,02}{8,31\cdot293}-\frac{0,005}{ 0,004}}{\frac{1}{0,002}-\frac{1}{0,004}}=0,0016\]

Получилось, что водорода 1,6 г, тогда гелия – 3,4 г.

Отношение масс будет равно 0,46.

Ответ: 0,46

Задача 3. В сосуде находится смесь m_1=7,0 г азота и m_2=11,0 г углекислого газа при температуре  T=290 К и давлении p_0=1 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Решение.

Плотность смеси запишем как:

    \[\rho=\frac{m_1+m_2}{V}\]

Каждый газ создает свое парциальное давление, давление азота:

    \[p_1=\frac{\nu_1 RT}{V}=\frac{m_1}{M_1}\cdot \frac{RT}{V}\]

Давление углекислого газа:

    \[p_2=\frac{\nu_2 RT}{V}=\frac{m_2}{M_2}\cdot \frac{RT}{V}\]

    \[p= p_1+ p_2=\frac{m_1}{M_1}\cdot \frac{RT}{V}+\frac{m_2}{M_2}\cdot \frac{RT}{V}=\frac{RT}{V}\left(\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}\right)\]

    \[\frac{RT}{V}=\frac{p}{\left(\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}\right)}= \frac{10^5}{\left(\frac{7}{28}+\frac{11}{44}\right)}=2\cdot10^5\]

    \[V=\frac{RT}{2\cdot10^5}=\frac{8,31\cdot 290}{2\cdot10^5}=1,205\cdot 10^{-2}\]

    \[\rho=\frac{m_1+m_2}{V}=\frac{0,018}{1,205\cdot 10^{-2}}=1,49\]

Ответ: плотность смеси 1,49 кг/м^3.

 

Один комментарий

  • Вова
    |

    Спасибо большое за ваш труд и прекрасный сайт

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *