Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Плоский конденсатор: емкость, напряжение, напряженность и прочее

В этой статье мы начнем разбирать конденсаторы “по косточкам”. Мы узнаем,  как зависит напряжение на конденсаторе от расстояния между пластин, в чем отличие поведения конденсатора в случаях, когда он подключен к источнику и когда нет. В последующих статьях – продолжение.

Задача 1. Найти емкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер радиусами R_1 = 0,01 м и R_2= 0,0105 м. Пространство между сферами заполнено маслом. Какого радиуса должен быть изолированный шар, чтобы он имел емкость, равную емкости такого конденсатора?

Как известно,

    \[C=\frac{q}{U}=\frac{q}{\varphi_1-\varphi_2}\]

Запишем потенциалы сфер:

    \[\varphi_1=\frac{k q}{\varepsilon r_1}\]

    \[\varphi_2=\frac{k q}{\varepsilon r_2}\]

Разность потенциалов:

    \[\varphi_1-\varphi_2=\frac{k q}{\varepsilon}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)= \frac{k q(r_2-r_1)}{\varepsilon r_1 r_2}\]

Тогда емкость конденсатора равна (диэлектрическая проницаемость масла равна \varepsilon=2,2):

    \[C=\frac{q\varepsilon r_1 r_2}{ k q(r_2-r_1) }=\frac{\varepsilon r_1 r_2}{ k(r_2-r_1) }=\frac{2,2\cdot0,01\cdot 0,0105}{9\cdot10^9(0,0105-0,01)}=5,1\cdot10^{-11}\]

А радиус шара был бы равен

    \[R=\frac{ r_1 r_2}{ r_2-r_1}=\frac{ 0,01\cdot 0,0105}{ 0,0105-0,01}=0,21\]

Ответ: C=0,5 пФ, R=0,21 м.
Задача 2. Найти емкость плоского конденсатора, состоящего из двух круглых пластин диаметром D = 20 см, разделенных парафиновой прослойкой толщиной d = 1 мм.

Диэлектрическая проницаемость парафина \varepsilon=2.

По формуле

    \[C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 \pi D^2 }{4d}=\frac{2\cdot8,85 \cdot10^{-12}\cdot3,14 \cdot0,2^2}{4\cdot10^{-3}}=556\cdot10^{-6}\]

Ответ: 556 мкФ

Задача 3. Площадь каждой пластины плоского конденсатора S = 520 см^2. На каком расстоянии друг от друга надо расположить в воздухе пластины, чтобы емкость конденсатора была C = 46 пФ?

Диэлектрическая проницаемость воздуха \varepsilon=1.

Из формулы

    \[C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}\]

«вытащим» d:

    \[d=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{C}=\frac{8,85 \cdot10^{-12} \cdot520 \cdot10^{-4}}{46\cdot 10^{-12}}=0,01\]

Ответ: 1 см

Задача 4. Расстояние между обкладками плоского конденсатора увеличивают. Как изменится: а) электроемкость конденсатора; б) напряженность электрического поля; в) напряжение? Рассмотреть два случая: 1) конденсатор заряжен и отключен от источника тока; 2) конденсатор подключен к источнику тока.

Здесь необходимо запомнить: если конденсатор заряжен и после этого отключен, то заряд на нем сохраняется. Действительно, куда ему деваться? А если начать что-либо менять, то будут меняться емкость и напряжение.

Если же конденсатор подключен к источнику, то напряжение на нем постоянно, и при любых вмешательствах (раздвинули пластины, вложили диэлектрик) будет меняться емкость и заряд.

Тогда в первом случае (заряд постоянен!): так как C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} зависимость емкости от d обратная, то емкость будет падать при увеличении расстояния между пластинами. Напряженность E=\frac{q}{\varepsilon \varepsilon_0 S } – никак не зависит от расстояния между обкладками, она не изменится; напряжение U=Ed – увеличится, оно от величины d зависит прямо.

Во втором случае (напряжение постоянно): напряженность поля уменьшится; емкость уменьшится.

Задача 5. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, площадью S = 200 см^2 каждая, расположенных на расстоянии d =2 мм друг от друга, между которыми находится слой слюды. Какой наибольший заряд можно сообщить конденсатору, если допустимое напряжение U= 3 кВ?

Диэлектрическая проницаемость слюды \varepsilon=6.

    \[q=CU\]

    \[q=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U}{d}=\frac{6 \cdot 8,85 \cdot10^{-12} \cdot200 \cdot10^{-4} \cdot 3000}{2\cdot10^{-3}}=1,59\cdot10^{-6}\]

Ответ: 1,59 мкКл

Задача 6.  Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 0,5 мм, заряжен до напряжения U = 10 В и отключен от источника. Каким будет напряжение U_2,  если пластины раздвинуть до расстояния d_2 = 5 мм?

Если конденсатор заряжен и после этого отключен, то заряд на нем сохраняется. Тогда

    \[q=CU=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U_1}{d_1}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U_2}{d_2}\]

    \[\frac{U_1}{d_1}=\frac{U_2}{d_2}\]

    \[U_2=\frac{ U_1 d_2}{ d_1}=\frac{10\cdot5}{0,5}=100\]

Ответ: U_2=100 В

Задача 7. С какой силой взаимодействуют пластины плоского воздушного конденсатора площадью S = 0,01 м^2, если напряжение на пластинах U = 500 В и расстояние между ними d = 3\cdot 10^{-3} м?

Сила взаимодействия пластин может быть вычислена как произведение заряда пластины на напряженность поля пластины: F=\frac{qE}{2} – делим пополам, потому что напряженность поля одной пластины вдвое меньше напряженности поля конденсатора – там пластин две штуки.

    \[E=\frac{U}{d}\]

    \[F=\frac{qE}{2}=\frac{CU\cdot U}{2d}=\frac{U^2\varepsilon_0 S }{2d^2}=\frac{500^2\cdot 8,85 \cdot10^{-12} \cdot 0,01 }{2\cdot 9 \cdot10^{-6}}=1229\cdot10^{-6}\]

Ответ: F=1,229 мН.

Комментариев - 2

  • Севон
    |

    Ошибочка в расчетах в 5 задаче. Ответ должен быть 1.59*10^-12

    Ответить
    • Анна
      |

      По-моему, там все верно.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *