Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 03, ОГЭ 11 (ГИА В8)

Площади фигур – задачи.



Кто подзабыл формулы – тому сюда. Еще очень удобно открыть статью с формулами в соседнем окне, чтобы они были перед глазами.

1. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если две его сто­ро­ны равны 14 и 12, а угол между ними равен 30°.

По формуле площади параллелограмма через длины его сторон и синус угла между ними: S=absin{alpha}=14*12*sin{30circ}=168*0,5=84

2. Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на sqrt{3}.

Для того, чтобы найти площадь, необходимо знать сторону. Нам дан периметр, и, поскольку все стороны равны, найдем длину стороны:  a=P/3=30/3=10. Теперь воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника: S={a^2sqrt{3}}/4={10^2sqrt{3}}/4=25sqrt{3}. Разделим на sqrt{3} и запишем ответ: 25.

Однако, формулу площади равностороннего треугольника не все помнят. Как же решить эту задачу без  формулы?  Проведем высоту треугольника из вершины к основанию. Так как треугольник равносторонний, то высота его будет и медианой, и разделит основание пополам:

Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 5. По теореме Пифагора находим высоту: h=sqrt{10^2-5^2}=sqrt{75}=5sqrt{3}

Теперь по общеизвестной формуле площади треугольника находим:  S={ah}/2={10*5sqrt{3}}/2=25sqrt{3}. В ответ записываем результат, разделенный на   sqrt{3}.

Ответ: 25.

3. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 120°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на sqrt{3}.

Можем найти высоту треугольника и основание, воспользовавшись определением косинуса и синуса, и затем площадь. Также нам известны две боковые стороны и угол между ними, поэтому можем воспользоваться формулой S={absin{alpha}}/2. Решим задачу обоими способами: h=10sin{30circ}=5,

b=10cos{30circ}=5sqrt{3}, здесь b – половина основания.

Находим площадь:  S={ah}/2=5*5sqrt{3}=25sqrt{3}.

Теперь вторым способом:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{120circ}}/2=50*{sqrt{3}/2}=25sqrt{3}

Ответ: S=25sqrt{3}

4. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна 10sqrt{3}, а угол между ними равен 60°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Второй способ из предыдущей задачи – единственный для этой задачи:

S={absin{alpha}}/2={10*10sqrt{3}*sin{60circ}}/2=50*{3/2}=75

Ответ: 75.



5. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 6, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Для того, чтобы найти площадь, нужна вторая сторона. Ее можно найти по теореме Пифагора:  h=sqrt{10^2-6^2}=sqrt{64}=8

Найдем площадь: S=ab=8*6=48

Ответ: 48.

6. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Как известно, диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник АВС прямоугольный, его гипотенуза 5, один из катетов 3. Второй катет можем найти по теореме Пифагора: h=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{16}=4. Значит, диагонали ромба – 6 и 8, а зная их, найдем площадь: S={d_1d_2}/2={8*6}/2=24

Ответ: 24.

7. Пе­ри­метр ромба равен 24, а ко­си­нус од­но­го из углов равен  {2sqrt{2}}/3. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Здесь воспользуемся формулой для отыскания площади параллелограмма по двум сторонам и синусу угла между ними: S=absin{alpha}. Но у нас имеется косинус, а не синус. Найдем синус из основного тригонометрического тождества:

sin{alpha}=sqrt{1- ({2/3}*sqrt{2})^2}=sqrt{1-{8/9}}=sqrt{1/9}=1/3.

Все стороны ромба равны, найдем их, зная периметр:  a=P/4=24/4=6

Площадь ромба: S=absin{alpha}=6*6*{1/3}=12

Ответ: 12.

8. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — {10sqrt{2-sqrt{2}}}, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, де­лен­ную на  sqrt{2}.

В этой задаче нас хотят запутать, задав в условии основание треугольника. На самом деле совершенно неважно, каково его основание, так как треугольник равнобедренный, и нам известны боковые стороны и угол между ними, значит, можем воспользоваться формулой площади по двум сторонам и углу между ними:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{45circ}}/2=50*{sqrt{2}/2}=25sqrt{2}

Делим результат на sqrt{2} и записываем ответ:

Ответ: 25

9. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны  5sqrt{3}. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, де­лен­ную на sqrt{3}.

Найдем вторую сторону четырехугольника, чтобы потом определить площадь. Воспользуемся определением синуса, так как ищем мы противолежащий катет:

sin{30circ}=a/10

a=10sin{30circ}=5

Площадь равна: S=ab={5*5sqrt{3}}=25sqrt{3}

Есть другой путь решения этой задачи, если сообразить, что угол между диагоналями равен 60circ. Тогда площадь можем отыскать так:  S={d_1d_2sin{varphi}}/2={10*10*sin{60circ}}/2=25sqrt{3}

Делим нашу найденную площадь на sqrt{3}, и записываем ответ: 25.

10. Ра­ди­ус круга равен 3, а длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его окруж­но­сти равна  6{pi}.Най­ди­те пло­щадь круга. В ответ за­пи­ши­те пло­щадь, де­лен­ную на pi.

Если дан радиус круга, то мы без проблем определим его площадь и без знания длины окружности, верно?

S={pi}r^2=9{pi}.

Делим результат на pi, получаем 9 и записываем это число в ответ.

11. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30circ. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 6 и 9.

Найдем высоту трапеции. Катет, лежащий против угла в 30circ, вдвое меньше гипотенузы, поэтому высота равна 2,5.

Определяем площадь: S={{a+b}/2}h={{6+9}/2}2,5=7,5*2,5=18,75

Ответ: 18,75

12. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 92, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 3:20.

Полупериметр прямоугольника равен 46. Полупериметр – это сумма длинной и короткой сторон. Их отношение равно 3:20, то есть три части и двадцать частей. Тогда одна часть: 46/23=2. Тогда длинная сторона – 40 (20*2=40), а короткая – 6.  Площадь прямоугольника S=40*6=240

Ответ: 240.

13. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 392, а ос­но­ва­ние – 192. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Тут годится единственная формула – это формула Герона: S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Раз треугольник равнобедренный, значит, можно их найти: a=b={P-c}/2={392-192}/2=100. p – половина периметра: p={P}/2={392}/2=196.

Считаем площадь:  S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{196(196-100)^2(196-192)}=sqrt{196*96^2*4}=sqrt{14^2*96^2*2^2}=14*96*2=2688.

Ответ: 2688.

 

 

 

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *