1. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 14 и 12, а угол между ними равен 30°.
По формуле площади параллелограмма через длины его сторон и синус угла между ними:
2. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на .
Для того, чтобы найти площадь, необходимо знать сторону. Нам дан периметр, и, поскольку все стороны равны, найдем длину стороны: . Теперь воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника:
. Разделим на
и запишем ответ: 25.
Однако, формулу площади равностороннего треугольника не все помнят. Как же решить эту задачу без формулы? Проведем высоту треугольника из вершины к основанию. Так как треугольник равносторонний, то высота его будет и медианой, и разделит основание пополам:
Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 5. По теореме Пифагора находим высоту:
Теперь по общеизвестной формуле площади треугольника находим: . В ответ записываем результат, разделенный на
.
Ответ: 25.
3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на .
Можем найти высоту треугольника и основание, воспользовавшись определением косинуса и синуса, и затем площадь. Также нам известны две боковые стороны и угол между ними, поэтому можем воспользоваться формулой . Решим задачу обоими способами:
,
, здесь b – половина основания.
Находим площадь: .
Теперь вторым способом:
Ответ:
4. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.
Второй способ из предыдущей задачи – единственный для этой задачи:
Ответ: 75.
5. В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.
Для того, чтобы найти площадь, нужна вторая сторона. Ее можно найти по теореме Пифагора:
Найдем площадь:
Ответ: 48.
6. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
Как известно, диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник АВС прямоугольный, его гипотенуза 5, один из катетов 3. Второй катет можем найти по теореме Пифагора: . Значит, диагонали ромба – 6 и 8, а зная их, найдем площадь:
Ответ: 24.
7. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Здесь воспользуемся формулой для отыскания площади параллелограмма по двум сторонам и синусу угла между ними: . Но у нас имеется косинус, а не синус. Найдем синус из основного тригонометрического тождества:
.
Все стороны ромба равны, найдем их, зная периметр:
Площадь ромба:
Ответ: 12.
8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь треугольника, деленную на
.
В этой задаче нас хотят запутать, задав в условии основание треугольника. На самом деле совершенно неважно, каково его основание, так как треугольник равнобедренный, и нам известны боковые стороны и угол между ними, значит, можем воспользоваться формулой площади по двум сторонам и углу между ними:
Делим результат на и записываем ответ:
Ответ: 25
9. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника, деленную на
.
Найдем вторую сторону четырехугольника, чтобы потом определить площадь. Воспользуемся определением синуса, так как ищем мы противолежащий катет:
Площадь равна:
Есть другой путь решения этой задачи, если сообразить, что угол между диагоналями равен . Тогда площадь можем отыскать так:
Делим нашу найденную площадь на , и записываем ответ: 25.
10. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна .Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на
.
Если дан радиус круга, то мы без проблем определим его площадь и без знания длины окружности, верно?
.
Делим результат на , получаем 9 и записываем это число в ответ.
11. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен . Найдите площадь трапеции, если её основания равны 6 и 9.
Найдем высоту трапеции. Катет, лежащий против угла в
, вдвое меньше гипотенузы, поэтому высота равна 2,5.
Определяем площадь:
Ответ: 18,75
12. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 92, а отношение соседних сторон равно 3:20.
Полупериметр прямоугольника равен 46. Полупериметр – это сумма длинной и короткой сторон. Их отношение равно 3:20, то есть три части и двадцать частей. Тогда одна часть: . Тогда длинная сторона – 40 (
), а короткая – 6. Площадь прямоугольника
Ответ: 240.
13. Периметр равнобедренного треугольника равен 392, а основание – 192. Найдите площадь треугольника.
Тут годится единственная формула – это формула Герона: . Раз треугольник равнобедренный, значит, можно их найти:
. p – половина периметра:
.
Считаем площадь: .
Ответ: 2688.
В авторском решении пуля летит вниз под углом к горизонту. По тексту задачи этого...
Добрый день, почему мы не учитываем вертикальную составляющую скорости системы...
[latexpage] Это объемы, которые я сократила на площадь сечения $S$. Вначале правый сосуд...
Анна, а почему в 27 задании для изотермического процесса умножаем p0 на ho? ведь...
Конечно, нет. Спасибо за...