Площадь фигуры, заданной уравнением

Рассмотрим сегодня несколько задач на определение площади фигуры, состоящей из всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. С одной стороны, задача алгебраическая, с другой стороны, будет использована формула определения площади треугольника по координатам его вершин, которая редко используется, поэтому задача не чужда и геометрии.

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

С чего начать решение этой задачи? Мы уже догадываемся, что под знаками модуля скрываются уравнения прямых. Поэтому необходимо знать, с каким знаком раскрыть этот модуль. В этом нам поможет правая часть уравнения.

Например, составим вот такое «частичное» уравнение.

Важно выяснить, как были раскрыты модули, чтобы в правой части получилось то, что получилось. Несложным перебором получаем:

То есть необходимо снять первый и второй модуль со знаками «+», а последний – с минусом. Тогда получим систему прямых:

Упрощаем:

Обе переменные совершенно равноправны, поэтому при построении можем воспользоваться как плоскостью , так и плоскостью . Выберем вторую. Тогда нам предстоит построить прямые:

Прямые будут пересекаться, координаты точек пересечения можно найти попарным приравниванием ординат. Пересечение первой и второй прямых:

Пересечение первой и третьей прямых:

Пересечение второй и третьей прямых:

Теперь, зная координаты трех точек пересечения прямых, можем найти площадь фигуры, а именно, треугольника. Запишем формулу и посчитаем:

Ответ: 36

Для тренировки предлагаю вам решить подобные задачи:

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

Ответ: Показать

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

Ответ: Показать