Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи

Площадь фигуры, заданной уравнением

Рассмотрим сегодня несколько задач на определение площади фигуры, состоящей из всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. С одной стороны, задача алгебраическая, с другой стороны, будет использована формула определения площади треугольника по координатам его вершин, которая редко используется, поэтому задача не чужда и геометрии.

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

    \[\mid 9q+9p+108\mid+\mid 119q-49p+252\mid +\mid 35q-7p\mid=93q-33p+360\]

С чего начать решение этой задачи? Мы уже догадываемся, что под знаками модуля скрываются уравнения прямых. Поэтому необходимо знать, с каким знаком раскрыть этот модуль. В этом нам поможет правая часть уравнения.

Например, составим вот такое «частичное» уравнение.

    \[\mid 9q\mid+\mid 119q\mid +\mid 35q\mid=93q\]

Важно выяснить, как были раскрыты модули, чтобы в правой части получилось то, что получилось. Несложным перебором получаем:

    \[9q+119q - 35q=93q\]

То есть необходимо снять первый и второй модуль со знаками «+», а последний – с минусом. Тогда получим систему прямых:

    \[\begin{Bmatrix}{ 9q+9p+108=0}}\\{ 119q-49p+252=0 }\\{-35q+7p=0}\end{matrix}\]

Упрощаем:

    \[\begin{Bmatrix}{ q+p+12=0}}\\{ 17q-7p+36=0 }\\{-5q+p=0}\end{matrix}\]

Обе переменные совершенно равноправны, поэтому при построении можем воспользоваться как плоскостью qOp, так и плоскостью pOq. Выберем вторую. Тогда нам предстоит построить прямые:

    \[\begin{Bmatrix}{p=-q-12}}\\{ p=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7} }\\{p=5q}\end{matrix}\]

Прямые будут пересекаться, координаты точек пересечения можно найти попарным приравниванием ординат. Пересечение первой и второй прямых:

    \[-q-12=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7}\]

    \[-7q-84=17q+36\]

    \[24q=-120\]

    \[q_1=-5\]

    \[p_1=-7\]

Пересечение первой и третьей прямых:

    \[-q-12=5q\]

    \[-6q=12\]

    \[q_2=-2\]

    \[p_2=-10\]

Пересечение второй и третьей прямых:

    \[5q=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7}\]

    \[35q=17q+36\]

    \[18q=36\]

    \[q_3=2\]

    \[p_3=10\]

Теперь, зная координаты трех точек пересечения прямых, можем найти площадь фигуры, а именно, треугольника. Запишем формулу и посчитаем:

    \[S=\frac{1}{2}\left(q_1(p_2-p_3)+q_2(p_3-p_1)+q_3(p_1-p_2)\right)\]

    \[S=\frac{1}{2}\left(-5(-10-10)-2(10-(-7))+2(-7-(-10))\right)= \frac{1}{2}\left(100-34)+6)=36\]

Ответ: 36

Для тренировки предлагаю вам решить подобные задачи:

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

    \[\mid 27m-9n-198\mid+\mid 9m-63n+234\mid +\mid -104m-72n-304\mid=86m+18n+736\]

Ответ: Показать

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

    \[\mid -72x-99y+270\mid+\mid -85x-30y-550\mid +\mid -18x+10y-2\mid=-5x-59y+818\]

Ответ: Показать

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *