Площадь фигуры, заданной уравнением

Рассмотрим сегодня несколько задач на определение площади фигуры, состоящей из всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. С одной стороны, задача алгебраическая, с другой стороны, будет использована формула определения площади треугольника по координатам его вершин, которая редко используется, поэтому задача не чужда и геометрии.

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

$\mid 9q+9p+108\mid+\mid 119q-49p+252\mid +\mid 35q-7p\mid=93q-33p+360$

С чего начать решение этой задачи? Мы уже догадываемся, что под знаками модуля скрываются уравнения прямых. Поэтому необходимо знать, с каким знаком раскрыть этот модуль. В этом нам поможет правая часть уравнения.

Например, составим вот такое «частичное» уравнение.

$\mid 9q\mid+\mid 119q\mid +\mid 35q\mid=93q$

Важно выяснить, как были раскрыты модули, чтобы в правой части получилось то, что получилось. Несложным перебором получаем:

$9q+119q - 35q=93q$

То есть необходимо снять первый и второй модуль со знаками «+», а последний – с минусом. Тогда получим систему прямых:

$\begin{Bmatrix}{ 9q+9p+108=0}}\\{ 119q-49p+252=0 }\\{-35q+7p=0}\end{matrix}$

Упрощаем:

$\begin{Bmatrix}{ q+p+12=0}}\\{ 17q-7p+36=0 }\\{-5q+p=0}\end{matrix}$

Обе переменные совершенно равноправны, поэтому при построении можем воспользоваться как плоскостью $qOp$ , так и плоскостью $pOq$ . Выберем вторую. Тогда нам предстоит построить прямые: