Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Площадь фигуры и параметр

Когда какое-либо уравнение задает фигуру, то всегда должна получиться замкнутая ломаная линия, причем линии излома можно просто установить. Понадобятся и геометрические  знания: вспомним коэффициент подобия.

Задача. При каких  значениях параметра a площадь фигуры, заданной уравнением

    \[\mid 2x+y \mid + \mid x-y+3 \mid \leqslant a\]

будет равна 24?

Определяем линии излома графиков, приравнивая подмодульные выражения к нулю:

    \[2x+y=0\]

    \[y=-2x\]

    \[x-y+3=0\]

    \[y=x+3\]

Две эти прямые разобьют плоскость на четыре зоны. Над и под этими линиями соответствующие модули будут нами раскрыты либо с «плюсом», либо с «минусом», я показала это знаками в каждой из зон. Красными показаны знаки при снятии знака модуля с выражения 2x+y, синим – при снятии знака модуля с выражения x-y+3.

Рисунок 1. Построение линий излома.

Тогда в «восточной» зоне, где оба знака – «плюс», получим:

    \[2x+y  +  x-y+3  \leqslant a\]

    \[3x+3  \leqslant a\]

    \[x \leqslant \frac{a}{3}-1\]

В «западной» зоне, где оба знака – «минус», получим:

    \[-2x-y  -  x+y-3  \leqslant a\]

    \[-3x-3  \leqslant a\]

    \[x \geqslant -\frac{a}{3}-1\]

В «северной» зоне получим:

    \[2x+y  -  x+y-3  \leqslant a\]

    \[x+2y-3  \leqslant a\]

    \[y \leqslant -\frac{x}{2}+1,5+\frac{a}{2}\]

Наконец, «южная» зона:

    \[-2x-y  +  x-y+3  \leqslant a\]

    \[-x-2y+3  \leqslant a\]

    \[y \geqslant -\frac{x}{2}+1,5-\frac{a}{2}\]

Все прямые, которые необходимо строить, зависят от параметра. Как быть в такой ситуации? Давайте просто зададимся каким-нибудь значением параметра, и построим то, что получится. Возьмем a=3. При таком значении параметра имеем:

Восточная зона: x \leqslant 0

Западная зона: x \geqslant -2

Северная зона: y \leqslant -\frac{x}{2}+3

Южная зона: y \geqslant -\frac{x}{2}

Строим:

Рисунок 2. Построение прямой в каждой из зон.

У нас получился параллелограмм. Его высота 2, а основание  – 3. Поэтому площадь – S_m=6. Нам же надо, чтобы площадь была больше, и больше ровно в 4 раза. Тогда

    \[\frac{S}{S_m}=4\]

Как известно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, значит, он равен 2. Поэтому стороны нашего искомого параллелограмма должны быть вдвое больше. Этому будет соответствовать значение параметра, вдвое большее принятого нами: если a=6, то

Восточная зона: x \leqslant 1

Западная зона: x \geqslant -3

Северная зона: y \leqslant -\frac{x}{2}+4,5

Южная зона: y \geqslant -\frac{x}{2}-1,5

Строим:

Рисунок 3. Параллелограмм с площадью 24.

Ответ: a=6.

Попробуем и другой способ решения: вершины параллелограмма находятся в точках пересечения линий излома y=-2x и y=x+3  и линий x_1 \leqslant \frac{a}{3}-1 и x_2 \geqslant -\frac{a}{3}-1. Определим эти точки пересечений.

    \[y_1=-2x=-2(\frac{a}{3}-1)=-\frac{2a}{3}+2\]

    \[y_2=x+3=\frac{a}{3}-1+3=\frac{a}{3}+2\]

Тогда длина стороны параллелограмма равна y_2-y_1=\frac{a}{3}+2-(-\frac{2a}{3}+2)=a.

Таким же способом определим и высоту параллелограмма:

    \[h=x_1-x_2=\frac{a}{3}-1-(-\frac{a}{3}-1)=\frac{2a}{3}\]

Площадь параллелограмма равна S=h(y_2-y_1)=\frac{2a^2}{3}=24, откуда a=6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *