Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Площадь фигуры и параметр

Когда какое-либо уравнение задает фигуру, то всегда должна получиться замкнутая ломаная линия, причем линии излома можно просто установить. Понадобятся и геометрические  знания: вспомним коэффициент подобия.

Задача. При каких  значениях параметра площадь фигуры, заданной уравнением

   

будет равна 24?

Определяем линии излома графиков, приравнивая подмодульные выражения к нулю:

   

   

   

   

Две эти прямые разобьют плоскость на четыре зоны. Над и под этими линиями соответствующие модули будут нами раскрыты либо с «плюсом», либо с «минусом», я показала это знаками в каждой из зон. Красными показаны знаки при снятии знака модуля с выражения , синим – при снятии знака модуля с выражения .

Рисунок 1. Построение линий излома.

Тогда в «восточной» зоне, где оба знака – «плюс», получим:

   

   

   

В «западной» зоне, где оба знака – «минус», получим:

   

   

   

В «северной» зоне получим:

   

   

   

Наконец, «южная» зона:

   

   

   

Все прямые, которые необходимо строить, зависят от параметра. Как быть в такой ситуации? Давайте просто зададимся каким-нибудь значением параметра, и построим то, что получится. Возьмем . При таком значении параметра имеем:

Восточная зона:

Западная зона:

Северная зона:

Южная зона:

Строим:

Рисунок 2. Построение прямой в каждой из зон.

У нас получился параллелограмм. Его высота 2, а основание  – 3. Поэтому площадь – . Нам же надо, чтобы площадь была больше, и больше ровно в 4 раза. Тогда

   

Как известно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, значит, он равен 2. Поэтому стороны нашего искомого параллелограмма должны быть вдвое больше. Этому будет соответствовать значение параметра, вдвое большее принятого нами: если , то

Восточная зона:

Западная зона:

Северная зона:

Южная зона:

Строим:

Рисунок 3. Параллелограмм с площадью 24.

Ответ: .

Попробуем и другой способ решения: вершины параллелограмма находятся в точках пересечения линий излома  и   и линий  и . Определим эти точки пересечений.

   

   

Тогда длина стороны параллелограмма равна .

Таким же способом определим и высоту параллелограмма:

   

Площадь параллелограмма равна , откуда .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *