Плавающие и утопленные банки, и плотности смесей газов и атмосфер чужих миров

Задачи из пособия Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева (2017 г). По теме «Тепловое равновесие, уравнение состояния идеального газа»

Задача 1. Цилиндрическая банка, высота которой см, наполненная на водой, плавает в воде так, что ее края находятся вровень с поверхностью воды, температура воды  . Эту же банку с воздухом, нагретым до , погружают в воду вверх дном. На какую глубину нужно погрузить банку, чтобы она после установления теплового равновесия не всплывала и не тонула? Атмосферное давление Па.

Сначала банка уравновешена (сила тяжести равна силе Архимеда), при этом масса банки – это и сама банка, и масса воды в ней:

Откуда

Нагретый воздух занимает весь объем банки, затем же, когда банку погрузят в воду глубоко, он будет занимать меньший объем. И снова сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, но только теперь сила тяжести – это только вес банки, а погруженный объем – это объем только воздуха в банке ().

Откуда

Давление, действующее на воздух в банке на глубине – это атмосферное давление в сумме с давлением столба воды:

Запишем объединенный газовый закон:

Ответ: 14 м.

Задача 2. Плотность смеси аргона и кислорода при температуре и давлении Па равна кг/м. Какова концентрация молекул кислорода в этой смеси?

Условимся, что индексами «1» будем помечать параметры кислорода, а «2» – аргона.

Плотность смеси равна

Давление смеси – это сумма парциальных давлений кислорода и аргона.

Тогда согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

Давление тогда равно

Подставим плотность

Преобразуем

Плотность кислорода равна

Концентрация – это число молекул в объеме:

Ответ: .

Задача 3. Планету массой и диаметром окружает газовая атмосфера постоянной плотности, толщина атмосферы намного меньше радиуса планеты.  Температура поверхности планеты . Чему равна средняя молярная масса газа ?

Чтобы газ не улетал из атмосферы, сила тяжести должна уравновешивать силу давления

Столб газа от дна до потолка атмосферы имеет объем , и массу . Для того, чтобы определить силу тяжести, надо знать ускорение свободного падения на планете. Определим его:

Где – масса планеты. Тогда

Значит,

Но давление, с другой стороны,

Откуда (подставляем давление и сокращаем)

Ответ: .