Плавающие и утопленные банки, и плотности смесей газов и атмосфер чужих миров

Задачи из пособия Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева (2017 г). По теме «Тепловое равновесие, уравнение состояния идеального газа»

Задача 1. Цилиндрическая банка, высота которой $h=45$ см, наполненная на $\frac{2}{3}$ водой, плавает в воде так, что ее края находятся вровень с поверхностью воды, температура воды $t_1=7^{\circ}$ . Эту же банку с воздухом, нагретым до $t_2=77^{\circ}$ , погружают в воду вверх дном. На какую глубину нужно погрузить банку, чтобы она после установления теплового равновесия не всплывала и не тонула? Атмосферное давление $10^5$ Па.

Сначала банка уравновешена (сила тяжести равна силе Архимеда), при этом масса банки – это и сама банка, и масса воды в ней:

$mg+\rho g\cdot\frac{2}{3}V=\rho g V$

Откуда

$mg= \frac{\rho g\cdot V }{3}$

Нагретый воздух занимает весь объем банки, затем же, когда банку погрузят в воду глубоко, он будет занимать меньший объем. И снова сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, но только теперь сила тяжести – это только вес банки, а погруженный объем – это объем только воздуха в банке ( $V_2$ ).

$\frac{\rho g\cdot V }{3}=\rho g V_2$

Откуда

$V_2=\frac{V }{3}$

Давление, действующее на воздух в банке на глубине – это атмосферное давление в сумме с давлением столба воды:

$p_2=p_0+\rho g h$

Запишем объединенный газовый закон:

$\frac{p_0 V}{T_2}=\frac{p_2V_2}{T_1}$

$p_2=\frac{p_0 V T_1}{T_2V_2}=\frac{3p_0 T_1}{T_2}$

$\rho g h=\frac{3p_0 T_1}{T_2}-p_0$

$h=\frac{p_0}{\rho g}\left(\frac{3 T_1}{T_2}-1\right)=\frac{10^5}{10^4}\left(\frac{3\cdot280}{350}-1\right)=10\cdot 1,4=14$

Ответ: 14 м.

Задача 2. Плотность смеси аргона $Ar$ и кислорода $O_2$ при температуре $77^{\circ}$ и давлении $1,6\cdot 10^5$ Па равна $0,6$ кг/м $^3$ . Какова концентрация молекул кислорода в этой смеси?

Условимся, что индексами «1» будем помечать параметры кислорода, а «2» – аргона.

Плотность смеси равна

$\rho=\frac{m}{V}=\frac{m_1+m_2}{V}=\rho_1+\rho_2$

Давление смеси – это сумма парциальных давлений кислорода и аргона.

$p=p_1+p_2$

Тогда согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$(p_1+p_2)V=(\nu_1+\nu_2)RT=\left(\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}\right)RT$

Давление тогда равно

$p_1+p_2=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho_2}{M_2}\right)RT$

Подставим плотность

$p=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho}{M_2}-\frac{\rho_1}{M_2}\right)RT$

Преобразуем

$\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}=\rho_1 \left( (\frac{1}{M_1}-\frac{1}{M_2}\right)$

Плотность кислорода равна

$\rho_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}$

Концентрация – это число молекул в объеме:

$n_1=\frac{N_1}{V}=\frac{m_1}{m_0V}=\frac{\rho_1}{m_0}=\frac{\rho_1 N_A}{M_1}$

$n_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}\cdot\frac{N_A}{M_1}=\frac{\left(\frac{pM_2}{RT}-\rho\right)}{M_2-M_1}\cdot N_A$

$n_1=\frac{\left(\frac{1,6\cdot10^5\cdot40\cdot10^{-3}}{8,31\cdot(77+273)}-0,6\right)}{(40-32)\cdot10^{-3}}\cdot 6\cdot10^{23}=1,2\cdot10^{26}$

Ответ: $n_1=1,2\cdot10^{26}$ .

Задача 3. Планету массой $M$ и диаметром $D$ окружает газовая атмосфера постоянной плотности, толщина атмосферы $H$ намного меньше радиуса планеты. Температура поверхности планеты $T$ . Чему равна средняя молярная масса газа $\mu$ ?

Чтобы газ не улетал из атмосферы, сила тяжести должна уравновешивать силу давления

$pS=mg$

Столб газа от дна до потолка атмосферы имеет объем $V=SH$ , и массу $m=\rho S H$ . Для того, чтобы определить силу тяжести, надо знать ускорение свободного падения на планете. Определим его: