Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Плавающие и утопленные банки, и плотности смесей газов и атмосфер чужих миров

Задачи из пособия Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева (2017 г). По теме «Тепловое равновесие, уравнение состояния идеального газа»

Задача 1. Цилиндрическая банка, высота которой h=45 см, наполненная на \frac{2}{3} водой, плавает в воде так, что ее края находятся вровень с поверхностью воды, температура воды  t_1=7^{\circ}. Эту же банку с воздухом, нагретым до t_2=77^{\circ}, погружают в воду вверх дном. На какую глубину нужно погрузить банку, чтобы она после установления теплового равновесия не всплывала и не тонула? Атмосферное давление 10^5 Па.

Сначала банка уравновешена (сила тяжести равна силе Архимеда), при этом масса банки – это и сама банка, и масса воды в ней:

    \[mg+\rho g\cdot\frac{2}{3}V=\rho g V\]

Откуда

    \[mg= \frac{\rho g\cdot V }{3}\]

Нагретый воздух занимает весь объем банки, затем же, когда банку погрузят в воду глубоко, он будет занимать меньший объем. И снова сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, но только теперь сила тяжести – это только вес банки, а погруженный объем – это объем только воздуха в банке (V_2).

    \[\frac{\rho g\cdot V }{3}=\rho g V_2\]

Откуда

    \[V_2=\frac{V }{3}\]

Давление, действующее на воздух в банке на глубине – это атмосферное давление в сумме с давлением столба воды:

    \[p_2=p_0+\rho g h\]

Запишем объединенный газовый закон:

    \[\frac{p_0 V}{T_2}=\frac{p_2V_2}{T_1}\]

    \[p_2=\frac{p_0 V T_1}{T_2V_2}=\frac{3p_0  T_1}{T_2}\]

    \[\rho g h=\frac{3p_0  T_1}{T_2}-p_0\]

    \[h=\frac{p_0}{\rho g}\left(\frac{3 T_1}{T_2}-1\right)=\frac{10^5}{10^4}\left(\frac{3\cdot280}{350}-1\right)=10\cdot 1,4=14\]

Ответ: 14 м.

Задача 2. Плотность смеси аргона Ar и кислорода O_2 при температуре 77^{\circ} и давлении 1,6\cdot 10^5 Па равна 0,6 кг/м^3. Какова концентрация молекул кислорода в этой смеси?

Условимся, что индексами «1» будем помечать параметры кислорода, а «2» – аргона.

Плотность смеси равна

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{m_1+m_2}{V}=\rho_1+\rho_2\]

Давление смеси – это сумма парциальных давлений кислорода и аргона.

    \[p=p_1+p_2\]

Тогда согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[(p_1+p_2)V=(\nu_1+\nu_2)RT=\left(\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}\right)RT\]

Давление тогда равно

    \[p_1+p_2=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho_2}{M_2}\right)RT\]

Подставим плотность

    \[p=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho}{M_2}-\frac{\rho_1}{M_2}\right)RT\]

Преобразуем

    \[\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}=\rho_1 \left( (\frac{1}{M_1}-\frac{1}{M_2}\right)\]

Плотность кислорода равна

    \[\rho_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}\]

Концентрация – это число молекул в объеме:

    \[n_1=\frac{N_1}{V}=\frac{m_1}{m_0V}=\frac{\rho_1}{m_0}=\frac{\rho_1 N_A}{M_1}\]

    \[n_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}\cdot\frac{N_A}{M_1}=\frac{\left(\frac{pM_2}{RT}-\rho\right)}{M_2-M_1}\cdot N_A\]

    \[n_1=\frac{\left(\frac{1,6\cdot10^5\cdot40\cdot10^{-3}}{8,31\cdot(77+273)}-0,6\right)}{(40-32)\cdot10^{-3}}\cdot 6\cdot10^{23}=1,2\cdot10^{26}\]

Ответ: n_1=1,2\cdot10^{26}.

Задача 3. Планету массой M и диаметром D окружает газовая атмосфера постоянной плотности, толщина атмосферы H намного меньше радиуса планеты.  Температура поверхности планеты T. Чему равна средняя молярная масса газа \mu?

Чтобы газ не улетал из атмосферы, сила тяжести должна уравновешивать силу давления

    \[pS=mg\]

Столб газа от дна до потолка атмосферы имеет объем V=SH, и массу m=\rho S H. Для того, чтобы определить силу тяжести, надо знать ускорение свободного падения на планете. Определим его:

    \[g=G\frac{4M}{D^2}\]

Где M – масса планеты. Тогда

    \[mg=\frac{S\rho GH\cdot 4M}{D^2}\]

Значит,

    \[p=\frac{\rho GH\cdot 4M}{D^2}\]

Но давление, с другой стороны,

    \[p=\frac{mRT}{V\mu}\]

Откуда (подставляем давление и сокращаем)

    \[\mu=\frac{mRT}{pV}=\frac{RTD^2}{4HGM}\]

Ответ: \mu=\frac{RTD^2}{4HGM}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *