Плавающие и утопленные банки, и плотности смесей газов и атмосфер чужих миров

[latexpage]

Задачи из пособия Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева (2017 г). По теме «Тепловое равновесие, уравнение состояния идеального газа»

Задача 1. Цилиндрическая банка, высота которой $h=45$ см, наполненная на $\frac{2}{3}$ водой, плавает в воде так, что ее края находятся вровень с поверхностью воды, температура воды  $t_1=7^{\circ}$. Эту же банку с воздухом, нагретым до $t_2=77^{\circ}$, погружают в воду вверх дном. На какую глубину нужно погрузить банку, чтобы она после установления теплового равновесия не всплывала и не тонула? Атмосферное давление $10^5$ Па.

Сначала банка уравновешена (сила тяжести равна силе Архимеда), при этом масса банки – это и сама банка, и масса воды в ней:

$$mg+\rho g\cdot\frac{2}{3}V=\rho g V$$

Откуда

$$mg= \frac{\rho g\cdot V }{3}$$

Нагретый воздух занимает весь объем банки, затем же, когда банку погрузят в воду глубоко, он будет занимать меньший объем. И снова сила Архимеда уравновешивает силу тяжести, но только теперь сила тяжести – это только вес банки, а погруженный объем – это объем только воздуха в банке ($V_2$).

$$\frac{\rho g\cdot V }{3}=\rho g V_2$$

Откуда

$$V_2=\frac{V }{3}$$

Давление, действующее на воздух в банке на глубине – это атмосферное давление в сумме с давлением столба воды:

$$p_2=p_0+\rho g h$$

Запишем объединенный газовый закон:

$$\frac{p_0 V}{T_2}=\frac{p_2V_2}{T_1}$$

$$p_2=\frac{p_0 V T_1}{T_2V_2}=\frac{3p_0  T_1}{T_2}$$

$$\rho g h=\frac{3p_0  T_1}{T_2}-p_0$$

$$h=\frac{p_0}{\rho g}\left(\frac{3 T_1}{T_2}-1\right)=\frac{10^5}{10^4}\left(\frac{3\cdot280}{350}-1\right)=10\cdot 1,4=14$$

Ответ: 14 м.

Задача 2. Плотность смеси аргона $Ar$ и кислорода $O_2$ при температуре $77^{\circ}$ и давлении $1,6\cdot 10^5$ Па равна $0,6$ кг/м$^3$. Какова концентрация молекул кислорода в этой смеси?

Условимся, что индексами «1» будем помечать параметры кислорода, а «2» – аргона.

Плотность смеси равна

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{m_1+m_2}{V}=\rho_1+\rho_2$$

Давление смеси – это сумма парциальных давлений кислорода и аргона.

$$p=p_1+p_2$$

Тогда согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$ (p_1+p_2)V=(\nu_1+\nu_2)RT=\left(\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}\right)RT$$

Давление тогда равно

$$ p_1+p_2=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho_2}{M_2}\right)RT$$

Подставим плотность

$$ p=\left( (\frac{\rho_1}{M_1}+\frac{\rho}{M_2}-\frac{\rho_1}{M_2}\right)RT$$

Преобразуем

$$ \frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}=\rho_1 \left( (\frac{1}{M_1}-\frac{1}{M_2}\right)$$

Плотность кислорода равна

$$\rho_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}$$

Концентрация – это число молекул в объеме:

$$n_1=\frac{N_1}{V}=\frac{m_1}{m_0V}=\frac{\rho_1}{m_0}=\frac{\rho_1 N_A}{M_1}$$

$$n_1=\frac{\left(\frac{p}{RT}-\frac{\rho}{M_2}\right) M_1M_2}{M_2-M_1}\cdot\frac{N_A}{M_1}=\frac{\left(\frac{pM_2}{RT}-\rho\right)}{M_2-M_1}\cdot N_A$$

$$n_1=\frac{\left(\frac{1,6\cdot10^5\cdot40\cdot10^{-3}}{8,31\cdot(77+273)}-0,6\right)}{(40-32)\cdot10^{-3}}\cdot 6\cdot10^{23}=1,2\cdot10^{26}$$

Ответ: $n_1=1,2\cdot10^{26}$.

Задача 3. Планету массой $M$ и диаметром $D$ окружает газовая атмосфера постоянной плотности, толщина атмосферы $H$ намного меньше радиуса планеты.  Температура поверхности планеты $T$. Чему равна средняя молярная масса газа $\mu$?

Чтобы газ не улетал из атмосферы, сила тяжести должна уравновешивать силу давления

$$pS=mg$$

Столб газа от дна до потолка атмосферы имеет объем $V=SH$, и массу $m=\rho S H$. Для того, чтобы определить силу тяжести, надо знать ускорение свободного падения на планете. Определим его:

$$g=G\frac{4M}{D^2}$$

Где $M$ – масса планеты. Тогда

$$mg=\frac{S\rho GH\cdot 4M}{D^2}$$

Значит,

$$p=\frac{\rho GH\cdot 4M}{D^2}$$

Но давление, с другой стороны,

$$p=\frac{mRT}{V\mu}$$

Откуда (подставляем давление и сокращаем)

$$\mu=\frac{mRT}{pV}=\frac{RTD^2}{4HGM}$$

Ответ: $\mu=\frac{RTD^2}{4HGM}$.