Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Планиметрия: задачи с фантазией

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает ее в точках и , а большую – в точках и , так, что лежит между и . Чему равно отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности, если ?

Задача 1

Решение:

Отрезок – диаметр маленькой окружности. То есть . Тогда , а . Также , а .

Отрезок , , следовательно, .

По свойству отрезков секущих окружности запишем:

   

   

   

   

Разделим на , тогда:

   

Ответ:

 

Задача 2. Точка касания двух окружностей является вершиной равностороннего треугольника со стороной 18.  Две другие вершины этого треугольника расположены на этих окружностях (на каждой окружности по вершине). Радиус одной из окружностей равен 12. Чему равен радиус второй окружности?

Окружности могут касаться как внешним, так и внутренним образом. Поэтому задача может иметь два решения.

Рассмотрим случай внешнего касания.

Задача 2. Внешнее касание

Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой. То есть сумма углов , и угла при вершине треугольника образует . Угол (вернее, его косинус) можно определить:

   

Угол равен разности .  Следовательно, его косинус равен . Определим косинус суммы углов :

   

Тогда косинус смежного угла будет равен:

   

С другой стороны,

   

Тогда радиус большей окружности равен:

   

Рассмотрим случай внутреннего касания.

Задача 2. Внутреннее касание

При этом  две вершины треугольника должны лежать на большей окружности, а сторона между ними – хорда этой окружности. Определим косинус угла :

   

Рассмотрим  теперь треугольник : угол в этом треугольнике равен . Найдем его синус:

   

В треугольнике – прямоугольном – синус угла равен косинусу угла . Кроме того,

   

Тогда искомый радиус:

   

Таким образом, имеем два ответа: внешнее касание: , внутреннее касание:

 

 

 

Задача 3. Задан четырехугольник . Чему равна длина , если , , , а ?

Задача 3

Решение:

Так как углы при основании равны, и оба по , то четырехугольник так и хочется достроить до правильного треугольника со стороной 90. Тогда .

Треугольники и равны по 2-му признаку равенства, поэтому , следовательно, .

Ответ: .

 

Задача 4. Две окружности радиусов 10 и 8 касаются внешним образом. Прямая, касающаяся меньшей из окружностей в точке , пересекает большую в точках и , причем . Чему равна длина ?

Задача 4

Решение:

Будем рассматривать точку как точку, из которой исходят две секущие большей окружности: и . Тогда по свойству секущих запишем:

   

Обозначим длину искомого отрезка за : , тогда .

Проведем отрезок к середине хорды , тогда и треугольник – прямоугольный. как радиус, проведенный в точку касания. Тогда , и – прямоугольник. Тогда

   

   

Найдем :

   

Теперь можно отыскать :

   

   

   

   

   

   

Тогда искомый отрезок

   

Ответ: 24

Задача 5. Из точки проведены к окружности с центром две касательные: и ( и – точки касания). Отрезок пересекается с отрезком в точке , окружность пересекается с отрезком в точке . Чему равно отношение , если ?

Задача 5

Решение:

   

То есть нам нужно найти отношение , или наоборот, .

Для прямоугольного треугольника запишем:

   

   

   

С другой стороны, в треугольнике , который является прямоугольным, можно записать:

   

А в треугольнике

   

Отрезок , очевидно, равен , поэтому

   

Или, подставив , получим:

   

Приравниваем два выражения для :

   

   

Откуда

   

Искомое в задаче отношение тогда равно:

   

Или же, результат можно записать и так:

   

Ответ:

 

 

Задача 6. Некоторая прямая пересекает стороны и треугольника  в точках и соответственно и отсекает от него подобный ему треугольник. Оказалось, что – высота треугольника . Чему равна длина , если , , а ?

Задача 6

Решение:

Найдем коэффициент подобия треугольников. Для этого определим площадь треугольника   по формуле Герона с тем, чтобы определить в дальнейшем его высоту .

   

   

   

Определим длину отрезка – высоту треугольника:

   

Теперь по теореме Пифагора легко определить длину отрезка :

   

Тогда точка O разделит отрезок на два: и .

Определяем коэффициент подобия: если параллельна , то

   

Тогда меньше в раз и равна:

   

Но если не параллельна , тогда сходственными сторонами являются и , и коэффициент подобия равен:

   

Тогда меньше в раз и равна:

   

Ответ: либо , либо

 

Задача 7. Чему равна площадь трапеции с диагоналями и и высотой 3?

Изобразим трапецию.

Задача 7

Как видно из рисунка, вариантов изображения – два, и, следовательно, два варианта решения.

Первое изображение, пусть , . Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем :

   

также с помощью теоремы Пифагора найдем :

   

Определяем среднюю линию:

   

Площадь трапеции в этом случае:

   

Второй вариант изображения. Теперь пусть , а . Тогда

   

   

Определяем среднюю линию:

   

Площадь трапеции в этом случае:

   

Ответ: 22,5 или 1,5

Комментариев - 4

  • Инна
    |

    Круто!

    Ответить
    • Анна
      |

      Ничего такого, но спасибо!

      Ответить
  • Антонина
    |

    Спасибо.Ваши задачи помогают выбрать из огромного количества задач других авторов нужные для подготовки к урокам геометрии в профильных группах

    Ответить
    • Анна
      |

      Это не мне спасибо, задачи этой серии взяты из набора для сертификации репетиторов компании “Профи.ру” – их авторам спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *