Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.
Задача 1. На основании равнобедренного треугольника
выбрана точка
. Окружности, вписанные в треугольники
и
, касаются отрезка
в точках
и
соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков
,
, если
?

Задача 1
Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: , где
и
– точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника.
,
,
. Тогда
,
.
Мы знаем, что .
Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: . Имеем систему:
Тогда, подставляя в первое уравнение, получим
, или
, а это и есть искомый отрезок
.
Ответ: .
Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник . Лучи
и
пересекаются в точке
, а лучи
и
– в точке
. Чему равна площадь треугольника
, если
, площадь треугольника
равна 5, а площадь треугольника
равна 20?
Постоим чертеж.

Задача 2
Так как нам известно отношение , то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников
и
, они будут относиться так же, поэтому
, а
. Тогда, зная площадь треугольника
, можем сделать вывод, что площадь четырехугольника
равна 3. Обозначим за
площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника
за
. Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники
и
имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как
, поэтому запишем:
Тогда .
Треугольники и
имеют общую высоту, поэтому
Аналогично, треугольники и
тоже имеют общую высоту, поэтому их площади относятся точно так же:
То есть
Один из корней – 1, а второй – отрицательный – нам не подходит по смыслу.
Ответ: 1.
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...