Планиметрия: задачи с фантазией – 6

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. На основании равнобедренного треугольника выбрана точка . Окружности, вписанные в треугольники и , касаются отрезка в точках и соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков , , если ?

Задача 1

Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: , где и – точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника. , , . Тогда , .

Мы знаем, что .

Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: . Имеем систему:

Тогда, подставляя в первое уравнение, получим , или , а это и есть искомый отрезок .

Ответ: .

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник . Лучи и пересекаются в точке , а лучи и  – в точке . Чему равна площадь треугольника , если , площадь треугольника равна 5, а площадь треугольника равна 20?

Постоим чертеж.

Задача 2

Так как нам известно отношение , то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников и , они будут относиться так же, поэтому , а . Тогда, зная площадь треугольника , можем сделать вывод, что площадь четырехугольника равна 3. Обозначим за площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника за . Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники и имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как , поэтому запишем:

Тогда .

Треугольники и имеют общую высоту, поэтому

Аналогично, треугольники и тоже имеют общую высоту, поэтому их площади относятся точно так же:

То есть

Один из корней – 1, а второй – отрицательный – нам не подходит по смыслу.

Ответ: 1.