Планиметрия: задачи с фантазией

Планиметрия: задачи с фантазией – 6

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. На основании $PI=24$ равнобедренного треугольника $PJI$ выбрана точка $A$ . Окружности, вписанные в треугольники $PJA$ и $IJA$ , касаются отрезка $JA$ в точках $K$ и $H$ соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков $PA$ , $AJ$ , если $KH=8$ ?

Задача 1

Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: $LP=PM=l$ , где $M$ и $L$ – точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника. $HJ=JN=y$ , $NI=GI=z$ , $MA=AK=x$ . Тогда $KJ=y+8=LJ$ , $AH=x+8=AG$ .

Мы знаем, что $l+x+x+8+z=24$ .

Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: $l+y+8=y+z$ . Имеем систему:

$\begin{Bmatrix}{ l+2x+z=16 }\\{ l+8=z }\end{matrix}$

Тогда, подставляя $z$ в первое уравнение, получим $2l+8+2x=16$ , или $l+x=4$ , а это и есть искомый отрезок $PA$ .

Ответ: $PA=4$ .

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник $VDGF$ . Лучи $VD$ и $FG$ пересекаются в точке $S$ , а лучи $VF$ и $DG$ – в точке $K$ . Чему равна площадь треугольника $FGD$ , если $VF:KF=2:3$ , площадь треугольника $GDS$ равна 5, а площадь треугольника $KVS$ равна 20?

Постоим чертеж.

Задача 2

Так как нам известно отношение $VF:KF=2:3$ , то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников $VSF$ и $FSK$ , они будут относиться так же, поэтому $S_{ VSF }=8$ , а $S_{ FSK }=12$ . Тогда, зная площадь треугольника $GDS$ , можем сделать вывод, что площадь четырехугольника $VDGF$ равна 3. Обозначим за $x$ площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника $FGK$ за $y$ . Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники $VDF$ и $FDK$ имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как $VF:KF=2:3$ , поэтому запишем: