Планиметрия: задачи с фантазией

Планиметрия: задачи с фантазией – 6

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. На основании $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равнобедренного треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ выбрана точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Окружности, вписанные в треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , касаются отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в точках $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

Задача 1

Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника. $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Мы знаем, что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Имеем систему:

Тогда, подставляя $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в первое уравнение, получим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , или $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а это и есть искомый отрезок $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Лучи $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ пересекаются в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а лучи $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Чему равна площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 5, а площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 20?

Постоим чертеж.

Задача 2

Так как нам известно отношение $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , они будут относиться так же, поэтому $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда, зная площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , можем сделать вывод, что площадь четырехугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 3. Обозначим за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , поэтому запишем:

Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ имеют общую высоту, поэтому

Аналогично, треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ тоже имеют общую высоту, поэтому их площади относятся точно так же: