Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрия: задачи с фантазией – 6

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. На основании PI=24 равнобедренного треугольника PJI выбрана точка A. Окружности, вписанные в треугольники PJA и IJA, касаются отрезка JA в точках K и H соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков PA, AJ, если KH=8?

Задача 1

Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: LP=PM=l, где M и L – точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника. HJ=JN=y, NI=GI=z, MA=AK=x. Тогда KJ=y+8=LJ, AH=x+8=AG.

Мы знаем, что l+x+x+8+z=24.

Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: l+y+8=y+z. Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ l+2x+z=16 }\\{ l+8=z }\end{matrix}\]

Тогда, подставляя z в первое уравнение, получим 2l+8+2x=16, или l+x=4, а это и есть искомый отрезок PA.

Ответ: PA=4.

 

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник VDGF. Лучи VD и FG пересекаются в точке S, а лучи VF и DG  – в точке K. Чему равна площадь треугольника FGD, если VF:KF=2:3, площадь треугольника GDS равна 5, а площадь треугольника KVS равна 20?

Постоим чертеж.

Задача 2

Так как нам известно отношение VF:KF=2:3, то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников VSF и FSK, они будут относиться так же, поэтому S_{ VSF }=8, а S_{ FSK }=12. Тогда, зная площадь треугольника GDS, можем сделать вывод, что площадь четырехугольника VDGF равна 3. Обозначим за x площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника FGK за y. Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники VDF и FDK имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как VF:KF=2:3, поэтому запишем:

    \[\frac{S_{ VDF }}{S_{ FDK }}=\frac{2}{3}\]

    \[\frac{3-x }{y+x}=\frac{2}{3}\]

Тогда y=\frac{9-3x}{2}.

Треугольники FDG и GDS имеют общую высоту, поэтому

    \[\frac{S_{ FDG }}{S_{ GDS}}=\frac{FG}{GS}\]

Аналогично, треугольники FGK и GSK тоже имеют общую высоту, поэтому их площади относятся точно так же:

    \[\frac{S_{ FGK }}{S_{ GSK}}=\frac{FG}{GS}\]

То есть

    \[\frac{S_{ FGK }}{S_{ GSK}}=\frac{S_{ FDG }}{S_{ GDS}}\]

    \[\frac{y}{12-y}=\frac{x}{5}\]

    \[\frac{\frac{9-3x}{2}}{12-\frac{9-3x}{2}}=\frac{x}{5}\]

    \[\frac{45-25x}{2}=12x-\frac{9-5x}{2}\cdot x\]

    \[2,5x^2+20x-22,5=0\]

    \[x^2+8x-9=0\]

Один из корней – 1, а второй – отрицательный – нам не подходит по смыслу.

Ответ: 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *