Планиметрия: задачи с фантазией – 6

[latexpage]

Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.

Задача 1. На основании $PI=24$ равнобедренного треугольника $PJI$ выбрана точка $A$. Окружности, вписанные в треугольники $PJA$ и $IJA$, касаются отрезка $JA$ в точках $K$ и $H$ соответственно. Чему равна длина наименьшего из отрезков $PA$, $AJ$, если $KH=8$?

Задача 1

Воспользовавшись свойствами касательных, обозначим равные отрезки на чертеже: $LP=PM=l$, где $M$ и $L$ – точки касания меньшей окружности со сторонами треугольника. $HJ=JN=y$, $NI=GI=z$, $MA=AK=x$. Тогда $KJ=y+8=LJ$, $AH=x+8=AG$.

Мы знаем, что $l+x+x+8+z=24$.

Также в условии сказано, что треугольник равнобедренный: $l+y+8=y+z$. Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ l+2x+z=16 }\\{ l+8=z }\end{matrix}$$

Тогда, подставляя $z$ в первое уравнение, получим $2l+8+2x=16$, или $l+x=4$, а это и есть искомый отрезок $PA$.

Ответ: $PA=4$.

Задача 2. Дан выпуклый четырехугольник $VDGF$. Лучи $VD$ и $FG$ пересекаются в точке $S$, а лучи $VF$ и $DG$  – в точке $K$. Чему равна площадь треугольника $FGD$, если $VF:KF=2:3$, площадь треугольника $GDS$ равна 5, а площадь треугольника $KVS$ равна 20?

Постоим чертеж.

Задача 2

Так как нам известно отношение $VF:KF=2:3$, то можно из этого отношения сделать вывод об отношении площадей треугольников $VSF$ и $FSK$, они будут относиться так же, поэтому $S_{ VSF }=8$, а $S_{ FSK }=12$. Тогда, зная площадь треугольника $GDS$, можем сделать вывод, что площадь четырехугольника $VDGF$ равна 3. Обозначим за $x$ площадь искомого треугольника (голубого), а площадь треугольника $FGK$ за $y$. Обратим внимание на то, что, поскольку треугольники $VDF$ и $FDK$ имеют общую высоту, то их площади тоже относятся как $VF:KF=2:3$, поэтому запишем:

$$\frac{S_{ VDF }}{S_{ FDK }}=\frac{2}{3}$$

$$\frac{3-x }{y+x}=\frac{2}{3}$$

Тогда $y=\frac{9-3x}{2}$.

Треугольники $FDG$ и $GDS$ имеют общую высоту, поэтому

$$\frac{S_{ FDG }}{S_{ GDS}}=\frac{FG}{GS}$$

Аналогично, треугольники $FGK$ и $GSK$ тоже имеют общую высоту, поэтому их площади относятся точно так же:

$$\frac{S_{ FGK }}{S_{ GSK}}=\frac{FG}{GS}$$

То есть

$$\frac{S_{ FGK }}{S_{ GSK}}=\frac{S_{ FDG }}{S_{ GDS}}$$

$$\frac{y}{12-y}=\frac{x}{5}$$

$$\frac{\frac{9-3x}{2}}{12-\frac{9-3x}{2}}=\frac{x}{5}$$

$$\frac{45-25x}{2}=12x-\frac{9-5x}{2}\cdot x$$

$$2,5x^2+20x-22,5=0$$

$$x^2+8x-9=0$$

Один из корней – 1, а второй – отрицательный – нам не подходит по смыслу.

Ответ: 1.