Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Планиметрия: задачи с фантазией – 5

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Внутри равностороннего треугольника расположены три различные окружности , и . Все три окружности касаются обеих сторон и . Кроме того, окружность касается стороны , окружность касается окружности , окружность касается окружности . Чему равен радиус , если радиус равен ?

Решение.

Задача 1

Сначала я нарисовала треугольник и вписанную в него окружность . Затем стало понятно, что окружность меньше и вписана в угол , отсекаемый от треугольника большой окружностью, а самой маленькой является , которая вписана в маленький уголок, отсекаемый .

Задача 1: треугольники

Вообще в правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен . Тогда, зная радиус самой маленькой окружности, найдем высоту правильного треугольника, в который она вписана:

   

Это составляет одну треть высоты среднего треугольника, так как две трети высоты составит диаметр окружности  . Тогда ее радиус равен , а высота треугольника, в который вписана , равна , что составляет одну треть высоты треугольника и равно радиусу вписанной в него окружности : .

Ответ: .

 

Задача 2. Расстояние между параллельными прямыми равно 5. На одной из них лежит точка , а на другой  – точки и , причем треугольник – равнобедренный, а его боковая сторона равна 13. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот треугольник?

Решение.

Задача 2

Рассмотрим случай, когда основание треугольника принадлежит одной из прямых. Тогда его высота равна , боковая сторона равна , и нетрудно подсчитать основание по теореме Пифагора, оно получится равным 24. Зная площадь и периметр, найдем радиус вписанной окружности:

   

   

   

   

   

Теперь рассмотрим случай, когда боковая сторона треугольника совпадает с одной из параллельных прямых. Тогда его площадь равна

   

Высота разобьет боковую сторону, на которой лежит треугольник,  на два отрезка: и , это нетрудно увидеть из  той же теоремы Пифагора. Тогда основание тоже можно найти из теоремы Пифагора:

   

   

Полупериметр тогда равен:

   

А радиус вписанной окружности

   

Домножим на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   

Ответ: либо 2,4, либо .

 

Задача 3. Отношение расстояний от центров пересекающихся окружностей до их общей хорды равно 25, а радиус одной окружности в 12 раз больше радиуса другой. Чему равна длина общей хорды этих окружностей, если расстояние между центрами равно ?

Решение.

Задача 3 – внешнее расположение

При разном расположении окружностей решение будет разным, поэтому рассмотрим два случая, первый – расположение центров окружностей по разные стороны от общей хорды, и второй случай – по одну сторону.

Первый случай: , , .

Тогда

   

   

Для прямоугольных треугольников и запишем:

   

   

   

   

   

Тогда искомая хорда:

   

Теперь  нарисуем иначе:

Задача 3 – внутреннее расположение

Окружности с центрами и по одну строну от общей хорды . Тогда , , .

   

   

Для прямоугольных треугольников и запишем:

   

   

   

   

   

Тогда искомая хорда:

   

Ответ: , .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *