Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрия: задачи с фантазией – 5

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

[latexpage]

Задача 1. Внутри равностороннего треугольника $QBD$ расположены три различные окружности $\Omega$, $\Upsilon$ и $\Xi$. Все три окружности касаются обеих сторон $QB$ и $QD$. Кроме того, окружность $\Xi$ касается стороны $BD$, окружность $\Omega$ касается окружности $\Xi$, окружность $\Upsilon$ касается окружности $\Omega$. Чему равен радиус $\Xi$, если радиус $\Upsilon$ равен $\frac{2}{63}$?

Решение.

Задача 1

Сначала я нарисовала треугольник и вписанную в него окружность $\Xi$. Затем стало понятно, что окружность $\Omega$ меньше $\Xi$ и вписана в угол $BQD$, отсекаемый от треугольника большой окружностью, а самой маленькой является $\Upsilon$, которая вписана в маленький уголок, отсекаемый $\Omega$.

Задача 1: треугольники

Вообще в правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен $\frac{1}{3}h$. Тогда, зная радиус самой маленькой окружности, найдем высоту правильного треугольника, в который она вписана:

$$h_1=3r_{\Upsilon}=\frac{2}{21}$$

Это составляет одну треть высоты среднего треугольника, так как две трети высоты составит диаметр окружности  $\Omega$ . Тогда ее радиус равен $\frac{2}{21}$, а высота треугольника, в который вписана $\Omega$, равна $\frac{6}{21}$, что составляет одну треть высоты треугольника $ QBD$ и равно радиусу вписанной в него окружности $\Xi$: $\frac{6}{21}=\frac{6}{21}$.

Ответ: $r_{\Xi }=\frac{2}{7}$.

 

Задача 2. Расстояние между параллельными прямыми равно 5. На одной из них лежит точка $R$, а на другой  – точки $M$ и $T$, причем треугольник $MTR$ – равнобедренный, а его боковая сторона равна 13. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот треугольник?

Решение.

Задача 2

Рассмотрим случай, когда основание треугольника $AC$ принадлежит одной из прямых. Тогда его высота равна $BD=5$, боковая сторона равна $AB=13$, и нетрудно подсчитать основание по теореме Пифагора, оно получится равным 24. Зная площадь и периметр, найдем радиус вписанной окружности:

$$P_1=2\cdot13+24=50$$

$$p_1=\frac{P_1}{2}=25$$

$$S_1=\frac{24\cdot5}{2}=60$$

$$S=pr$$

$$r_1=\frac{S_1}{p_1}=\frac{60}{25}=2,4$$

Теперь рассмотрим случай, когда боковая сторона треугольника $EG$ совпадает с одной из параллельных прямых. Тогда его площадь равна

$$S_2=\frac{13\cdot5}{2}=32,5$$

Высота разобьет боковую сторону, на которой лежит треугольник,  на два отрезка: $EH=12$ и $HG=1$, это нетрудно увидеть из  той же теоремы Пифагора. Тогда основание тоже можно найти из теоремы Пифагора:

$$FG^2=5^2+1^2=26$$

$$FG=\sqrt{26}$$

Полупериметр тогда равен:

$$p_2=\frac{P_2}{2}=13+\frac{\sqrt{26}}{2}$$

А радиус вписанной окружности

$$r_2=\frac{S_2}{p_2}=\frac{32,5}{13+\frac{\sqrt{26}}{2}}$$

Домножим на $13-\frac{\sqrt{26}}{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$r_2=\frac{32,5(13-\frac{\sqrt{26}}{2})}{(13+\frac{\sqrt{26}}{2})(13-\frac{\sqrt{26}}{2})}=\frac{65(13-\frac{\sqrt{26}}{2})}{2(169-\frac{26}{4})}=\frac{65(13-\frac{\sqrt{26}}{2})}{325}=\frac{13-\frac{\sqrt{26}}{2}}{5}=2,6-\frac{\sqrt{26}}{10}$$

Ответ: либо 2,4, либо $2,6-\frac{\sqrt{26}}{10}$.

 

Задача 3. Отношение расстояний от центров пересекающихся окружностей до их общей хорды равно 25, а радиус одной окружности в 12 раз больше радиуса другой. Чему равна длина общей хорды этих окружностей, если расстояние между центрами равно $\sqrt{11}$?

Решение.

Задача 3 – внешнее расположение

При разном расположении окружностей решение будет разным, поэтому рассмотрим два случая, первый – расположение центров окружностей по разные стороны от общей хорды, и второй случай – по одну сторону.

Первый случай: $R=12r$, $IM=25x$, $MJ=x$.

Тогда

$$25x+x=\sqrt{11}$$

$$x=\frac{\sqrt{11}}{26}$$

Для прямоугольных треугольников $IKM$ и $MKJ$ запишем:

$$r^2-x^2=R^2-(25x)^2$$

$$r^2-x^2=144r^2-625x^2$$

$$143r^2=624x^2$$

$$r^2=\frac{624x^2}{143}$$

$$r^2=\frac{624\cdot11}{143\cdot26^2}=\frac{48}{26^2}$$

Тогда искомая хорда:

$$KL=2KM=2\sqrt{r^2-x^2}=2\sqrt{\frac{48}{26^2}-\frac{11}{26^2}}=\frac{2\sqrt{37}}{26}=\frac{\sqrt{37}}{13}$$

Теперь  нарисуем иначе:

Задача 3 – внутреннее расположение

Окружности с центрами $I$ и $N$ по одну строну от общей хорды $OP$. Тогда $R=12r$, $IQ=25x$, $NQ=x$.

$$25x-x=\sqrt{11}$$

$$x=\frac{\sqrt{11}}{24}$$

Для прямоугольных треугольников $IOQ$ и $NOQ$ запишем:

$$r^2-x^2=R^2-(25x)^2$$

$$r^2-x^2=144r^2-625x^2$$

$$143r^2=624x^2$$

$$r^2=\frac{624x^2}{143}$$

$$r^2=\frac{624\cdot11}{143\cdot24^2}=\frac{48}{24^2}$$

Тогда искомая хорда:

$$OP=2OQ=2\sqrt{r^2-x^2}=2\sqrt{\frac{48}{24^2}-\frac{11}{24^2}}=\frac{2\sqrt{37}}{24}=\frac{\sqrt{37}}{12}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{37}}{13}$, $\frac{\sqrt{37}}{12}$.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *