Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Планиметрия: задачи с фантазией – 4

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Две окружности касаются в точке . Радиусы окружностей равны 10 и 7. На большей окружности выбрана точка , и проведена касательная к меньшей окружности ( – точка касания). Чему равна длина , если ?

Задача 1

Рассмотрим треугольники   и . Углы и равны как вертикальные, кроме того, из теоремы об угле между касательной и секущей можно заключить, что равны центральные углы и . То есть по двум углам треугольники подобны, следовательно, можно составить отношение сходственных сторон для них:

   

Откуда .

По теореме о касательной и секущей

   

   

   

 

Задача 2. Дан квадрат . Вершина треугольника находится на стороне , а вершина – на прямой . Чему равна площадь треугольника , если тангенс угла , , а ?

Немного поразмышляв над величиной тангенса, я поняла, что точка может находиться либо между точками и , либо ниже точки .

Задача 2, первый случай

Рассмотрим первый вариант.

   

   

   

Вычисляем площадь треугольника , «отрезая» все лишнее.

   

   

   

Теперь рассмотрим второй случай.

Задача 2, второй случай

Длина отрезка не изменилась:

   

   

   

Вычисляем площадь треугольника , «отрезая» все лишнее.

   

   

   

Ответ: или .

 

Задача 3. На окружности взяты три точки , , и , причем лежит на меньшей дуге . Касательные к окружности, проведенные через и , пересекаются в точке . Касательная, проведенная через , пересекает прямые и в точках и . Чему равен , где – центр окружности, если периметр треугольника равен 6, а радиус окружности – 4?

Задача 3

Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Аналогично равны отрезки и . Поэтому , а так как отрезки и также являются отрезками касательных, проведенных из одной точки, то .

Треугольник прямоугольный, и в нем известны оба катета,  тогда его гипотенуза равна 5: . Найдем косинус угла :

   

Его синус:

   

Тогда можно найти косинус двойного угла, ведь угол :

   

Ответ: .

 

Задача 4. Даны две равные окружности и , касающиеся друг друга внешним образом. Каждая из них касается извне третьей окружности в точках и . Чему равен радиус окружности , если радиус окружности равен 4 и ?

Задача 4

Очевидно, что радиусы и лежат на одной прямой, ведь оба они перпендикулярны одной и той же касательной (на рисунке не показана, но могла бы быть проведена через точку ). Аналогично, радиусы и также лежат на одной  прямой. Так как угол для треугольников и общий и оба треугольника равнобедренные, то они подобны. Найдем коэффициент подобия:

   

Тогда из отношения сходственных сторон для треугольников имеем:

   

Здесь – радиус малой окружности.

   

   

   

Ответ:

 

Задача 5. Окружность, центр которой находится на прямой , касается прямой в точке и касается прямой в точке . Чему равна длина , если и ?

Понятно, что центр окружности на может лежать на прямой справа от точки , потому что в таком случае не сможет касаться прямой . Тогда точка может располагаться между точками и , а также левее . Следовательно, возможны два варианта решения. Рассмотрим первый рисунок.

Задача 5, первый случай

Отрезки и равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Длину можно найти по теореме Пифагора:

   

   

Тогда .

Теперь воспользуемся подобием треугольников и (оба прямоугольные и имеют общий острый угол). Запишем отношение сходственных сторон для них:

   

Откуда

   

Определим длину отрезка в этом случае:

   

Теперь рассмотрим второй случай.

Задача 5, второй случай

В этом случае длина отрезка , как и в первом варианте  решения, а длина .

Снова воспользуемся подобием треугольников и . Запишем отношение сходственных сторон для них:

   

Откуда

   

Определим длину отрезка в этом случае:

   

Ответ: или .

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *