Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрия: задачи с фантазией – 4

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Две окружности касаются в точке R. Радиусы окружностей равны 10 и 7. На большей окружности выбрана точка B, и проведена касательная BG к меньшей окружности (G – точка касания). Чему равна длина BG, если BR=12?

Задача 1

Рассмотрим треугольники DFR  и BER. Углы DRF и BRE равны как вертикальные, кроме того, из теоремы об угле между касательной и секущей можно заключить, что равны центральные углы FDR и BER. То есть по двум углам треугольники подобны, следовательно, можно составить отношение сходственных сторон для них:

    \[\frac{R}{r}=\frac{BR}{RF}\]

Откуда RF=\frac{BR\cdot r}{R}.

По теореме о касательной и секущей

    \[BG^2=BR\cdot BF\]

    \[BG=\sqrt{ BR\cdot BF}=\sqrt{ BR\cdot (BR+RF)}= \sqrt{ BR\cdot (BR+\frac{BR\cdot r}{R})}=BR\sqrt{(1+\frac{r}{R})}\]

    \[BG= 12\sqrt{(1+\frac{7}{10})}=12\sqrt{\frac{17}{10}}=12\sqrt{\frac{17}{10}}=1,2\sqrt{170}\]

 

Задача 2. Дан квадрат ETRS. Вершина B треугольника TBA находится на стороне RS, а вершина A – на прямой ES. Чему равна площадь треугольника TBA, если тангенс угла \angle(BA,RS)=\frac{4}{9}, RB=1, а ET=6?

Немного поразмышляв над величиной тангенса, я поняла, что точка может находиться либо между точками E и S, либо ниже точки S.

Задача 2, первый случай

Рассмотрим первый вариант.

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{AS}{BS}=\frac{4}{9}\]

    \[BS=SR-BR=6-1=5\]

    \[AS=\frac{4BS}{9}=\frac{20}{9}\]

Вычисляем площадь треугольника TBA, «отрезая» все лишнее.

    \[S_{TBA}=S_{ETRS}-S_{BTR}-S_{ETA}-S_{SAB}\]

    \[S_{TBA}=ET\cdot ES-\frac{BR\cdot ES}{2}-\frac{EA\cdot ET}{2}-\frac{AS\cdot SB}{2}\]

    \[S_{TBA}=6\cdot 6-\frac{1\cdot 6}{2}-\frac{(6-\frac{20}{9})\cdot 6}{2}-\frac{\frac{20}{9}\cdot 5}{2}=36-3-\frac{102}{9}-\frac{50}{9}=16\frac{1}{9}=\frac{145}{9}\]

Теперь рассмотрим второй случай.

Задача 2, второй случай

Длина отрезка AS не изменилась:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{AS}{BS}=\frac{4}{9}\]

    \[BS=SR-BR=6-1=5\]

    \[AS=\frac{4BS}{9}=\frac{20}{9}\]

Вычисляем площадь треугольника TBA, «отрезая» все лишнее.

    \[S_{TBA}=S_{ETBS}+S_{SAB}-S_{ETA}\]

    \[S_{TBA}=\frac{ET+BS}{2}\cdotES+\frac{AS\cdot SB}{2}-\frac{EA\cdot ET}{2}\]

    \[S_{TBA}=\frac{6+5}{2}\cdot6+\frac{\frac{20}{9}\cdot 5}{2}-\frac{6+\frac{20}{9}\cdot 6}{2}=33+\frac{50}{9}-\frac{222}{9}=\frac{125}{9}\]

Ответ: S_{TBA}=\frac{145}{9} или S_{TBA}=\frac{125}{9}.

 

Задача 3. На окружности взяты три точки E, K, и G, причем G лежит на меньшей дуге EK. Касательные к окружности, проведенные через E и K, пересекаются в точке I. Касательная, проведенная через G, пересекает прямые IE и IK в точках M и U. Чему равен \cos \angle EDK, где D – центр окружности, если периметр треугольника MUI равен 6, а радиус окружности – 4?

Задача 3

Отрезки EM и MG равны как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Аналогично равны отрезки GU и UK. Поэтому P_{MUI}=EI+IK, а так как отрезки EI и IK также являются отрезками касательных, проведенных из одной точки, то EI=IK=\frac{ P_{MUI}}{2}=3.

Треугольник DEI прямоугольный, и в нем известны оба катета,  тогда его гипотенуза равна 5: DI=5. Найдем косинус угла EDI:

    \[\cos{\angle EDI}=\frac{ED}{DI}=\frac{4}{5}\]

Его синус:

    \[\sin{\angle EDI}=\frac{EI}{DI}=\frac{3}{5}\]

Тогда можно найти косинус двойного угла, ведь угол \angle EDK=2\angle EDI:

    \[\cos{\angle EDK}=\cos^2{\angle EDI}-\sin^2{\angle EDI}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}\]

Ответ: \cos{\angle EDK}=\frac{7}{25}.

 

Задача 4. Даны две равные окружности \Omega и \Sigma, касающиеся друг друга внешним образом. Каждая из них касается извне третьей окружности B в точках C и F. Чему равен радиус окружности B, если радиус окружности \Sigma равен 4 и CF=1?

Задача 4

Очевидно, что радиусы DC и CK лежат на одной прямой, ведь оба они перпендикулярны одной и той же касательной (на рисунке не показана, но могла бы быть проведена через точку C). Аналогично, радиусы KF и FH также лежат на одной  прямой. Так как угол CKF для треугольников CKF и DKH общий и оба треугольника равнобедренные, то они подобны. Найдем коэффициент подобия:

    \[k=\frac{2DG}{CF}=8\]

Тогда из отношения сходственных сторон для треугольников имеем:

    \[k=\frac{r+4}{r}\]

Здесь r – радиус малой окружности.

    \[r+4=kr\]

    \[7r=4\]

    \[r=\frac{4}{7}\]

Ответ: r=\frac{4}{7}

 

Задача 5. Окружность, центр E которой находится на прямой BQ, касается прямой BO в точке B и касается прямой OQ в точке L. Чему равна длина EQ, если BO=1 и BQ=\frac{4}{3}?

Понятно, что центр окружности E на может лежать на прямой BQ справа от точки Q, потому что в таком случае не сможет касаться прямой OQ. Тогда точка E может располагаться между точками B и Q, а также левее B. Следовательно, возможны два варианта решения. Рассмотрим первый рисунок.

Задача 5, первый случай

Отрезки BO и OL равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Длину OQ можно найти по теореме Пифагора:

    \[OQ^2=BO^2+BQ^2=1^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2=1=\frac{16}{9}=\frac{25}{9}\]

    \[OQ=\frac{5}{3}\]

Тогда LQ=OQ-OL=\frac{2}{3}.

Теперь воспользуемся подобием треугольников BOQ и ELQ (оба прямоугольные и имеют общий острый угол). Запишем отношение сходственных сторон для них:

    \[\frac{BO}{EL}=\frac{BQ}{LQ}\]

Откуда

    \[EL=\frac{BO\cdot LQ}{BQ}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}\]

Определим длину отрезка EQ в этом случае:

    \[EQ=BQ-BE=BQ-LE=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\]

Теперь рассмотрим второй случай.

Задача 5, второй случай

В этом случае длина отрезка OQ=\frac{5}{3}, как и в первом варианте  решения, а длина LQ=OQ+OL=OQ+BO=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}.

Снова воспользуемся подобием треугольников BOQ и ELQ. Запишем отношение сходственных сторон для них:

    \[\frac{ EL }{ BO }=\frac{ LQ }{ BQ }\]

Откуда

    \[EL=\frac{BO\cdot LQ}{BQ}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}=2\]

Определим длину отрезка EQ в этом случае:

    \[EQ=BQ+BE=BQ+LE=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}\]

Ответ: EQ=\frac{5}{6} или EQ=\frac{10}{3}.

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *