Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.
Задача 1.
Две окружности касаются в точке 
. Радиусы окружностей равны 10 и 7. На большей окружности выбрана точка 
, и проведена касательная 
к меньшей окружности (
- точка касания). Чему равна длина , если 
?
Задача 1
Рассмотрим треугольники 
и 
. Углы 
и 
равны как вертикальные, кроме того, из теоремы об угле между касательной и секущей можно заключить, что равны центральные углы 
и . То есть по двум углам треугольники подобны, следовательно, можно составить отношение сходственных сторон для них:
Откуда 
.
По теореме о касательной и секущей
Задача 2.
Дан квадрат 
. Вершина треугольника 
находится на стороне 
, а вершина 
- на прямой 
. Чему равна площадь треугольника , если тангенс угла 
, 
, а 
?
Немного поразмышляв над величиной тангенса, я поняла, что точка может находиться либо между точками 
и 
, либо ниже точки .
Задача 2, первый случай
Рассмотрим первый вариант.
Вычисляем площадь треугольника , «отрезая» все лишнее.
Теперь рассмотрим второй случай.
Задача 2, второй случай
Длина отрезка 
не изменилась:
Вычисляем площадь треугольника , «отрезая» все лишнее.
Ответ: 
или 
.
Задача 3.
На окружности взяты три точки , 
, и , причем лежит на меньшей дуге 
. Касательные к окружности, проведенные через и , пересекаются в точке 
. Касательная, проведенная через , пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
. Чему равен 
, где 
- центр окружности, если периметр треугольника 
равен 6, а радиус окружности – 4?
Задача 3
Отрезки 
и 
равны как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Аналогично равны отрезки 
и 
. Поэтому 
, а так как отрезки 
и также являются отрезками касательных, проведенных из одной точки, то 
.
Треугольник 
прямоугольный, и в нем известны оба катета, тогда его гипотенуза равна 5: 
. Найдем косинус угла 
:
Его синус:
Тогда можно найти косинус двойного угла, ведь угол 
:
Ответ: 
.
Задача 4.
Даны две равные окружности 
и 
, касающиеся друг друга внешним образом. Каждая из них касается извне третьей окружности в точках 
и 
. Чему равен радиус окружности , если радиус окружности равен 4 и 
?
Задача 4
Очевидно, что радиусы 
и 
лежат на одной прямой, ведь оба они перпендикулярны одной и той же касательной (на рисунке не показана, но могла бы быть проведена через точку ). Аналогично, радиусы 
и 
также лежат на одной прямой. Так как угол 
для треугольников и 
общий и оба треугольника равнобедренные, то они подобны. Найдем коэффициент подобия:
Тогда из отношения сходственных сторон для треугольников имеем:
Здесь 
- радиус малой окружности.
Ответ: 
Задача 5.
Окружность, центр которой находится на прямой 
, касается прямой 
в точке и касается прямой 
в точке 
. Чему равна длина 
, если 
и 
?
Понятно, что центр окружности на может лежать на прямой справа от точки 
, потому что в таком случае не сможет касаться прямой . Тогда точка может располагаться между точками и , а также левее . Следовательно, возможны два варианта решения. Рассмотрим первый рисунок.
Задача 5, первый случай
Отрезки и 
равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Длину можно найти по теореме Пифагора:
Тогда 
.
Теперь воспользуемся подобием треугольников 
и 
(оба прямоугольные и имеют общий острый угол). Запишем отношение сходственных сторон для них:
Откуда
Определим длину отрезка в этом случае:
Теперь рассмотрим второй случай.
Задача 5, второй случай
В этом случае длина отрезка 
, как и в первом варианте решения, а длина 
.
Снова воспользуемся подобием треугольников и . Запишем отношение сходственных сторон для них:
Откуда
Определим длину отрезка в этом случае:
Ответ: 
или 
.
Простая физика