Планиметрия: задачи с фантазией

Планиметрия: задачи с фантазией – 3

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Дан прямоугольник $EJKV$ . Прямая, проходящая через вершину $K$ , касается окружности радиуса 2 с центром в точке $E$ и пересекает отрезок $EV$ в точке $D$ . Чему равна длина отрезка $ED$ , если длина $EJ$ равна 1, а длина $EV$ равна 4?

Задача 1

Рассмотрим треугольники $FED$ и $DKV$ . Оба они – прямоугольные, и имеют один равный острый угол (вертикальные углы $FDE$ и $VDK$ ). По двум углам треугольники подобны. Сходственными сторонами являются $DE$ и $DK$ , $FE$ и $VK$ . Из отношения сходственных сторон найдем коэффициент подобия треугольников:

$\frac{ FE }{ VK }=\frac{2}{1}=2$

Обозначим длину отрезка $DK$ за $x$ . Тогда из подобия следует, что $DE=2x$ . По теореме Пифагора для малого треугольника $VDK$ :

$DV^2=DK^2-VK^2=x^2-1$

$DV=\sqrt{ x^2-1}$

Но по условию $DV+DE=4$ , поэтому

$\sqrt{ x^2-1}+2x=4$

Решим относительно $x$ :

$\sqrt{ x^2-1}=4-2x$

$x^2-1=(4-2x)^2$

$x^2-1=16-16x+4x^2$

$3x^2-16x+17=0$

$x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot3\cdot17}}{6}$

$x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{52}}{6}=\frac{8 \pm \sqrt{13}}{3}$

Нам нужно было определить длину отрезка $ED$ , а это $2x$ :

$ED=\frac{16 \pm 2\sqrt{13}}{3}$

Из двух корней выберем меньший, ведь $ED<4$ .

Ответ: $ED=\frac{16 - 2\sqrt{13}}{3}$

Задача 2. Окружность, описанная около треугольника $RVS$ , касается окружности, описанной около треугольника $RMN$ . При этом точки $R, M, N$ лежат на одной прямой, и точки $R, S, N$ лежат на одной прямой. Чему равна длина $RN$ , если $RM=3$ , $RV=5$ и $RS=4$ ?

К задаче 2

Углы $VRS$ и $NRM$ равны как вертикальные. Если через точку $R$ провести касательную $TL$ к обеим окружностям, то углы $SRT$ и $LRN$ также равны как вертикальные, и по теореме об угле между хордой и касательной окажутся равными дуги $RS$ и $RN$ , а следовательно, и вписанные углы, опирающиеся на них: $\angle RMN=\angle SVR$ . Поэтому треугольники $RVS$ и $RMN$ подобны по двум углам. Запишем для них отношение длин сходственных сторон:

$\frac{RS}{RN}=\frac{RV}{RM}$

$\frac{4}{RN}=\frac{5}{3}$

Откуда находим $RN=\frac{12}{5}$

Ответ: $RN=\frac{12}{5}$

Задача 3. На стороне $NJ$ квадрата $LWNJ$ выбрана точка $D$ и через нее проведена прямая, пересекающая прямую $LJ$ в точке $Q$ . Чему равна длина $LQ$ , если $LW=3$ , площадь треугольника $WDQ$ равна 8, а $ND=1$ ?

Эта задача также имеет два случая возможного решения. Нарисуем поэтому два рисунка. Первый случай совсем очевиден:

К задаче 3 – первый случай

Обозначим $QL$ за $x$ . Запишем площадь трапеции $QWNJ$ двумя способами. Во-первых, по формуле площади трапеции:

$S_{QWLJ}=\frac{WN+QJ}{2}\cdot NJ=\frac{3+3+x}{2}\cdot 3=9+1,5x$

Теперь запишем площадь той же трапеции как сумму площадей входящих в нее фигур:

$S_{QWLJ}=S_{WDQ}+S_{WDN}+S_{QDJ}=8+\frac{WN\cdotND}{2}+\frac{QJ\cdotJD}{2}=8+\frac{3\cdot1}{2}+\frac{(3+x)\cdot2}{2}=8+1,5+3+x=12,5+x$

Осталось приравнять две площади и найти $x$ :

$9+1,5x=12,5+x$

$x=7$

Второй вариант изображения приведет нас к другому ответу:

К задаче 3 – второй случай

Теперь уже площадь треугольника $LWQ$ запишем разными способами. Снова введем $x$ , $x=JQ$ , тогда

$S_{LWQ}=\frac{WL\cdotLQ}{2}=\frac{3\cdot(3+x)}{2}=4,5+1,5x$

Теперь запишем площадь того же треугольника как сумму площадей входящих в него фигур:

$S_{LWQ}=S_{LWDJ}+S_{WDQ}+S_{JDQ}=\frac{WL+DJ}{2}\cdot LJ+8+\frac{JD\cdotJQ}{2}=\frac{3+2}{2}\cdot 3+8+\frac{2\cdotx}{2}=7,5+8+x$

Приравниваем:

$4,5+1,5x=7,5+8+x$

Откуда $x=22$

Ответ: 7 или 22.

Задача 4. Отрезок $CJ$ – диаметр окружности. Из точки $J$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $W$ . На диаметре $CJ$ выбрана точка $V$ . Длина $WV$ равна $\sqrt{34}$ . Чему равна площадь треугольника $CVW$ , если $JW=\sqrt{39}$ , а $CJ=13$ ?

К задаче 4

Треугольник $CWJ$ – прямоугольный. В нем известна гипотенуза $CJ$ и катет $JW$ . Поэтому можно с легкостью определить синус угла $C$ :

$\sin C=\frac{JW}{JC}=\sqrt{\frac{3}{13}}$

Как известно, синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого, поэтому $\cos J=\sqrt{\frac{3}{13}}$ .

Чтобы найти площадь треугольника $CVW$ , нужно либо знать основание и высоту, что здесь, в этой задаче, вряд ли удастся найти, либо воспользоваться формулой площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab \sin{\alpha}$ , тогда надо знать длины сторон. Синус угла $C$ нам известен, длину стороны $CW$ легко определить по теореме Пифагора, осталось найти длину стороны $CV$ . Ее найдем как разность $CJ-JV$ , так как $JV$ легко найти из треугольника $VWJ$ по теореме косинусов. Итак: