Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрия: задачи с фантазией – 3

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Дан прямоугольник EJKV. Прямая, проходящая через вершину K, касается окружности радиуса 2 с центром в точке E и пересекает отрезок EV в точке D. Чему равна длина отрезка ED, если длина EJ равна 1, а длина EV равна 4?

Задача 1

 

Рассмотрим треугольники FED и DKV. Оба они – прямоугольные, и имеют один равный острый угол (вертикальные углы FDE и VDK). По двум углам треугольники подобны. Сходственными сторонами являются DE и DK, FE и VK. Из отношения сходственных сторон найдем коэффициент подобия треугольников:

    \[\frac{ FE }{ VK }=\frac{2}{1}=2\]

Обозначим длину отрезка DK за x. Тогда из подобия следует, что DE=2x. По теореме Пифагора для малого треугольника VDK:

    \[DV^2=DK^2-VK^2=x^2-1\]

    \[DV=\sqrt{ x^2-1}\]

Но по условию DV+DE=4, поэтому

    \[\sqrt{ x^2-1}+2x=4\]

Решим относительно x:

    \[\sqrt{ x^2-1}=4-2x\]

    \[x^2-1=(4-2x)^2\]

    \[x^2-1=16-16x+4x^2\]

    \[3x^2-16x+17=0\]

    \[x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot3\cdot17}}{6}\]

    \[x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{52}}{6}=\frac{8 \pm \sqrt{13}}{3}\]

Нам нужно было определить длину отрезка ED, а это 2x:

    \[ED=\frac{16 \pm 2\sqrt{13}}{3}\]

Из двух корней выберем меньший, ведь ED<4.

Ответ: ED=\frac{16 - 2\sqrt{13}}{3}

 

Задача 2. Окружность, описанная около треугольника RVS, касается окружности, описанной около треугольника RMN. При этом точки R, M, N лежат на одной прямой, и точки R, S, N лежат на одной прямой. Чему равна длина RN, если RM=3, RV=5 и RS=4?

К задаче 2

Углы VRS и NRM равны как вертикальные. Если через точку R провести касательную TL к обеим окружностям, то углы SRT и LRN также равны как вертикальные, и по теореме об угле между хордой и касательной окажутся равными дуги RS и RN, а следовательно, и вписанные углы, опирающиеся на них: \angle RMN=\angle SVR. Поэтому треугольники RVS и RMN подобны по двум углам. Запишем для них отношение длин сходственных сторон:

    \[\frac{RS}{RN}=\frac{RV}{RM}\]

    \[\frac{4}{RN}=\frac{5}{3}\]

Откуда находим RN=\frac{12}{5}

Ответ: RN=\frac{12}{5}

Задача 3. На стороне NJ квадрата LWNJ выбрана точка D и через нее проведена прямая, пересекающая прямую LJ в точке Q. Чему равна длина LQ,  если LW=3, площадь треугольника WDQ равна 8, а ND=1?

Эта задача также имеет два случая возможного решения. Нарисуем поэтому два рисунка. Первый случай совсем очевиден:

К задаче 3 – первый случай

Обозначим QL за x. Запишем площадь трапеции QWNJ двумя способами. Во-первых, по формуле площади трапеции:

    \[S_{QWLJ}=\frac{WN+QJ}{2}\cdot NJ=\frac{3+3+x}{2}\cdot 3=9+1,5x\]

Теперь запишем площадь той же трапеции как сумму площадей входящих в нее фигур:

    \[S_{QWLJ}=S_{WDQ}+S_{WDN}+S_{QDJ}=8+\frac{WN\cdotND}{2}+\frac{QJ\cdotJD}{2}=8+\frac{3\cdot1}{2}+\frac{(3+x)\cdot2}{2}=8+1,5+3+x=12,5+x\]

Осталось приравнять две площади и найти x:

    \[9+1,5x=12,5+x\]

    \[x=7\]

Второй вариант изображения приведет нас к другому ответу:

К задаче 3 – второй случай

Теперь уже площадь треугольника LWQ запишем разными способами. Снова введем x, x=JQ, тогда

    \[S_{LWQ}=\frac{WL\cdotLQ}{2}=\frac{3\cdot(3+x)}{2}=4,5+1,5x\]

Теперь запишем площадь того же треугольника как сумму площадей входящих в него фигур:

    \[S_{LWQ}=S_{LWDJ}+S_{WDQ}+S_{JDQ}=\frac{WL+DJ}{2}\cdot LJ+8+\frac{JD\cdotJQ}{2}=\frac{3+2}{2}\cdot 3+8+\frac{2\cdotx}{2}=7,5+8+x\]

Приравниваем:

    \[4,5+1,5x=7,5+8+x\]

Откуда x=22

Ответ: 7 или 22.

 

Задача 4. Отрезок CJ – диаметр окружности. Из точки J проведен луч, пересекающий окружность в точке W. На диаметре CJ выбрана  точкаV. Длина  WV равна \sqrt{34}. Чему равна площадь треугольника CVW, если JW=\sqrt{39}, а CJ=13?

К задаче 4

Треугольник CWJ – прямоугольный. В нем известна гипотенуза CJ и катет JW. Поэтому можно с легкостью определить синус угла C:

    \[\sin C=\frac{JW}{JC}=\sqrt{\frac{3}{13}}\]

Как известно, синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого, поэтому \cos J=\sqrt{\frac{3}{13}}.

Чтобы найти площадь треугольника CVW, нужно либо знать основание и высоту, что здесь, в этой задаче, вряд ли удастся найти, либо воспользоваться формулой площади треугольника S=\frac{1}{2}ab \sin{\alpha}, тогда надо знать длины сторон. Синус угла C нам известен, длину стороны CW легко определить по теореме Пифагора, осталось найти длину стороны CV. Ее найдем как разность CJ-JV, так как JV легко найти из треугольника VWJ по теореме косинусов. Итак:

    \[VW^2=JV^2+JW^2-2\cdotJV\cdotJW\cdot \cosJ\]

Обозначим JV=x:

    \[34=39+x^2-2\sqrt{39}x\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}\]

Получили квадратное уравнение относительно x:

    \[x^2-6x+5=0\]

x_1=1, x_2=5

Тогда длина отрезка CV=CJ-x либо 12, либо 8.

Найдем CW:

    \[CW^2=CJ^2-JW^2\]

    \[CW^2=169-39=130\]

    \[CW=\sqrt{130}\]

Определяем теперь площадь CVW:

    \[S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot CV\cdot CW\cdot \sin C\]

    \[S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{130}\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}=4\sqrt{30}\]

    \[S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \sqrt{130}\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}=6\sqrt{30}\]

Ответ: S_{ CVW}=4\sqrt{30} или S_{ CVW}=6\sqrt{30}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *