Планиметрия: задачи с фантазией – 3

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

[latexpage]

Задача 1. Дан прямоугольник $EJKV$. Прямая, проходящая через вершину $K$, касается окружности радиуса 2 с центром в точке $E$ и пересекает отрезок $EV$ в точке $D$. Чему равна длина отрезка $ED$, если длина $EJ$ равна 1, а длина $EV$ равна 4?

Задача 1

Рассмотрим треугольники $FED$ и $DKV$. Оба они – прямоугольные, и имеют один равный острый угол (вертикальные углы $FDE$ и $VDK$). По двум углам треугольники подобны. Сходственными сторонами являются $DE$ и $DK$, $FE$ и $VK$. Из отношения сходственных сторон найдем коэффициент подобия треугольников:

$$\frac{ FE }{ VK }=\frac{2}{1}=2$$

Обозначим длину отрезка $DK$ за $x$. Тогда из подобия следует, что $DE=2x$. По теореме Пифагора для малого треугольника $VDK$:

$$DV^2=DK^2-VK^2=x^2-1$$

$$DV=\sqrt{ x^2-1}$$

Но по условию $DV+DE=4$, поэтому

$$\sqrt{ x^2-1}+2x=4$$

Решим относительно $x$:

$$\sqrt{ x^2-1}=4-2x $$

$$x^2-1=(4-2x)^2$$

$$x^2-1=16-16x+4x^2$$

$$3x^2-16x+17=0$$

$$x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot3\cdot17}}{6}$$

$$x_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{52}}{6}=\frac{8 \pm \sqrt{13}}{3}$$

Нам нужно было определить длину отрезка $ED$, а это $2x$:

$$ED=\frac{16 \pm 2\sqrt{13}}{3}$$

Из двух корней выберем меньший, ведь $ED<4$.

Ответ: $ED=\frac{16 – 2\sqrt{13}}{3}$

Задача 2. Окружность, описанная около треугольника $RVS$, касается окружности, описанной около треугольника $RMN$. При этом точки $R, M, N$ лежат на одной прямой, и точки $R, S, N$ лежат на одной прямой. Чему равна длина $RN$, если $RM=3$, $RV=5$ и $RS=4$?

К задаче 2

Углы $VRS$ и $NRM$ равны как вертикальные. Если через точку $R$ провести касательную $TL$ к обеим окружностям, то углы $SRT$ и $LRN$ также равны как вертикальные, и по теореме об угле между хордой и касательной окажутся равными дуги $RS$ и $RN$, а следовательно, и вписанные углы, опирающиеся на них: $\angle RMN=\angle SVR$. Поэтому треугольники $ RVS$ и $RMN$ подобны по двум углам. Запишем для них отношение длин сходственных сторон:

$$\frac{RS}{RN}=\frac{RV}{RM}$$

$$\frac{4}{RN}=\frac{5}{3}$$

Откуда находим $RN=\frac{12}{5}$

Ответ: $RN=\frac{12}{5}$

Задача 3. На стороне $NJ$ квадрата $LWNJ$ выбрана точка $D$ и через нее проведена прямая, пересекающая прямую $LJ$ в точке $Q$. Чему равна длина $LQ$,  если $LW=3$, площадь треугольника $WDQ$ равна 8, а $ND=1$?

Эта задача также имеет два случая возможного решения. Нарисуем поэтому два рисунка. Первый случай совсем очевиден:

К задаче 3 – первый случай

Обозначим $QL$ за $x$. Запишем площадь трапеции $QWNJ$ двумя способами. Во-первых, по формуле площади трапеции:

$$S_{QWLJ}=\frac{WN+QJ}{2}\cdot NJ=\frac{3+3+x}{2}\cdot 3=9+1,5x$$

Теперь запишем площадь той же трапеции как сумму площадей входящих в нее фигур:

$$S_{QWLJ}=S_{WDQ}+S_{WDN}+S_{QDJ}=8+\frac{WN\cdotND}{2}+\frac{QJ\cdotJD}{2}=8+\frac{3\cdot1}{2}+\frac{(3+x)\cdot2}{2}=8+1,5+3+x=12,5+x$$

Осталось приравнять две площади и найти $x$:

$$9+1,5x=12,5+x$$

$$x=7$$

Второй вариант изображения приведет нас к другому ответу:

К задаче 3 – второй случай

Теперь уже площадь треугольника $LWQ$ запишем разными способами. Снова введем $x$, $x=JQ$, тогда

$$S_{LWQ}=\frac{WL\cdotLQ}{2}=\frac{3\cdot(3+x)}{2}=4,5+1,5x$$

Теперь запишем площадь того же треугольника как сумму площадей входящих в него фигур:

$$S_{LWQ}=S_{LWDJ}+S_{WDQ}+S_{JDQ}=\frac{WL+DJ}{2}\cdot LJ+8+\frac{JD\cdotJQ}{2}=\frac{3+2}{2}\cdot 3+8+\frac{2\cdotx}{2}=7,5+8+x$$

Приравниваем:

$$4,5+1,5x=7,5+8+x$$

Откуда $x=22$

Ответ: 7 или 22.

Задача 4. Отрезок $CJ$ – диаметр окружности. Из точки $J$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $W$. На диаметре $CJ$ выбрана  точка$V$. Длина  $WV$ равна $\sqrt{34}$. Чему равна площадь треугольника $CVW$, если $JW=\sqrt{39}$, а $CJ=13$?

К задаче 4

Треугольник $CWJ$ – прямоугольный. В нем известна гипотенуза $CJ$ и катет $JW$. Поэтому можно с легкостью определить синус угла $C$:

$$\sin C=\frac{JW}{JC}=\sqrt{\frac{3}{13}}$$

Как известно, синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого, поэтому $\cos J=\sqrt{\frac{3}{13}}$.

Чтобы найти площадь треугольника $CVW$, нужно либо знать основание и высоту, что здесь, в этой задаче, вряд ли удастся найти, либо воспользоваться формулой площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab \sin{\alpha}$, тогда надо знать длины сторон. Синус угла $C$ нам известен, длину стороны $CW$ легко определить по теореме Пифагора, осталось найти длину стороны $CV$. Ее найдем как разность $CJ-JV$, так как $JV$ легко найти из треугольника $VWJ$ по теореме косинусов. Итак:

$$VW^2=JV^2+JW^2-2\cdotJV\cdotJW\cdot \cosJ$$

Обозначим $JV=x$:

$$34=39+x^2-2\sqrt{39}x\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}$$

Получили квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2-6x+5=0$$

$x_1=1, x_2=5$

Тогда длина отрезка $CV=CJ-x$ либо 12, либо 8.

Найдем $CW$:

$$CW^2=CJ^2-JW^2$$

$$CW^2=169-39=130$$

$$CW=\sqrt{130}$$

Определяем теперь площадь $ CVW$:

$$S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot CV\cdot CW\cdot \sin C $$

$$S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{130}\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}=4\sqrt{30}$$

$$S_{ CVW}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \sqrt{130}\cdot \sqrt{\frac{3}{13}}=6\sqrt{30}$$

Ответ: $S_{ CVW}=4\sqrt{30}$ или $S_{ CVW}=6\sqrt{30}$