Планиметрия: задачи с фантазией – 3

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Дан прямоугольник . Прямая, проходящая через вершину , касается окружности радиуса 2 с центром в точке и пересекает отрезок в точке . Чему равна длина отрезка , если длина равна 1, а длина равна 4?

Задача 1

Рассмотрим треугольники и . Оба они – прямоугольные, и имеют один равный острый угол (вертикальные углы и ). По двум углам треугольники подобны. Сходственными сторонами являются и , и . Из отношения сходственных сторон найдем коэффициент подобия треугольников:

Обозначим длину отрезка за . Тогда из подобия следует, что . По теореме Пифагора для малого треугольника :

Но по условию , поэтому

Решим относительно :

Нам нужно было определить длину отрезка , а это :

Из двух корней выберем меньший, ведь .

Ответ:

Задача 2. Окружность, описанная около треугольника , касается окружности, описанной около треугольника . При этом точки лежат на одной прямой, и точки лежат на одной прямой. Чему равна длина , если , и ?

К задаче 2

Углы и равны как вертикальные. Если через точку провести касательную к обеим окружностям, то углы и также равны как вертикальные, и по теореме об угле между хордой и касательной окажутся равными дуги и , а следовательно, и вписанные углы, опирающиеся на них: . Поэтому треугольники и подобны по двум углам. Запишем для них отношение длин сходственных сторон:

Откуда находим

Ответ:

Задача 3. На стороне квадрата выбрана точка и через нее проведена прямая, пересекающая прямую в точке . Чему равна длина ,  если , площадь треугольника равна 8, а ?

Эта задача также имеет два случая возможного решения. Нарисуем поэтому два рисунка. Первый случай совсем очевиден:

К задаче 3 – первый случай

Обозначим за . Запишем площадь трапеции двумя способами. Во-первых, по формуле площади трапеции:

Теперь запишем площадь той же трапеции как сумму площадей входящих в нее фигур:

Осталось приравнять две площади и найти :

Второй вариант изображения приведет нас к другому ответу:

К задаче 3 – второй случай

Теперь уже площадь треугольника запишем разными способами. Снова введем , , тогда

Теперь запишем площадь того же треугольника как сумму площадей входящих в него фигур:

Приравниваем:

Откуда

Ответ: 7 или 22.

Задача 4. Отрезок – диаметр окружности. Из точки проведен луч, пересекающий окружность в точке . На диаметре выбрана  точка. Длина  равна . Чему равна площадь треугольника , если , а ?

К задаче 4

Треугольник – прямоугольный. В нем известна гипотенуза и катет . Поэтому можно с легкостью определить синус угла :

Как известно, синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого, поэтому .

Чтобы найти площадь треугольника , нужно либо знать основание и высоту, что здесь, в этой задаче, вряд ли удастся найти, либо воспользоваться формулой площади треугольника , тогда надо знать длины сторон. Синус угла нам известен, длину стороны легко определить по теореме Пифагора, осталось найти длину стороны . Ее найдем как разность , так как легко найти из треугольника по теореме косинусов. Итак:

Обозначим :

Получили квадратное уравнение относительно :

Тогда длина отрезка либо 12, либо 8.

Найдем :

Определяем теперь площадь :

Ответ: или