Планиметрия: задачи с фантазией

Планиметрия: задачи с фантазией – 3

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. Дан прямоугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Прямая, проходящая через вершину $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , касается окружности радиуса 2 с центром в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и пересекает отрезок $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Чему равна длина отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если длина $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 1, а длина $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 4?

Задача 1

Рассмотрим треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Оба они – прямоугольные, и имеют один равный острый угол (вертикальные углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ). По двум углам треугольники подобны. Сходственными сторонами являются $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Из отношения сходственных сторон найдем коэффициент подобия треугольников:

Обозначим длину отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда из подобия следует, что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . По теореме Пифагора для малого треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Но по условию $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , поэтому

Решим относительно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Нам нужно было определить длину отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а это $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Из двух корней выберем меньший, ведь $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Задача 2. Окружность, описанная около треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , касается окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . При этом точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ лежат на одной прямой, и точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ лежат на одной прямой. Чему равна длина $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

К задаче 2

Углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равны как вертикальные. Если через точку $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ провести касательную $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ к обеим окружностям, то углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ также равны как вертикальные, и по теореме об угле между хордой и касательной окажутся равными дуги $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а следовательно, и вписанные углы, опирающиеся на них: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Поэтому треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ подобны по двум углам. Запишем для них отношение длин сходственных сторон:

Откуда находим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Задача 3. На стороне $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ квадрата $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ выбрана точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и через нее проведена прямая, пересекающая прямую $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Чему равна длина $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна 8, а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

Эта задача также имеет два случая возможного решения. Нарисуем поэтому два рисунка. Первый случай совсем очевиден:

К задаче 3 – первый случай

Обозначим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ за $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Запишем площадь трапеции $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ двумя способами. Во-первых, по формуле площади трапеции:

Теперь запишем площадь той же трапеции как сумму площадей входящих в нее фигур:

Осталось приравнять две площади и найти $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Второй вариант изображения приведет нас к другому ответу:

К задаче 3 – второй случай

Теперь уже площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ запишем разными способами. Снова введем $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда

Теперь запишем площадь того же треугольника как сумму площадей входящих в него фигур:

Приравниваем:

Откуда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Ответ: 7 или 22.

Задача 4. Отрезок $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – диаметр окружности. Из точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . На диаметре $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ выбрана точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Длина $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Чему равна площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

К задаче 4

Треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – прямоугольный. В нем известна гипотенуза $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и катет $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Поэтому можно с легкостью определить синус угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Как известно, синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого, поэтому $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Чтобы найти площадь треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , нужно либо знать основание и высоту, что здесь, в этой задаче, вряд ли удастся найти, либо воспользоваться формулой площади треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тогда надо знать длины сторон. Синус угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ нам известен, длину стороны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ легко определить по теореме Пифагора, осталось найти длину стороны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Ее найдем как разность $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , так как $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ легко найти из треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ по теореме косинусов. Итак: