Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрия: задачи с фантазией – 2

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. В каждый из двух смежных углов с общей вершиной T вписана окружность, причем эти окружности касаются друг друга. Пусть J и Q – центры окружностей. Чему равен радиус окружности с центром J, если радиус окружности с центром Q равен 8, а JT=10?

Сделаем чертеж.

К задаче 1

Так как центр вписанной в угол окружности всегда находится на биссектрисе, то TJ – биссектриса угла OTM, а QT – биссектриса угла NTO. Как известно, между биссектрисами смежных углов всегда прямой угол, поэтому треугольник QJT – прямоугольный. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе (а TO – высота, так как она касательная и перпендикулярна радиусам, проведенным в точку касания) запишем:

    \[k^2=Rr\]

Я обозначила длину отрезка TO за k.

Для треугольника JOT запишем теорему Пифагора:

    \[JT^2=k^2+R^2\]

Искомый радиус R:

    \[R^2= JT^2-k^2=100-Rr\]

Получили квадратное уравнение относительно R:

    \[R^2+8R-100=0\]

    \[D=8^2-4(-100)=464\]

    \[R_{1,2}=\frac{-8 \pm \sqrt{464}}{2}=-4 \pm 2\sqrt{29}\]

Так как один из корней отрицателен, отбросим его: R=-4+2\sqrt{29}

Получилось, что вторая окружность имеет меньший радиус.

Однако возможен вариант, когда ее радиус больше r. Попробуем отыскать решение для этого случая:

    \[R=\sqrt{ JT^2-k^2}=\sqrt{ 100-k^2}\]

    \[k^2=8R=8\sqrt{ 100-k^2}\]

Снова имеем квадратное уравнение, только относительно k (даже биквадратное, так как придется возвести в квадрат, чтобы от корня избавиться):

    \[k^4=64(100-k^2)\]

    \[k^4+64k^2-6400=0\]

    \[D=64^2-4(-6400)=129200\]

    \[k^2_{1,2}=\frac{-64 \pm \sqrt{129200}}{2}=-32 \pm 10\sqrt{73}\]

Так как один из корней отрицателен, отбросим его: k^2=-32+10\sqrt{73}

Тогда R=\frac{k^2}{8}=-4+\frac{5\sqrt{73}}{4}.

Ответ: или R=-4+2\sqrt{29}, или R=-4+\frac{5\sqrt{73}}{4}.

 

Задача 2. Точка M расположена внутри прямого угла на расстояниях 2\frac{2}{11} и \frac{63}{11} от его сторон. Через точку M проведена прямая, отсекающая от прямого угла треугольник. Чему равен тангенс наименьшего из углов треугольника, если его площадь равна 42?

К задаче 2

Пусть DM=2\frac{2}{11}=\frac{24}{11}, ME=\frac{63}{11}.

Площадь треугольника ABC состоит из площади прямоугольника DMEC и площадей треугольников ADM и MEB. Тогда:

    \[S_{ABC}=S_{DMEC}+S_{ADM}+S_{MEB}\]

    \[42=\frac{24}{11}\cdot\frac{63}{11}+\frac{24y}{22}+\frac{63x}{22}\]

Так как неизвестных у нас две, понадобится второе уравнение. Например, площадь треугольника ABC также равна:

    \[S_{ABC}=\frac{(y+ME)(x+DM)}{2}=\frac{(y+\frac{63}{11})(x+\frac{24}{11})}{2}=42\]

Получим одно уравнение из двух. Просто выразим, например, x через y и подставим во второе уравнение системы. Из первого:

    \[x=\frac{7140-264y}{693}\]

    \[(y+\frac{63}{11})(x+\frac{24}{11})=84\]

    \[(y+\frac{63}{11})(\frac{7140-264y}{693}+\frac{24}{11})=84\]

Так как ответ нужен был в виде дроби, то я не стала мучаться и ввела последнее уравнение в строку Вольфрам Альфа, который и выдал мне ответ (умничка, в виде дроби!): y_1=\frac{14}{11} или y_2=\frac{567}{22}.

Если рассмотреть первый ответ, то в треугольнике ADM катет AD меньше катета DM, следовательно, угол \beta меньше, чем \alpha. Тогда тангенс \beta равен:

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{y}{DM}=\frac{14}{11} \cdot \frac{11}{24}=\frac{7}{12}\]

Если исследовать второй ответ, то в том же треугольнике угол \alpha оказывается большим, и тогда

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{ DM }{ y }=\frac{24}{11} \cdot \frac{22}{567}=\frac{48}{567}=\frac{16}{189}\]

Ответ: или \frac{7}{12}, или \frac{16}{189}.

 

Задача 3. В треугольнике LAE  биссектрисы LP и EI пересекаются в точке N. Прямые IP и AN пересекаются в точке B. Чему равно отношение EN:NI, если LN:NP=2 и IB:BP=8:9?

К задаче 3

 

Начнем с того, что прямая NA (или MA) – тоже биссектриса. Решать эту задачу будем, используя свойство биссектрис делить противолежащую сторону на отрезки, длины  которых  относятся также, как относятся стороны угла, который делит биссектриса. Тогда для треугольника AIP запишем:

    \[\frac{AP}{AI}=\frac{BP}{IB}=\frac{9}{8}\]

    \[AP=\frac{9}{8}AI\]

К задаче 3

В треугольнике LAP:

    \[\frac{AP}{LA}=\frac{NP}{LN}=\frac{1}{2}\]

    \[AP=\frac{1}{2}LA\]

Теперь можем найти отношение AI к LA:

    \[\frac{1}{2}LA=\frac{9}{8}AI\]

    \[LA=\frac{9}{4}AI\]

Или

    \[AI=\frac{4}{9}LA\]

Тогда LI=\frac{5}{4}AI.

Теперь, зная отношение \frac{LI}{AI}=\frac{5}{4}, можем найти отношение \frac{AE}{LE}:

    \[\frac{AE}{LE}=\frac{ AI }{ LI }=\frac{4}{5}\]

К задаче 3

Из того же треугольника

    \[\frac{PE}{LE}=\frac{1}{2}\]

    \[PE=\frac{LE}{2}\]

Следовательно,

    \[\frac{AE}{2PE}=\frac{4}{5}\]

    \[\frac{AE}{PE}=\frac{8}{5}\]

    \[PE=\frac{5}{8}AE\]

    \[AP=\frac{3}{8}AE\]

Так как AP=\frac{9}{8}AI, следовательно,

    \[AE=\frac{8AP}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{9AI}{8}=3AI\]

Отношение EN:NI из треугольника LPE:

    \[\frac{EN}{NI}=\frac{LE}{LI}=\frac{AE}{AI}=3\]

 

 

Задача 4. Окружности с центрами O_1 и O_2 являются вневписанными для некоторого прямоугольного треугольника. Чему равна длина O_1O_2, если радиусы окружностей 1 и 7?

Рассмотрим рисунок. Очевидно, что необходимо будет исследовать два случая: ведь можно взять две окружности, касающиеся катетов, а можно взять окружности, касающиеся гипотенузы и катета. Рассмотрим сначала второй случай.

К задаче 4

Очевидно, что EC=O_1D=1, тогда EO_2=R+r=8  а EO_1=R-r=7-1=6. Треугольник EO_2O_1 – прямоугольный и по теореме Пифагора получаем O_1O_2=10.

К задаче 4

Второй случай: рассмотрим прямоугольный треугольник O_1JO_2. В нем JO_2=R+r=8, JO_1=R+r=8, тогда по теореме Пифагора O_1O_2=8\sqrt{2}.

Ответ: или O_1O_2=10, или O_1O_2=8\sqrt{2}.

 

Задача 5. Биссектриса угла V параллелограмма TMSV пересекает прямую TM в точке G. Вписанная окружность треугольника TVG касается прямой TG в точке M, а прямой TV – в точке B.  Чему равна длина TM, если GV=23, MB=4?

К задаче 5

Угол TGV равен углу GVS как накрестлежащий, а следовательно, равен углу TVG, а это значит, что треугольник TVG – равнобедренный. Поэтому  TK – биссектриса, медиана и высота, и разделит GV на два равных отрезка: VK=KG=11,5.

По свойству касательных VB=VK=11,5, BT=TM.

Треугольники TBM и TVG подобны, коэффициент подобия равен k=\frac{GV}{MB}=5,75. Составим отношение сходственных сторон для этих треугольников:

    \[\frac{VT}{BT}=k\]

    \[\frac{VB+BT}{BT}=k\]

    \[\frac{11,5+BT}{BT}=5,75\]

    \[11,5+BT=5,75BT\]

    \[4,75BT=11,5\]

    \[BT=TM=\frac{11,5}{4,75}=\frac{23}{2}\cdot \frac{4}{19}=\frac{46}{19}\]

Ответ: TM=\frac{46}{19}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *