Планиметрия: задачи с фантазией- 2

Планиметрия: задачи с фантазией – 2

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. В каждый из двух смежных углов с общей вершиной $T$ вписана окружность, причем эти окружности касаются друг друга. Пусть $J$ и $Q$ – центры окружностей. Чему равен радиус окружности с центром $J$ , если радиус окружности с центром $Q$ равен 8, а $JT=10$ ?

Сделаем чертеж.

К задаче 1

Так как центр вписанной в угол окружности всегда находится на биссектрисе, то $TJ$ – биссектриса угла $OTM$ , а $QT$ – биссектриса угла $NTO$ . Как известно, между биссектрисами смежных углов всегда прямой угол, поэтому треугольник $QJT$ – прямоугольный. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе (а $TO$ – высота, так как она касательная и перпендикулярна радиусам, проведенным в точку касания) запишем:

$k^2=Rr$

Я обозначила длину отрезка $TO$ за $k$ .

Для треугольника $JOT$ запишем теорему Пифагора:

$JT^2=k^2+R^2$

Искомый радиус $R$ :

$R^2= JT^2-k^2=100-Rr$

Получили квадратное уравнение относительно $R$ :

$R^2+8R-100=0$

$D=8^2-4(-100)=464$

$R_{1,2}=\frac{-8 \pm \sqrt{464}}{2}=-4 \pm 2\sqrt{29}$

Так как один из корней отрицателен, отбросим его: $R=-4+2\sqrt{29}$

Получилось, что вторая окружность имеет меньший радиус.

Однако возможен вариант, когда ее радиус больше $r$ . Попробуем отыскать решение для этого случая:

$R=\sqrt{ JT^2-k^2}=\sqrt{ 100-k^2}$

$k^2=8R=8\sqrt{ 100-k^2}$

Снова имеем квадратное уравнение, только относительно $k$ (даже биквадратное, так как придется возвести в квадрат, чтобы от корня избавиться):

$k^4=64(100-k^2)$

$k^4+64k^2-6400=0$

$D=64^2-4(-6400)=129200$

$k^2_{1,2}=\frac{-64 \pm \sqrt{129200}}{2}=-32 \pm 10\sqrt{73}$

Так как один из корней отрицателен, отбросим его: $k^2=-32+10\sqrt{73}$

Тогда $R=\frac{k^2}{8}=-4+\frac{5\sqrt{73}}{4}$ .

Ответ: или $R=-4+2\sqrt{29}$ , или $R=-4+\frac{5\sqrt{73}}{4}$ .

Задача 2. Точка $M$ расположена внутри прямого угла на расстояниях $2\frac{2}{11}$ и $\frac{63}{11}$ от его сторон. Через точку $M$ проведена прямая, отсекающая от прямого угла треугольник. Чему равен тангенс наименьшего из углов треугольника, если его площадь равна 42?

К задаче 2

Пусть $DM=2\frac{2}{11}=\frac{24}{11}$ , $ME=\frac{63}{11}$ .

Площадь треугольника $ABC$ состоит из площади прямоугольника $DMEC$ и площадей треугольников $ADM$ и $MEB$ . Тогда:

$S_{ABC}=S_{DMEC}+S_{ADM}+S_{MEB}$

$42=\frac{24}{11}\cdot\frac{63}{11}+\frac{24y}{22}+\frac{63x}{22}$

Так как неизвестных у нас две, понадобится второе уравнение. Например, площадь треугольника $ABC$ также равна:

$S_{ABC}=\frac{(y+ME)(x+DM)}{2}=\frac{(y+\frac{63}{11})(x+\frac{24}{11})}{2}=42$

Получим одно уравнение из двух. Просто выразим, например, $x$ через $y$ и подставим во второе уравнение системы. Из первого:

$x=\frac{7140-264y}{693}$

$(y+\frac{63}{11})(x+\frac{24}{11})=84$

$(y+\frac{63}{11})(\frac{7140-264y}{693}+\frac{24}{11})=84$

Так как ответ нужен был в виде дроби, то я не стала мучаться и ввела последнее уравнение в строку Вольфрам Альфа, который и выдал мне ответ (умничка, в виде дроби!): $y_1=\frac{14}{11}$ или $y_2=\frac{567}{22}$ .

Если рассмотреть первый ответ, то в треугольнике $ADM$ катет $AD$ меньше катета $DM$ , следовательно, угол $\beta$ меньше, чем $\alpha$ . Тогда тангенс $\beta$ равен:

$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{y}{DM}=\frac{14}{11} \cdot \frac{11}{24}=\frac{7}{12}$

Если исследовать второй ответ, то в том же треугольнике угол $\alpha$ оказывается большим, и тогда

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{ DM }{ y }=\frac{24}{11} \cdot \frac{22}{567}=\frac{48}{567}=\frac{16}{189}$

Ответ: или $\frac{7}{12}$ , или $\frac{16}{189}$ .

Задача 3. В треугольнике $LAE$ биссектрисы $LP$ и $EI$ пересекаются в точке $N$ . Прямые $IP$ и $AN$ пересекаются в точке $B$ . Чему равно отношение $EN:NI$ , если $LN:NP=2$ и $IB:BP=8:9$ ?

К задаче 3

Начнем с того, что прямая $NA$ (или $MA$ ) – тоже биссектриса. Решать эту задачу будем, используя свойство биссектрис делить противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся также, как относятся стороны угла, который делит биссектриса. Тогда для треугольника $AIP$ запишем:

$\frac{AP}{AI}=\frac{BP}{IB}=\frac{9}{8}$

$AP=\frac{9}{8}AI$

К задаче 3

В треугольнике $LAP$ :

$\frac{AP}{LA}=\frac{NP}{LN}=\frac{1}{2}$

$AP=\frac{1}{2}LA$

Теперь можем найти отношение $AI$ к $LA$ :

$\frac{1}{2}LA=\frac{9}{8}AI$

$LA=\frac{9}{4}AI$

Или

$AI=\frac{4}{9}LA$

Тогда $LI=\frac{5}{4}AI$ .

Теперь, зная отношение $\frac{LI}{AI}=\frac{5}{4}$ , можем найти отношение $\frac{AE}{LE}$ :

$\frac{AE}{LE}=\frac{ AI }{ LI }=\frac{4}{5}$

К задаче 3

Из того же треугольника

$\frac{PE}{LE}=\frac{1}{2}$

$PE=\frac{LE}{2}$

Следовательно,

$\frac{AE}{2PE}=\frac{4}{5}$

$\frac{AE}{PE}=\frac{8}{5}$

$PE=\frac{5}{8}AE$

$AP=\frac{3}{8}AE$

Так как $AP=\frac{9}{8}AI$ , следовательно,

$AE=\frac{8AP}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{9AI}{8}=3AI$

Отношение $EN:NI$ из треугольника $LPE$ :

$\frac{EN}{NI}=\frac{LE}{LI}=\frac{AE}{AI}=3$

Задача 4. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ являются вневписанными для некоторого прямоугольного треугольника. Чему равна длина $O_1O_2$ , если радиусы окружностей 1 и 7?

Рассмотрим рисунок. Очевидно, что необходимо будет исследовать два случая: ведь можно взять две окружности, касающиеся катетов, а можно взять окружности, касающиеся гипотенузы и катета. Рассмотрим сначала второй случай.

К задаче 4

Очевидно, что $EC=O_1D=1$ , тогда $EO_2=R+r=8$ а $EO_1=R-r=7-1=6$ . Треугольник $EO_2O_1$ – прямоугольный и по теореме Пифагора получаем $O_1O_2=10$ .

К задаче 4

Второй случай: рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1JO_2$ . В нем $JO_2=R+r=8$ , $JO_1=R+r=8$ , тогда по теореме Пифагора $O_1O_2=8\sqrt{2}$ .

Ответ: или $O_1O_2=10$ , или $O_1O_2=8\sqrt{2}$ .

Задача 5. Биссектриса угла $V$ параллелограмма $TMSV$ пересекает прямую $TM$ в точке $G$ . Вписанная окружность треугольника $TVG$ касается прямой $TG$ в точке $M$ , а прямой $TV$ – в точке $B$ . Чему равна длина $TM$ , если $GV=23$ , $MB=4$ ?

К задаче 5

Угол $TGV$ равен углу $GVS$ как накрестлежащий, а следовательно, равен углу $TVG$ , а это значит, что треугольник $TVG$ – равнобедренный. Поэтому $TK$ – биссектриса, медиана и высота, и разделит $GV$ на два равных отрезка: $VK=KG=11,5$ .