Планиметрия: задачи с фантазией – 2

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1. В каждый из двух смежных углов с общей вершиной вписана окружность, причем эти окружности касаются друг друга. Пусть и – центры окружностей. Чему равен радиус окружности с центром , если радиус окружности с центром равен 8, а ?

Сделаем чертеж.

Так как центр вписанной в угол окружности всегда находится на биссектрисе, то – биссектриса угла , а – биссектриса угла . Как известно, между биссектрисами смежных углов всегда прямой угол, поэтому треугольник – прямоугольный. По свойству высоты, проведенной к гипотенузе (а – высота, так как она касательная и перпендикулярна радиусам, проведенным в точку касания) запишем:

   

Я обозначила длину отрезка за .

Для треугольника запишем теорему Пифагора:

   

Искомый радиус :

   

Получили квадратное уравнение относительно :

   

   

   

Так как один из корней отрицателен, отбросим его:

Получилось, что вторая окружность имеет меньший радиус.

Однако возможен вариант, когда ее радиус больше . Попробуем отыскать решение для этого случая:

   

   

Снова имеем квадратное уравнение, только относительно (даже биквадратное, так как придется возвести в квадрат, чтобы от корня избавиться):

   

   

   

   

Так как один из корней отрицателен, отбросим его:

Тогда .

Ответ: или , или .

 

Задача 2. Точка расположена внутри прямого угла на расстояниях и от его сторон. Через точку проведена прямая, отсекающая от прямого угла треугольник. Чему равен тангенс наименьшего из углов треугольника, если его площадь равна 42?

Пусть , .

Площадь треугольника состоит из площади прямоугольника и площадей треугольников и . Тогда:

   

   

Так как неизвестных у нас две, понадобится второе уравнение. Например, площадь треугольника также равна:

   

Получим одно уравнение из двух. Просто выразим, например, через и подставим во второе уравнение системы. Из первого:

   

   

   

Так как ответ нужен был в виде дроби, то я не стала мучаться и ввела последнее уравнение в строку Вольфрам Альфа, который и выдал мне ответ (умничка, в виде дроби!): или .

Если рассмотреть первый ответ, то в треугольнике катет меньше катета , следовательно, угол меньше, чем . Тогда тангенс равен:

   

Если исследовать второй ответ, то в том же треугольнике угол оказывается большим, и тогда

   

Ответ: или , или .

 

Задача 3. В треугольнике  биссектрисы и пересекаются в точке . Прямые и пересекаются в точке . Чему равно отношение , если и ?

 

Начнем с того, что прямая (или ) – тоже биссектриса. Решать эту задачу будем, используя свойство биссектрис делить противолежащую сторону на отрезки, длины  которых  относятся также, как относятся стороны угла, который делит биссектриса. Тогда для треугольника запишем:

   

   

В треугольнике :

   

   

Теперь можем найти отношение к :

   

   

Или

   

Тогда .

Теперь, зная отношение , можем найти отношение :

   

Из того же треугольника

   

   

Следовательно,

   

   

   

   

Так как , следовательно,

   

Отношение из треугольника :

   

 

 

Задача 4. Окружности с центрами и являются вневписанными для некоторого прямоугольного треугольника. Чему равна длина , если радиусы окружностей 1 и 7?

Рассмотрим рисунок. Очевидно, что необходимо будет исследовать два случая: ведь можно взять две окружности, касающиеся катетов, а можно взять окружности, касающиеся гипотенузы и катета. Рассмотрим сначала второй случай.

Очевидно, что , тогда  а . Треугольник – прямоугольный и по теореме Пифагора получаем .

Второй случай: рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем , , тогда по теореме Пифагора .

Ответ: или , или .

 

Задача 5. Биссектриса угла параллелограмма пересекает прямую в точке . Вписанная окружность треугольника касается прямой в точке , а прямой – в точке .  Чему равна длина , если , ?

Угол равен углу как накрестлежащий, а следовательно, равен углу , а это значит, что треугольник – равнобедренный. Поэтому   – биссектриса, медиана и высота, и разделит на два равных отрезка: .

По свойству касательных , .

Треугольники и подобны, коэффициент подобия равен . Составим отношение сходственных сторон для этих треугольников:

   

   

   

   

   

   

Ответ: